Karatsuba's Algorithm Karatsuba 算法

1 復數乘法

假如現在有兩個復數:
a*i + b 和 c*i + d
則，兩個復數相乘，則是：
(a*i + b) * (c*i + d)
= (ac - bd) + (cb + ad)i
也就是說，共需要計算
4次乘法，3次加法

2 一個更好的方法：

  1. 計算a*c
  2. 計算b*d
  3. 計算(a+b)*(c+d)
  4. 結合1和2，得到 ac - bd
  5. 結合1,2,3，得到ad + bc

共需要：
3次乘法，5次加法

3 用于計算整數相乘：

如計算5822*4104:
5822 = 5 * 1000 + 822
4104 = 4 * 1000 + 104

  1. computea*c = 5*4 = 20;
  2. compute b*d = 822*104 = 85488;
  3. compute (a+b)*(c+d) = (5+822)*(4+104) = 89316;
  4. ac+bd = 20 + 85488 = 85508;
  5. ad + bc = (a+b)*(c+d)-a*c-b*d = 89316 - 85488 - 20 = 3808;
  6. (ac)*(i*i) + bd + (ad+bc)i = 20*1000*1000 + 85488 + 3808*1000 = 23893488；
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