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論文題目：UMAP: Uniform Manifold Approximation and Projection for Dimension Reduction
作者：Leland McInnes； John Healy； James Melville
時間：December 7, 2018

UMAP (Uniform Manifold Approximation and Projection) 算法是一種創(chuàng)新的降維流形學(xué)習(xí)算法。Ideas 來自于拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析。

論文整體思路

UMAP uses local manifold approximations and patches together their local fuzzy simplicial set representations to construct a topological representation of the high dimensional data.
a similar process can be used to construct an equivalent topological representation.
then minimize the cross-entropy between the two topological representations.

背景補(bǔ)充

單純形 (Simplices)

從幾何上講，單純形是構(gòu)建 k 維對象的一種非常簡單的方法。 k 維單純形稱為 k-單純形。它是由??+1個獨立點的凸包構(gòu)成的。因此，0-單純形是一個點，1-單純形是一條線段 (在兩個零單純形之間)，2-單純形是一個三角形 (其中三個1-單純形作為“面”)，而3-單純形是一個四面體 (四個2-單純形作為“面”)。

單純形

單純復(fù)形 (Simplicial complex)

A simplicial complex $K$ is a set of simplices that satisfies the following conditions:

Every face of a simplex from $K$ is also in $K$ .
The non-empty intersection of any two simplices $\sigma _{1},\sigma _{2}\in K$ is a face of both $\sigma_1,\sigma_2$ .

(The convex hull of any nonempty subset of the n + 1 points that define an n-simplex is called a face of the simplex. )

單純復(fù)形 K 是單純形的集合。任意單純形的任何面也在 K 中(確保所有面都存在)，并且 K 中任何兩個單純形的交集都是這兩個單純形的面。

單純復(fù)形

理論應(yīng)用

假設(shè)一個有限的數(shù)據(jù)樣本集來自一個拓?fù)淇臻g，如果要了解該空間的拓?fù)洌枰壬稍摽臻g的開覆蓋 (open cover)。

若數(shù)據(jù)實際處于 metric space，一種近似開覆蓋的方法是對每個數(shù)據(jù)點形成固定半徑的球。

舉例，有一批數(shù)據(jù)位于假設(shè)的流形中。如圖所示：

Test data set of a noisy sine wave

如果固定一個半徑，就可以把覆蓋的開放集想象成一個個圓（考慮二維）。

A basic open cover of the test data

構(gòu)造單純復(fù)形。具體是指構(gòu)造?ech 復(fù)形。

具體方法是：

讓覆蓋 (cover) 中的每個集合都是0-單純形；如果兩個集合具有非空交集，則在它們之間創(chuàng)建1-單純形；如果三個這樣的集合的三重交集都非空，則在集合之間創(chuàng)建2-單純形；以此類推。

然后，我們可以將0-、1-和2-單純形的單純復(fù)形描繪為點、線和三角形。如圖所示：

A simplicial complex built from the test data

通過這樣的方法捕獲拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

一些改進(jìn)

理論可行，但在實際數(shù)據(jù)上的效果不佳。

問題1：如何為開覆蓋選擇正確的球半徑？

半徑太小 ---> 單純復(fù)形分裂為許多相連的組件。
半徑太大 ---> 單純復(fù)形變成維度很高的單純形，無法捕捉流形結(jié)構(gòu)。

解決方案：

Assumption: Data is uniformly distributed on the manifold.

Open balls over uniformly_distributed_data

數(shù)據(jù)在流行上均勻分布，就不難選擇一個好的半徑。

數(shù)據(jù)均勻分布的假設(shè)在流形學(xué)習(xí)的其他地方也有。比如：拉普拉斯映射要證明有效，就要假設(shè)數(shù)據(jù)是均勻分布的。

但是，現(xiàn)實中的數(shù)據(jù)不會是均勻分布的。問題反過來：假設(shè)數(shù)據(jù)均勻分布在流形上，我們能得到關(guān)于流形的什么信息？

