題目信息
給定兩個大小為 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2。
請你找出這兩個有序數組的中位數，并且要求算法的時間復雜度為 O(log(m + n))。
你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
則中位數是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5
來源：力扣（LeetCode）
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題目求解
讀題可知一下信息：
- 兩個有序數組
- 要求算法的時間復雜度為 O(log(m + n))
- 可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空
解法一：暴力求解
求兩個有序數組合并后的中位數，第一時間想到的是暴力求解，合并并排序兩個有序數組，在排序合并后的數組中求中位數，暴力求解的時間復雜度為O(m+n) ，無法滿足題目中的要求，代碼如下：（感覺暴力解法的思路有優化的空間，不需要將全部數據合并，只需要合并到中位數的位置即可，代碼沒寫出來，求大佬教學）
/**
* 暴力破解：將兩個有序數組組合到一個數組中，判斷數組長度奇偶性，取對應中位數
* 時間復雜度：O(m+n)
*
* @param nums1
* @param nums2
* @return
*/
public static double findMedianSortedArraysByViolence(int[] nums1, int[] nums2) {
double resultMedian = 0.0;//定義返回值
int nums1Places = nums1.length, nums2Places = nums2.length, i = 0, j = 0, total = 0;
int totalPlaces = nums1Places + nums2Places;
int totalNums[] = new int[totalPlaces];
// 排序合并到 totalNums 數組
while (i < nums1Places || j < nums2Places) {
// 第一個數組已經完成，將第二個數組放入即可
if (i >= nums1Places && j < nums2Places) {
for (; j < nums2Places; j++)
totalNums[total++] = nums2[j];
break;
}
// 第二個數組已經完成，將第一個數組放入即可
if (i < nums1Places && j >= nums2Places) {
for (; i < nums1Places; i++)
totalNums[total++] = nums1[i];
break;
}
if (nums1[i] <= nums2[j])
totalNums[total++] = nums1[i++];
else
totalNums[total++] = nums2[j++];
}
// 此處注意：數組是從0開始的
if (totalPlaces % 2 == 0) // 偶數
resultMedian = (totalNums[totalPlaces / 2] + totalNums[totalPlaces / 2 - 1]) / 2.0;
else // 奇數
resultMedian = totalNums[totalPlaces / 2];
return resultMedian;
}
解法二：二分法
什么是中位數呢？在統計學中，定義如下：
將一個集合劃分為兩個長度相等的子集，其中一個子集中的元素總是大于另一個子集中的元素。
理解了中位數的概念后，在數組nums1中定義i，在數組nums2中定義j，將兩個數組的左部分、右部分分別合并，若i+j=(nums1.length+nums2.length+1)/2，且左部分<=右部分，則中位數median = (max(left)+min(right))/2。
通過上面的結論，需要i和j保證（假設nums1[i-1]、nums2[j-1]、nums1[i]、nums2[j]均存在，后面單獨討論臨界情況）：
- i + j=(nums1.length+nums2.length+1)/2;
由上公式我們可以得出j=(nums1.length+nums2.length+1)/2 - i，因為0<=i<=nums1.length，若nums1.length>nums2.length，j有可能為負數，所以我們要保證nums1.length<=nums2.length即可使用該公式；- nums1[i-1]<=nums2[j] ;
- nums[j-1]<=nums[i];
這兩個公式表示，合并后的數組，左側數據均小于右側數據
下面梳理一下二分法會遇到的情況：
- start = 0, end = nums1.length，在[start,end)中篩選得到i;
- i = (start + end)/2，j = (nums1.length+nums2.length+1)/2 - i
- nums1[i-1] > nums2[j]
此時左部分值大于右部分，說明i偏大（數組是升序），i的搜索范圍需要左移為[start,i-1)，重復步驟2；- nums1[i] < nums2[j-1]
此時說明i偏小，i的搜索范圍需要右移為[i+1,end)，重復步驟2；- nums1[i-1]<=nums2[j] && nums[j-1]<=nums[i]
此時表明我們取到了合適的i和j，循環結束。
當我們找到合適的i和j后，中位數為：
- max(A[i?1],B[j?1]), 當 nums1.length+ nums2.length 為奇數時;
- (max(A[i?1],B[j?1])+min(A[i],B[j]))/2, 當 nums1.length+ nums2.length 為偶數時;
下面來討論臨界值的情況，當i=0,i=nums1.length,j=0,j=nums2.length時，nums1[i-1]、nums1[i]、nums2[j-1]、nums2[j]有可能不存在，當某些值不存在時，我們需要對這些值進行單獨處理：
- i = 0時，表明min(nums1[])>max(nums2[])，此時左側列表最大值為nums2[j-1]；
- j = 0時，表明min(nums2[])>max(nums1[])，此時左側列表最大值為nums1[i-1]；
- i = nums1.length，表明nums1.length<=nums2.length，且min(nums2[])>max(nums1[])，右側列表的最小值為nums2[j]
- j = nums2.length，因為nums1.length<=nums2.length，所以當j=nums2.length時，只有nums1和nums2兩個數組長度相等一種情況，此時i=0，且min(nums1[])>max(nums2[])，右側列表最小值為nums1[i]
/**
* 二分法
* 需滿足條件：nums1[i-1]<=nums2[j] && nums2[j-1] <= nums1[i] && i+j = (m + n + 1)/2
* 若 nums1[i-1] > nums2[j] ，則i偏大，向左移
* 若 nums2[j-1] > nums1[i] ，則i偏小，向右移
*
* @param nums1
* @param nums2
* @return
*/
public static double findMedianSortedArraysByOptimize(int[] nums1, int[] nums2) {
// 整個過程中，我們都在移動i，使i所在的數組長度小于j所在的數組長度，可以減少循環次數
if (nums1.length > nums2.length) {
int[] temp = nums1;
nums1 = nums2;
nums2 = temp;
}
double resultMedian = 0;
int minLength = nums1.length, maxLength = nums2.length;
int start = 0, end = minLength;
int median = (minLength + maxLength + 1) / 2;// 中位數所在位置
while (start <= end) {
int i = (start + end) / 2;// [0,minLength/2]
int j = median - i;// 因為i在[0,minLength/2]范圍中，minLength<=maxLength
if (i > start && nums1[i - 1] > nums2[j]) // i大了，向左移
end = i - 1;
else if (i < end && nums1[i] < nums2[j - 1]) // i小了，向右移
start = i + 1;
else {// i和j剛剛好
int maxLeft = 0;// 取左側最大值
if (i == 0)// 臨界值，說明i所在的數組最小值大于j所在的數組最大值
maxLeft = nums2[j - 1];
else if (j == 0)// 臨界值，說明j所在的數組最小值大于i所在數組的最大值，因為j.length>= i.length，所以j=0時，i=minLength
maxLeft = nums1[i - 1];
else
maxLeft = Math.max(nums2[j-1], nums1[i - 1]);
if ((minLength + maxLength) % 2 == 1) {
resultMedian = maxLeft;
break;
}
int minRight = 0;// 取右側最小值
if (i == minLength)
minRight = nums2[j];
else if (j == maxLength)
minRight = nums1[i];
else
minRight = Math.min(nums2[j], nums1[i]);
resultMedian = (maxLeft + minRight) / 2.0;
break;
}
}
return resultMedian;
}
