哈希表：即散列存儲結構。
散列法存儲的基本思想：建立記錄關鍵碼字與其存儲位置的對應關系，或者說，由關鍵碼的值決定數據的存儲地址。
這樣，不經過比較，一次存取就能得到所查元素的查找方法
優點：查找速度極快（O(1)）,查找效率與元素個數n無關！

哈希方法(雜湊法)
選取某個函數，依該函數按關鍵字計算元素的存儲位置并按此存放；查找時也由同一個函數對給定值k計算地址，將k與地址中內容進行比較，確定查找是否成功。

哈希函數(雜湊函數)
哈希方法中使用的轉換函數稱為哈希函數(雜湊函數).在記錄的關鍵碼與記錄的存儲地址之間建立的一種對應關系

例：

有數據元素序列(14，23，39，9，25，11)，若規定每個元素k的存儲地址H（k）＝k ， H(k)稱為散列函數,畫出存儲結構圖。

image.png

根據散列函數H（k）＝k ，可知元素14應當存入地址為14的單元，元素23應當存入地址為23的單元，……，

如何進行散列查找？

根據存儲時用到的散列函數H(k)表達式，迅即可查到結果！
例如，查找key=9,則訪問H(9)=9號地址，若內容為9則成功；
若查不到，應當設法返回一個特殊值，例如空指針或空記錄。
很顯然這種搜索方式空間效率過低。

哈希函數可寫成：addr(ai)=H(ki)

選取某個函數，依該函數按關鍵字計算元素的存儲位置并按此存放；查找時也由同一個函數對給定值k計算地址，將k與地址中內容進行比較，確定查找是否成功。哈希方法中使用的轉換函數稱為哈希函數(雜湊函數).在記錄的關鍵碼與記錄的存儲地址之間建立的一種對應關系。

可能導致的沖突

通常關鍵碼的集合比哈希地址集合大得多，因而經過哈希函數變換后，可能將不同的關鍵碼映射到同一個哈希地址上，這種現象稱為沖突。

例.

有6個元素的關鍵碼分別為：（14，23，39，9，25，11）。
選取關鍵碼與元素位置間的函數為H(k)=k mod 7

image.png

根據哈希函數算出來發現同一個地址放了多個關鍵碼，也就是沖突了。
在哈希查找方法中，沖突是不可能避免的，只能盡可能減少。
所以，哈希方法必須解決以下兩個問題：

1）構造好的哈希函數
（a）所選函數盡可能簡單，以便提高轉換速度；
（b）所選函數對關鍵碼計算出的地址，應在哈希地址內集中并大致均勻分布，以減少空間浪費。

2）制定一個好的解決沖突的方案
查找時，如果從哈希函數計算出的地址中查不到關鍵碼，則應當依據解決沖突的規則，有規律地查詢其它相關單元。

從上面兩個例子可以得出如下結論：
哈希函數只是一種映象，所以哈希函數的設定很靈活，只要使任何關鍵碼的哈希函數值都落在表長允許的范圍之內即可
沖突：key1≠key2，但H(key1)=H(key2)
同義詞：具有相同函數值的兩個關鍵碼
哈希函數沖突不可避免，只能盡量減少。所以，哈希方法解決兩個問題：
構造好的哈希函數；

制定解決沖突基本要求：
要求一：n個數據原僅占用n個地址，雖然散列查找是以空間換時間，但仍希望散列的地址空間盡量小。
要求二：無論用什么方法存儲，目的都是盡量均勻地存放元素，以避免沖突。

常用的哈希函數構造方法有：

• 直接定址法
• 除留余數法
• 乘余取整法
• 數字分析法
• 平方取中法
• 折疊法
• 隨機數法

1、直接定址法

Hash(key) = a·key + b (a、b為常數)
優點：以關鍵碼key的某個線性函數值為哈希地址，不會產生沖突.
缺點：要占用連續地址空間，空間效率低。

例.關鍵碼集合為{100，300，500，700，800，900}，
選取哈希函數為Hash(key)=key/100，
則存儲結構（哈希表）如下：

image.png

2、除留余數法

Hash(key)=key mod p (p是一個整數)
特點：以關鍵碼除以p的余數作為哈希地址。
關鍵：如何選取合適的p？p選的不好，容易產生同義詞
技巧：若設計的哈希表長為m，則一般取p≤m且為質數
（也可以是合數，但不能包含小于20的質因子）。

