(5.3)James Stewart Calculus 5th Edition:The Fundamental Theorem of Calculus


The Fundamental Theorem of Calculus 微積分基本定理

如果,這里我們如果用 g(x)表示對應的面積


則 我們可以把對應的上限 看成一個變量,變量下限 的積分
可以表示為:


這里,我們求一段區域的面積
例如,圖中



這里 從 x 到 x+h 對應的積分,可以表示為:



也就是:

當這里的h足夠小的時候
我們可以用 導數去理解它



這個時候,我們可以得到 基本定理的第一部分


The Fundamental Theorem of Calculus,Part 1 微積分基本定理 第1部分

就是上面的簡單總結


The Fundamental Theorem of Calculus,Part 2 微積分基本定理 第2部分

這個也比較好理解,就像 中間部分 等于 2個部分的差
類似 線段AB = 射線 AO - 射線 BO 一樣

有的時候,我們可以寫成


F'(x) = f(x) 的時候,可以寫成



例子

一些例子,比較基礎,就直接貼圖了

例子6


過程:

例子7


過程:

例子8


對應的圖像為:

過程:

例子9

  • 這個例子需要注意,我們 求積分,一定要是連續的,才可以


這里的錯誤,如果不事先注意,可能會忽略
上面也單獨寫了,求積分,一定要是連續的,才可以
這里 x明顯不能為0
圖像一定不連續
所以,對應的

一定不存在


Differentiation and Integration as Inverse Processes 微分 和 積分 互為 逆運算

我們把2個 the Fundamental Theorem 基本定理和起來


The Fundamental Theorem of Calculus 微積分基本定理

其實,
第1部分,可以寫成:



也就是,積分后的微分,就是自己

第2部分,可以寫成:



也就是,微分后的積分,直接是 函數值的差

理解 微分 和 積分 的關系, 對之后的理解,很重要

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