題目

你是一個專業的小偷，計劃偷竊沿街的房屋。每間房內都藏有一定的現金，影響你偷竊的唯一制約因素就是相鄰的房屋裝有相互連通的防盜系統，如果兩間相鄰的房屋在同一晚上被小偷闖入，系統會自動報警。

給定一個代表每個房屋存放金額的非負整數數組，計算你在不觸動警報裝置的情況下，能夠偷竊到的最高金額。

示例 1:

輸入: [1,2,3,1]
輸出: 4
解釋: 偷竊 1 號房屋 (金額 = 1) ，然后偷竊 3 號房屋 (金額 = 3)。
     偷竊到的最高金額 = 1 + 3 = 4 。

示例 2:

輸入: [2,7,9,3,1]
輸出: 12
解釋: 偷竊 1 號房屋 (金額 = 2), 偷竊 3 號房屋 (金額 = 9)，接著偷竊 5 號房屋 (金額 = 1)。
     偷竊到的最高金額 = 2 + 9 + 1 = 12 。

問題分解

1. subproblem:簡單來說就是四個房子{1,2,3,4}，偷的方式有14,13,24三種。

2. guess:小偷目前偷到第i家，手中的錢有三種情況，第i家偷不偷取決于：
   a. 第i-1家沒有偷，可以偷，偷了之后手中的錢為 (24)
   b. 第i-1家偷了，直接手中的錢維持不變為 (13)
   c. 第i-1家偷了，但是偷第i家的話錢會變多，把第i-1家的錢放回去偷第i家的，錢變為，和是等價的，因為第i-2家沒有偷 (14)
   可以總結為：小偷到了第i家，比較a,b,c三個條件來做出選擇，實則就是比較和的大小，因為條件c最后是和條件a一樣的，也就是第i-1家沒有偷，而對于subproblem中的第1,2,3棟房子，它們的金額應該分別對應,,。

3.relate subproblems and solutions(always using recursion):用prefix來做，維護小偷的記錄本dp，記錄到了第i家的時候錢包里的錢，看完第i+1家的錢之后，比較abc三個條件，來記錄。

4.bottom up

5.solve the original problem

維護一個dp列表，進行一個循環即可，時間復雜度為O(n)，一開始用recursive做，太慢了，且沒有必要，因為每一次循環都只關注四個房子(實則是三個)，三個記賬數目上而已。

代碼實現

C++

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        if(nums.size()==0)
        {
            return 0;
        }
        if(nums.size()==1)
        {
            return nums[0];
        }
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        if(nums[0]<nums[1]){
            dp[1]=nums[1];
        }
        else
        {
            dp[1]=nums[0];
        }
        for(int i =2;i<nums.size();++i)
        {
            if(nums[i]+dp[i-2]>dp[i-1]){
                dp[i] = nums[i]+dp[i-2];
            }
            else
            {
                dp[i]= dp[i-1];
            }
        }
        return dp[nums.size()-1];
    }
};

python

class Solution(object):
    def rob(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        
        if nums==[]:
            return 0
        if len(nums)==1:
            return max(nums)
        dp = [0]*len(nums)
        dp[0] = nums[0]
        dp[1] = max(nums[1],nums[0])
        for i in range(2,len(nums)):
            dp[i] = max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])
            
        return dp[len(nums)-1]