3、乘余取整法

Hash(key)= ? B( Akey mod 1 ) ?
(A、B均為常數，且0<A<1，B為整數)
特點：以關鍵碼key乘以A，取其小數部分，然后再放大B倍并取整，作為哈希地址。
例：欲以學號最后兩位作為地址，則哈希函數應為：
H(k)=100(0.01k % 1 )
其實也可以用法2實現： H(k)=k % 100

4、數字分析法

特點：選用關鍵字的某幾位組合成哈希地址。選用原則應當是：各種符號在該位上出現的頻率大致相同。
例：有一組（例如80個）關鍵碼，其樣式如下：

image.png

討論：
① 第1、2位均是“3和4”，第3位也只有“ 7、8、9”，因此，這幾位不能用，余下四位分布較均勻，可作為哈希地址選用。

② 若哈希地址取兩位（因元素僅80個），則可取這四位中的任意兩位組合成哈希地址，也可以取其中兩位與其它兩位疊加求和后，取低兩位作哈希地址。

5、平方取中法

特點：對關鍵碼平方后，按哈希表大小，取中間的若干位作為哈希地址。(適于不知道全部關鍵碼情況)
理由：因為中間幾位與數據的每一位都相關。
例：2589的平方值為6702921，可以取中間的029為地址。

6、折疊法

特點：將關鍵碼自左到右分成位數相等的幾部分（最后一部分位數可以短些），然后將這幾部分疊加求和，并按哈希表表長，取后幾位作為哈希地址。
適用于：關鍵碼位數很多,且每一位上各符號出現概率大致相同的情況。
法1：移位法 ── 將各部分的最后一位對齊相加。
法2：間界疊加法──從一端向另一端沿分割界來回折疊后，最后一位對齊相加。
例：元素42751896,
用法1： 427＋518＋96=1041
用法2： 427 518 96—> 724+518+69 =1311

7、隨機數法
Hash(key) = random ( key ) (random為偽隨機函數)
適用于：關鍵字長度不等的情況。造表和查找都很方便。

小結：構造哈希函數的原則：
① 執行速度（即計算哈希函數所需時間）；
② 關鍵字的長度；
③ 哈希表的大??；
④ 關鍵字的分布情況；
⑤ 查找頻率。

三、沖突處理方法

• 開放定址法（開地址法）
• 鏈地址法（拉鏈法）
• 再哈希法（雙哈希函數法）
• 建立一個公共溢出區

1、開放定址法（開地址法）

設計思路：有沖突時就去尋找下一個空的哈希地址，只要哈希表足夠大，空的哈希地址總能找到，并將數據元素存入。
1）線性探測法
Hi=(Hash(key)+di) mod m ( 1≤i < m )
其中：
Hash(key)為哈希函數
m為哈希表長度
di 為增量序列 1，2，…m-1，且di=i

關鍵碼集為 {47，7，29，11，16，92，22，8，3}，
設：哈希表表長為m=11；
哈希函數為Hash(key)=key mod 11；
擬用線性探測法處理沖突。建哈希表如下：

image.png

解釋：
① 47、7是由哈希函數得到的沒有沖突的哈希地址；
② Hash(29)=7，哈希地址有沖突，需尋找下一個空的哈希地址：由H1=(Hash(29)+1) mod 11=8，哈希地址8為空，因此將29存入。
③ 另外，22、8、3同樣在哈希地址上有沖突，也是由H1找到空的哈希地址的。
其中3 還連續移動了（二次聚集）

線性探測法的優點：只要哈希表未被填滿，保證能找到一個空地址單元存放有沖突的元素；
線性探測法的缺點：可能使第i個哈希地址的同義詞存入第i+1個哈希地址，這樣本應存入第i+1個哈希地址的元素變成了第i+2個哈希地址的同義詞，……，
因此，可能出現很多元素在相鄰的哈希地址上“堆積”起來，大大降低了查找效率。
解決方案：可采用二次探測法或偽隨機探測法，以改善“堆積”問題。

2） 二次探測法
仍舉上例，改用二次探測法處理沖突，建表如下：
Hi=(Hash(key)±di) mod m
其中：Hash(key)為哈希函數
m為哈希表長度，m要求是某個4k+3的質數；
di為增量序列 1^2，-1 ^2，2 ^2，-2 ^2，…，q ^2

image.png

注：只有3這個關鍵碼的沖突處理與上例不同，
Hash(3)=3，哈希地址上沖突，由
H1=(Hash(3)+1 ^2) mod 11=4，仍然沖突；
H2=(Hash(3)-1 ^2) mod 11=2，找到空的哈希地址，存入。

