閑時看一篇科學可視化（SciVis）的文章：Visual Analysis of Multi-run Spatio-temporal Simulations. 看到Isocontour（等值輪廓），就覺得自己對這個概念的理解很模糊，于是有了以下的學習筆記。

文章中提出了一種方法來度量兩個Isocontour（等值輪廓）的距離，用的是蒙特卡洛方法，挺有意思。首先，我介紹一下什么是等值面（Isosurface），然后再討論什么是Isocontour（等值輪廓），最后詳述一下作者如何用蒙特卡洛方法計算兩個Isocontour（等值輪廓）的距離。

等值面（Isosurface）

Wiki上的解釋是：等值面指的是密度或特征近似的一個面，它通常被用于圖形學領域（早期可視化是圖形學的一個分支，現在獨立出來成為了一個研究領域），并且也用于CFD流體數據的可視化上，它使得工程師可以看到某些物體周圍流體的特征，例如機翼附近的流場。在醫學圖像處理領域，等值面被用于表征一個三維CT數據里相似密度的區域，這可以幫助可視化人體的器官，骨骼以及其它的結構。從應用領域來說，等值面和科學可視化非常相關。在我看來，大家熟知的地理上用的等高線是等值面的一種特殊形式。

提取等值面有很多的方法，Marching Cubes是最常見的一種，常用于提取3D流體數據的表面。通過基于物理的計算，可以生成3D流體粒子數據（SPH就是一種流體粒子的繪制技術），但在真實感圖形動畫中，一般支持的是面（Mesh），因此呢，由Marching Cubes生成的Isosurface就能提供真實感繪制需要的Mesh。

Marching Cubes方法的15種Pattern

等值輪廓（Isocontour）

知道了等值面后，等值輪廓就很容易理解了，就是等值面的邊緣部分。

等值輪廓的距離

藍色和綠色分別代表兩個等值輪廓

首先，定義好等值輪廓的2D空間畫布，然后往畫布上隨機撒點，用插值的梯度函數判斷點是否在某個等值輪廓上。這樣的話就可以得到A和B的兩個屬性向量Va和Vb，向量的維度就是落在等值輪廓里點的數量。Va和Vb可以近似表達等值輪廓的大小和形狀。A^B代表同時落在兩個輪廓里的點的數量。AVB代表落在輪廓A或B里的點的數量。然后，Jaccard 距離計算最后的距離，這個距離計算方法常用于計算集合的相似度，具體出處可參考論文Distance between Sets。

距離計算公式