即：距離的概念在流形上是不一樣的 - 空間扭曲：在數(shù)據(jù)看起來更稀疏或更密集的地方來拉伸或縮小。

引入黎曼幾何。
在流形上定義一個 Riemannian metric 讓假設(shè)為真。
在黎曼空間里數(shù)據(jù)點是均勻分布的，但是放到歐幾里得空間就變成非均勻分布了。

球的大小在不同的度量下是不一樣的。在黎曼度量下球的 size 是一樣的，但放在歐幾里德空間就不一樣了。

Open balls of radius one with a locally varying metric

通過假設(shè)數(shù)據(jù)是均勻分布的，可以通過使用一些標(biāo)準(zhǔn)的黎曼幾何來計算每個點的局部距離概念(其近似值)。圍繞一個點的單位球延伸到該點的第 k 個最近的鄰居，其中 k 是我們用來近似局部距離的樣本大小。

每個點都有自己唯一的距離函數(shù)，我們可以簡單地選擇半徑為1的球作為局部距離函數(shù)！

于是我們發(fā)現(xiàn)這不就是 k-近鄰圖嗎？

這意味著數(shù)據(jù)集中的每個點都被賦予了到其k個最近鄰居的每個點的邊-這是我們使用半徑為1的球的局部變化度量的有效結(jié)果。

對 k 的拓?fù)浣忉專琸的選擇決定了我們希望在多大程度上局部地估計黎曼度量。選擇很小的k意味著我們想要一個非常局部的解釋，它將更準(zhǔn)確地捕捉到黎曼度量的精細(xì)細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)和變化。選擇較大的 k 意味著我們的估計將基于更大的區(qū)域，可以有更多數(shù)據(jù)來估計。

基于黎曼度量的另一個好處

我們實際上有一個與每個點相關(guān)聯(lián)的局部度量空間，并且可以有意義地測量距離，因此可以根據(jù)邊上的點之間的距離(根據(jù)局部度量)來加權(quán)可能生成的圖的邊。

用模糊拓?fù)涞闹R來理解：在一個覆蓋的開集合不再是是和否的概念，而是介于 0 和 1 的模糊值。點在給定半徑的球里的確定性會隨著我們離開球的中心的移動而衰減。我們可以把這樣一個模糊的 cover 想象成如圖所示的樣子：

Fuzzy open balls of radius one with a locally varying metric

問題2：更高的維度上的數(shù)據(jù)很多點是完全孤立的。

解決方法：局部連接。

Assumption:
The manifold is locally connected.

Local connectivity and fuzzy open sets

由于維數(shù)詛咒，高維空間的數(shù)據(jù)，距離更大，但彼此也可能更相似。這意味著到第一個最近鄰居的距離可能相當(dāng)大，但到第十個最近鄰居的距離通常只會稍微大一點(相對而言)。局部連接的約束確保我們關(guān)注最近鄰居之間的距離差異，而不是絕對距離(這顯示鄰居之間的差別很小)。

問題3：局部度量標(biāo)準(zhǔn)不兼容性。

每個點都有與其相關(guān)聯(lián)的局部度量，并且從點a的角度來看，從點a到點b的距離可能是1.5，但是從點b的角度來看，從點b到點a的距離可能只有0.6。

基于圖形的直覺，可認(rèn)為這是具有不同權(quán)重的有向邊，如下圖所示：

Edges with incompatible weights

解決方法：

將權(quán)重為 a 和 b 的兩條不一致的邊合并在一起，那么我們應(yīng)該有一條具有組合權(quán)重 $a+b-a·b$ 的邊。考慮這一點的方法是，權(quán)重實際上是邊 (1-單純形) 存在的概率。然后，組合權(quán)重是至少一條邊存在的概率。

如果我們應(yīng)用這個過程將所有模糊單純集合并在一起，我們最終得到一個單一的模糊單純復(fù)合體，我們可以再次將其視為一個加權(quán)圖。在計算方面，我們只是將邊權(quán)重組合公式應(yīng)用于整個圖 (非邊的權(quán)重為0)。最后，我們得到了類似這樣的東西。

Graph with combined edge weights

因此，最終只是構(gòu)造了一個加權(quán)圖。但是背后有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)知識在支撐。

