32. Longest Valid Parentheses

dp[i] = dp[start - 1] + (i - start + 1): dp[i]表示到第i個位置為止的有效括號長度，dp[start - 1]表示在start之前的有效括號長度，i - start + 1表示從i到start中間的有效括號長度，start是從棧里pop出來與右括號相對應的左括號，i是當前右括號的下標
if s[i] == '(': stack.append(i)，注意存放的是左括號下標
else: if stack: start = stack.pop() 如果遇到了右括號，且棧不為空，就從stack里pop出一個左括號的下標作為start
注意最后返回的是max(dp)

53. Maximum Subarray

假設我們已知第i步的global[i]（全局最優）和local[i]（局部最優），那么第i+1步的表達式是：
local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最優是一定要包含當前元素，所以不然就是上一步的局部最優local[i]+當前元素A[i]（因為local[i]一定包含第i個元素，所以不違反條件），但是如果local[i]是負的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；
global[i+1]=Math(local[i+1],global[i])，有了當前一步的局部最優，那么全局最優就是當前的局部最優或者還是原來的全局最優（所有情況都會被涵蓋進來，因為最優的解如果不包含當前元素，那么前面會被維護在全局最優里面，如果包含當前元素，那么就是這個局部最優）

70. Climbing Stairs

這道題目是求跑樓梯的可行解法數量。每一步可以爬一格或者兩個樓梯，可以發現，遞推式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，也就是等于前一格的可行數量加上前兩格的可行數量。熟悉的朋友可能發現了，這個遞歸式正是[斐波那契數列]

注意當n==0時，也返回1. 初始化時，dp[0]=1, dp[1] = 2， 是從0和1開始，不是從1和2開始。
follow up是有沒有更好的解法： 有，O(logn)，使用斐波那契的通項公式

general term formula

Follow up實現

91. Decode Ways

dp[i]存儲的是加入s中第i-1個元素后有多少種decode方式，所以dp[]初始化時的長度要比s多一位，并且使dp[0]=1

• 注意，0只能出現在1或者2后邊，構成10，20，如果單獨出現的0，則無法解析
• 如果字符s[i-1]不為0，則這個字符可以獨立地被解析，例如：1-9，dp[i] += dp[i-1]
• 如果字符s[i-2:i]大于'09'且小于'27'，證明i-1位字符和i-2位字符可以放在一起被解析，dp[i] += dp[i-2]
• dp[i-2:i] < '27'這是按ASCII碼值來比較的，python中可以對字符串進行比較，都是先將其轉換為ASCII碼值。其中，大寫字母的值都小于小寫字母，同時（'ab'<'abc'）即空位的序數為所有字符最小
• 最后返回dp[-1]

96. Unique Binary Search Trees

這道題在樹的分類里已經寫過了，但還是有些細節需要添加。

• res數組要初始化n+1位，因為包括0在內了，并且res[0]和res[1]都要初始化為1，其余均為0
• res[i]+= res[j]*res[i-j-1], res[j]代表i左邊的left branch數量，res[i-j-1]代表right branch數量。j是i左邊的node個數，i-j-1是i右邊的node個數，因為n是順序分解的，所以個數相同，生成的BST就相同。
• 注意外層for循環i的范圍：for i in range(2, n+1):
• 最后返回res[n]

95. Unique Binary Search Trees II

雖然在dp分類里，但其實更偏向于divide and conquer

• 構建一個生產子樹的函數，參數為start， end，分別等于1和n
• 在這個函數內，如果start>end，就返回[None], 括號里一定要有none， 如果start==end, 就返回[TreeNode(start)]
• for i in range(start, end+1)， end要加1
• leftsubtree = self.generate(start, i-1), rightsubtree = self.generate(i+1, end)
• 在for循環前要初始化res = []
• 將左右子樹用兩個for循環排列組合起來，要先root = TreeNode(i), 每組合成功一個后就res.append(root)

120. Triangle

這道題之前也寫過了，需要注意的點有：

• res初始化時的長度為triangle最后一行的長度再加1，加1是因為如果triangle里只有一行，那就超出了遞歸式里的索引范圍
• 思路是將triangle reverse，然后針對每一行（倒序）里的每一個數字，更新res[i]，等于當前數字，加上一組的min(res[i], res[i+1])
• 最后返回res[0]， 因為第一行只有一個數字

