原題

LintCode 41. Maximum Subarray

Description

Given an array of integers, find a contiguous subarray which has the largest sum.

Notice

The subarray should contain at least one number.

Example

Given the array [?2,2,?3,4,?1,2,1,?5,3], the contiguous subarray [4,?1,2,1] has the largest sum = 6.

解題

動態規劃問題，很容易可以得到狀態轉移方程：
dp[i] = MAX( dp[i - 1], dp[i - 1] + A[i] )
因為實際上只會用到上一次的狀態，所以只需要一個變量（而不是數組）即可存儲。

class Solution {
public:
    /**
    * @param nums: A list of integers
    * @return: A integer indicate the sum of max subarray
    */
    int maxSubArray(vector<int> nums) {
        // write your code here
        if (nums.size() <= 0) return 0;
        int ans = INT_MIN, sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
            ans = max(ans, sum);
            // 當sum<0時 要置位0 意味著拋棄前i個數 從i+1開始計算
            sum = max(0, sum);
        }
        return ans;
    }
};

拓展

采用分治法解決。
假如我們將數組二分，那么最優解有三種情況

• 最優解在左子數組
• 最優解在右子數組
• 最優解跨越了左右子數組

前兩種情況比較容易解決，第三種情況的做法就是從分割點開始向兩邊掃描，得出該種情況的最優解。
最后將三種情況的解比較得出最優解。

class Solution {
public:
    /**
    * @param nums: A list of integers
    * @return: A integer indicate the sum of max subarray
    */
    int maxSubArray(vector<int> nums) {
        // write your code here
        if (nums.size() <= 0) return 0;
        int ans = INT_MIN, sum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            sum += nums[i];
            ans = max(ans, sum);
            sum = max(0, sum);
        }
        return ans;
    }
    int helper(vector<int>& nums, int left, int right) {
        if (left >= right) return nums[left];
        int mid = left + (right - left) / 2;
        // 獲得情況一的最優解
        int leftMax = helper(nums, left, mid - 1);
        // 獲得情況二的最優解
        int rightMax = helper(nums, mid + 1, right);
        // 從分割點向兩邊掃描，獲得情況三的最優解
        int midMax = nums[mid], sum = midMax;
        for (int i = mid - 1; i >= left; i--) {
            sum += nums[i];
            midMax = max(midMax, sum);
        }
        sum = midMax;
        for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
            sum += nums[i];
            midMax = max(midMax, sum);
        }
        // 比較三種情況 獲得最優解
        return max(leftMax, max(midMax, rightMax));
    }
};