因此，假設(shè)我們現(xiàn)在有了數(shù)據(jù)的模糊拓?fù)浔硎?(數(shù)學(xué)上說它將捕獲數(shù)據(jù)背后的流形的拓?fù)?，我們?nèi)绾螌⑵滢D(zhuǎn)換為低維表示呢？

找到一個低維表示

目的：希望低維表示具有盡可能相似的模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
第一個問題是如何確定低維表示的模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu);
第二個問題是如何找到一個好的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

第一個問題可遵循以上尋找數(shù)據(jù)模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的過程。

數(shù)據(jù)位于的流形是我們試圖嵌入的低維歐幾里德空間。因此，流形上的距離是相對于全局坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)歐幾里得距離，不再是變化的度量。

第二個問題，“如何找到一個好的低維表示”，即衡量模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的匹配程度，最終可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題。

采用的優(yōu)化方法是交叉熵函數(shù)。

回顧之前的權(quán)重處理方法，我們將權(quán)重解釋為單純形存在的概率。由于我們正在比較的兩個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)共享相同的0-單純形，可以想象我們正在比較由1-單純形索引的兩個概率向量。假設(shè)這些都是伯努利變量 (最終單純形要么存在，要么不存在，而且概率是伯努利分布的參數(shù))，這里正確的選擇是交叉熵。

如果所有可能的 1-單純形的集合是 $E$ ，并且有權(quán)重函數(shù)使得 $w_h(e)$ 是高維情況下 $e$ 的權(quán)重， $w_l(e)$ 是低維情況下 $e$ 權(quán)重，則交叉熵是：

$\sum_{e \in E} w_h(e) log (\frac{w_h(e)}{w_l(e)}) + (1-w_h(e)) log(\frac{1-w_h(e)}{1-w_l(e)})$

從圖的角度來看，可將最小化交叉熵視為一種力有向圖布局算法 (force directed graph layout algorithm)。

第一項， $w_h(e)log(\frac{w_h(e)}{w_l(e)})$ 在點 $e$ 跨度之間提供吸引力，當(dāng)在高維空間存在較大的權(quán)重時。最小化這一項時， $w_l(e)$ 要盡可能大，這時點之間的距離是盡可能小的。

第二項， $(1-w_h(e))log(\frac{1-w_h(e)}{1-w_l(e)})$ 在 $e$ 兩段之間提供排斥力，當(dāng) $w_h(e)$ 較小時。通過使 $w_l(e)$ 盡可能小來最小化這一項。

UMAP 算法

總結(jié)：構(gòu)建UMAP算法包括：第一階段包括構(gòu)建模糊拓?fù)浔硎荆缟纤觥５诙A段是簡單地優(yōu)化低維表示，使其具有盡可能接近的模糊拓?fù)浔硎荆⒂媒徊骒貋矶攘俊?/p>

構(gòu)建初始模糊拓?fù)浔硎?/strong>

在實踐中，由于模糊集隸屬度逐漸衰減到幾乎為零，我們只需要計算每個點的最近鄰域的隸屬度。歸根結(jié)底，這意味著我們需要一種快速高效地計算(近似)最近鄰居的方法，在高維空間中也是如此。

優(yōu)化低維嵌入

在實踐中，UMAP 使用 $\frac{1}{1+a y^{2b}}$ 的曲線族。

由于拓?fù)浔硎镜睦绽顾阕邮橇餍蔚腖aplace-Beltrami算子的近似，我們可以使用譜嵌入初始化低維表示。

數(shù)學(xué)表達(dá)

UMAP can ultimately be described in terms of, construction of, and operations on weighted graphs.