121. Best Time to Buy and Sell Stock

又是局部最優，全局最優方法。初始化local和res均為0， 先判斷數組是不是遞減的，如果是就返回0if sorted(prices) == prices[::-1]: return 0
若不是遞減的，針對數組中每一個數字，計算
local = max(0, local + prices[i+1] - prices[i]), res = max(res, local)

• i的循環范圍是for i in range(len(prices)-1), 因為后邊有i+1
• 更新local時，應該加上原來的Local, 和0比較是因為價格有可能是負數。
• 為什么要加上原來的Local, 因為1，5，3，6， 1到6的距離是5，等于（5-1）+（3-5）+（6-3）

139. Word Break

針對動態規劃的思路：

1. 決定存儲什么歷史信息以及用什么數據結構來存儲
2. 遞推式，就是如何從存儲的歷史信息中得到當前結果
3. 初始值的設定
   這道題，dp[i]表示的是在s中的前i-1個字符s[:i]是否存在wordDict里，初始化dp的長度要是s的長度加1，因為要存儲dp[0]=True
   雙重for循環，注意內層循環時j的范圍是for j in range(i, len(s)):, 從i開始到字符串結束。
   判斷條件if dp[i] and s[i:j+1] in wordDict: dp[j+1] = True
   dp[i]為真證明s的前i-1個字符存在里邊，如果s[i:j+1]也存在，我們就更新dp[j+1]為真
   最后返回dp[-1]，d[7] is True because there is "code" in the dictionary that ends at the 7th index of "leetcode" AND d[3] is True

152. Maximum Product Subarray

和maximum sum subarray類似，只不過這道題是求最大乘積。方法也是先初始化maxlocal和res, 但這道題要再加一個minlocal，因為兩個很小的負數相乘之后可能會變成很大的整數。所以對nums進行遍歷時，遞推式里要再加一項對minlocal的更新。
并且要注意因為已經初始化了maxlocal, minlocal, res = nums[0], nums[0], nums[0], 所以for循環要從1開始。
在每次循環過程中：

maxcopy = maxlocal
maxlocal = max(maxlocal*nums[i], nums[i], minlocal*nums[i])
minlocal = min(maxcopy*nums[i], nums[i], minlocal*nums[i])
res = max(maxlocal, res)

要先將maxlocal復制一下，作為計算minloca時使用

62. Unique Paths

具體思路參考第161頁https://www.dropbox.com/s/d839bnp9lcroxmq/Sample_Interview_Questions_Set_16.pdf?dl=0

• 需要注意的是，我們可以用二維數組代替一維數組。只需要對一維數組更新m次就可以。因為在二維數組中，每個方格所擁有的路徑數等于上邊方格?左邊方格。在一維數組中，每次更新時，當前方格就屬于上邊方格，所以只需要加上左邊方格就可。
• 還有一點需要注意，內部循環從1開始. 這是因為第一列中每個方格的路徑數始終都是1

for i in range(m): 
       for j in range(1, n)```
- 初始化res[0] = 1，res的長度要和n一樣！！
#63. Unique Paths II
在上一題的基礎上增加了障礙，即有的方格為1時便不可通過。總體思想沒有變化，依然可以用一維數組代替二維數組。
- 這次內部循環不能從1開始，因為第一列的方格中有可能存在障礙，即值為1，所以每次循環都要做判斷：

if board[i][j] == 1:
res[j] = 0
elif j > 0:
res[j] += res[j-1]

- 依然需要初始化res[0] = 1，res的長度要和n一樣！！

#64. Minimum Path Sum
依然是從左上角到右下角，求最短路徑和。同樣使用一維數組，因為第一行的每個元素只能從左邊那個元素過來，所以grid第一行對應的一維數組：

for i in range(1, n):
res[i] = res[i-1] + grid[0][i]

然后對一維數組更新！！m-1次：

for i in range(1, m):
for j in range(n):
if j == 0:
res[j] = res[j] + grid[i][0]
else:
res[j] = min(res[j-1], res[j]) + grid[i][j]

- 當j==0時，證明我們在更新第一列，第一列的元素只能由上邊的元素過來，所以是上邊元素的值加上當前元素的值，res[j]就是上一行的第一列的元素。
- 當j!=0時，針對每個元素，它可以從上或左的元素得到，我們就在上和左元素中選一個最小值，再加上當前元素。上邊的元素就是res[j]（因為此時還沒有更新res[j]）, 左邊的元素就是res[j-1]