3） 若di＝偽隨機序列，就稱為偽隨機探測法

2、鏈地址法(拉鏈法）

基本思想：將具有相同哈希地址的記錄(所有關鍵碼為同義詞)鏈成一個單鏈表，m個哈希地址就設m個單鏈表，然后用一個數組將m個單鏈表的表頭指針存儲起來，形成一個動態的結構。

設{ 47, 7, 29, 11, 16, 92, 22, 8, 3, 50, 37, 89 }的哈希函數為：
Hash(key)=key mod 11，
用拉鏈法處理沖突，則建表如圖所示。

image.png

3、再哈希法（雙哈希函數法）

Hi=RHi(key) i=1, 2, …，k
RHi均是不同的哈希函數，當產生沖突時就計算另一個哈希函數，直到沖突不再發生。
優點：不易產生聚集；
缺點：增加了計算時間。

4. 建立一個公共溢出區

思路：除設立哈?；颈硗?，另設立一個溢出向量表。
所有關鍵字和基本表中關鍵字為同義詞的記錄，不管它們由哈希函數得到的地址是什么，一旦發生沖突，都填入溢出表。

哈希表的查找及分析

明確：散列函數沒有“萬能”通式（雜湊法），要根據元素集合的特性而分別構造。
討論：哈希查找的速度是否為真正的O（1）？
不是。由于沖突的產生，使得哈希表的查找過程仍然要進行比較，仍然要以平均查找長度ASL來衡量。
一般地，ASL依賴于哈希表的裝填因子α,它標志著哈希表的裝滿程度。

image.png

0≤α≤1
α 越大，表中記錄數越多，說明表裝得越滿，發生沖突的可能性就越大，查找時比較次數就越多。

例 已知一組關鍵字(19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)
哈希函數為：H(key)=key MOD 13, 哈希表長為m=16，
設每個記錄的查找概率相等
(1) 用線性探測再散列處理沖突，即Hi=(H(key)+di) MOD m

image.png

H(19)=6
H(14)=1
H(23)=10
H(1)=1     沖突，H1=(1+1) MOD16=2
H(68)=3
H(20)=7
H(84)=6   沖突，H1=(6+1)MOD16=7
                 沖突，H2=(6+2)MOD16=8
H(27)=1   沖突，H1=(1+1)MOD16=2
                 沖突，H2=(1+2)MOD16=3
                 沖突，H3=(1+3)MOD16=4
H(55)=3   沖突，H1=(3+1)MOD16=4
                 沖突，H2=(3+2)MOD16=5
H(11)=11
H(10)=10  沖突，H1=(10+1)MOD16=11
                  沖突，H2=(10+2)MOD16=12
H(79)=1    沖突，H1=(1+1)MOD16=2
                  沖突，H2=(1+2)MOD16=3
                  沖突，H3=(1+3)MOD16=4
                  沖突，H4=(1+4)MOD16=5
                  沖突，H5=(1+5)MOD16=6
                  沖突，H6=(1+6)MOD16=7
                  沖突，H7=(1+7)MOD16=8
                  沖突，H8=(1+8)MOD16=9
ASL=(1*6+2+3*3+4*1+9*1)/12=2.5

(2) 用二次探測再散列處理沖突，即Hi=(H(key)+di) MOD m

image.png

H(19)=6
H(14)=1
H(23)=10
H(1)=1沖突， H1=(1+12) MOD16=2
H(68)=3
H(20)=7
H(84)=6   沖突，H1=(6+12)MOD16=7
                 沖突，H2=(6﹣12)MOD16=5
H(27)=1   沖突，H1=(1+12 )MOD16=2
                 沖突，H2=(1 -12 )MOD16=0
H(55)=3   沖突，H1=(3+12)MOD16=4
H(11)=11
H(10)=10  沖突，H1=(10+12)MOD16=11
                  沖突，H2=(10 ﹣12 )MOD16=9
H(79)=1    沖突，H1=(1 +12 )MOD16=2
                  沖突，H2=(1﹣12)MOD16=0
                  沖突，H3=(1+ 22)MOD16=5
                  沖突，H4=(1﹣22)MOD16=13

ASL=(1*6+2*2+3*3+5*1)/12=2

(3) 用鏈地址法處理沖突

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討論：

1） 散列存儲的查找效率到底是多少？
答：ASL與裝填因子α有關！既不是嚴格的O(1)，也不是O(n)
2）“沖突”是不是特別討厭？
答：不一定！正因為有沖突，使得文件加密后無法破譯?。▎蜗蛏⒘泻瘮挡豢赡?，常用于數字簽名和間接加密）。
利用了哈希表性質：源文件稍稍改動，會導致哈希表變動很大。