問題：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

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大意：

給出n，包含1~n這些節(jié)點可以形成多少個不同的BST（二叉查找樹）？
比如，
給出n = 3，有5個不同的BST：

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思路：

二叉查找樹的性質是左子節(jié)點一定小于父節(jié)點，右子節(jié)點一定大于父節(jié)點。

我們思考一下可以發(fā)現(xiàn)，要形成不同的二叉樹，最基本的分類是1_{n各自都做一次根節(jié)點。在它們作為根節(jié)點時，又分別還有多少種不同的組合方式呢？由于這是一個二叉查找樹，那么根節(jié)點的左邊一定都是小于他的數，右邊一定都是大于它的數，所以1}n就會被分成兩部分去放置，這時候由可以分別把左子節(jié)點、右子節(jié)點分別看成要安放一部分數字的根節(jié)點，又變成了一樣的規(guī)律。

所以假設以i為根節(jié)點，可能的組合情況為F（i，n），而G（n）為輸入n后的結果。則

F（i，n） = G（i-1）*G（n-i）

也就是左子節(jié)點以下的可能數量乘以右子節(jié)點以下的可能數量。

而因為1~n都可能作為根節(jié)點，所以最終的值是它們的和，也就是

G（n） = F（1，n） + Ｆ（２，ｎ）　＋　……?。疲ǎ?，ｎ）

換算一下就是

Ｇ（ｎ）?。健。牵ǎ埃?* G（n-1） + G（1） * G（n-2） ＋ …… ＋ G（n-1） *Ｇ（０）

其中我們可以直接看出　Ｇ（０）?。健。牵ǎ保。健。?。這個作為初始值來遞歸計算就可以了，要知道G（n），我們必須把前面的數都計算出來。

代碼（Java）：

public class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] res = new int[n+1];
        res[0] = 1;
        res[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                res[i] += res[j-1] * res[i-j];
            }
        }
        return res[n];
    }
}

合集：https://github.com/Cloudox/LeetCode-Record

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