高維空間的分布

用找最近鄰的算法，得到每個 $x_i$ 的 k 最近鄰集合 $\lbrace x_{i_1},...,x_{i_k}\rbrace$

對于每個 $x_i$ ，確定 $\rho_i$ 和 $\sigma_i$ :

$\rho_i = min\lbrace d(x_i, x_{i_j})|1 \leq j \leq k, d(x_i, x_{i_j}) > 0 \rbrace$

$\sum_{j=1}^k exp(\frac{-max(0,d(x_i, x_{i_j})- \rho_i)}{\sigma_i}) = log_2(k)$

分布的計算
$p_{i|j} = exp(\frac{-max(0,d(x_i, x_{i_j})- \rho_i)}{\sigma_i})$

$p_{ij} = p_{i|j}+p_{j|i}-p_{i|j}p_{j|i}$

低維空間的分布

$q_{ij}= (1 + a(y_i - y_j)^{2b})^{-1}$

where $a \approx1.93$ and $b \approx0.79$ for default UMAP hyperparameters.

交叉熵作為代價函數(shù)

交叉熵函數(shù)

Algorithm description

總而言之，UMAP算法相對簡單(參見算法1)。

如算法1所述，UMAP算法采用四個超參數(shù)：

$n$ ，近似本地度量時要考慮的鄰居數(shù)量；

$d$ ，目標(biāo)嵌入維度；

min_dist，嵌入空間中閉合點之間的期望間隔；

$n$ 次迭代，即優(yōu)化低維表示時要使用的訓(xùn)練迭代的數(shù)目。

下面將更詳細(xì)地描述用于構(gòu)造局部模糊單純集、確定譜嵌入以及關(guān)于模糊集交叉熵優(yōu)化嵌入的各個函數(shù)。

算法 2 描述了局部模糊單純集。我們可以通過尋找n個最近鄰域，在流形上生成適當(dāng)?shù)臍w一化距離，然后通過函子FinSing將有限度量空間轉(zhuǎn)換為單純集，在這種情況下，單純集轉(zhuǎn)化為負(fù)距離的指數(shù)，從而構(gòu)造出局部于給定點 $x$ 的模糊單純集。

如算法 3 所示。我們不是直接使用到第 n 個最近鄰居的距離作為歸一化，而是使用KNN距離的平滑版本，它將 1-單純形的模糊集合的基數(shù)固定為固定值。為此，我們在實證實驗的基礎(chǔ)上選擇了log2(N)。

算法4：通過將全局模糊拓?fù)浔硎镜?-骨架視為加權(quán)圖，并在對稱歸一化拉普拉斯算子上使用標(biāo)準(zhǔn)譜方法來執(zhí)行譜嵌入。

UMAP的最后一個主要組成部分是通過最小化模糊集交叉熵來優(yōu)化嵌入。回想一下，關(guān)于給定的隸屬函數(shù) $\mu$ 和 $\nu$ ，模糊集交叉熵由下式給出

通過最小化模糊集合的 cross entropy 來最優(yōu)化低維嵌入。

$C((A, \mu),(A, \nu)) = \sum_{a\in A} \mu (a) log (\frac{\mu (a)}{\nu (a)}) + (1-\mu (a)) log (\frac{(1-\mu (a))}{(1-\nu (a))})$

算法 5 通過隨機(jī)梯度下降來優(yōu)化整個過程。

實驗結(jié)果

1. 對全局結(jié)構(gòu)和局部結(jié)構(gòu)的雙重捕捉

從圖中幾種降維算法的比較中可發(fā)現(xiàn):UMAP成功地反映了Laplacian特征映射和 PCA(特別是對于MNIST和Fashion-MNIST)所很好地表示的大部分大規(guī)模全局結(jié) 構(gòu)，同時也保留了類似于t-SNE和LargeVis的局部精細(xì)結(jié)構(gòu)。

2. UMAP 運(yùn)行時間感人！

3. 受樣本大小約束較小

4. UMAP 在數(shù)萬維范圍內(nèi)仍然表現(xiàn)良好

UMAP、t-SNE、FIT-SNE和Largevis相對于數(shù)據(jù)環(huán)境維度的運(yùn)行時性能縮放。當(dāng)環(huán)境維度增加到幾千維以上時，t-SNE、Fit-SNE和LargeVis的計算成本都會急劇增加，而 UMAP 在數(shù)萬維范圍內(nèi)仍然表現(xiàn)良好。

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