前言：本篇文章只是記錄王爭的數據結構與算法之美的學習筆記，寫下來能強迫自己系統的再過一遍，加深理解。這門課以實際開發中遇到的問題為例，引入解決問題涉及到的的數據結構和算法，但不會講的太細，最好結合一本實體書進行學習。

在求解鏈表的問題時，經常會用到遞歸，并且之后的 DFS 深度優先搜索、前中后序二叉樹遍歷等，所以我們必須要了解遞歸。

1. 遞歸

去的過程叫"遞"，回來的過程叫"歸"，基本上，所有的遞歸問題都可以用遞推公式來表示。

舉個例子，看電影去時，不知道自己是第幾排了，可以問前面一排的人他是第幾排，只要在他的數字上+1，就可以了，但是前面的人也不清楚，所以他也問他前面的人，這樣一排一排的問，直到問道第一排，第一排的人說我在第一排，然后一排一排的再把數字傳回來，直到你前面的人告訴你他在哪一排，于是就知道答案了，我們用遞推公式表示出來：

f(n) = f(n-1)+1，其中 f(1) = 1

改成遞歸代碼如下：

int f(int n){
  if(n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

2. 遞歸需要滿足的三個條件

• 一個問題的解可以分解為幾個子問題的解
• 這個問題與分解之后的子問題，除了數據規模不同，求解思路完全一樣
• 存在遞歸終止條件

寫遞歸代碼最關鍵的是寫出遞推公式，找到終止條件，剩下將遞推公式轉化為代碼就很簡單了。

比如上臺階的問題，每次可以跨 1 個或 2 個臺階，請問走 n 個臺階需要有多少種走法？
我們可以根據第一步的走法把所有走法分為兩類，第一類是第一步走 1 個臺階，另一類是第一步走 2 個臺階，所以 n 個臺階的走法就等于先走 1 階后，n-1個臺階的走法 加上先走 2 階后，n-2個臺階的走法，用公式表達就是：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

再來看下終止條件，f(1) = 1，f(2) = 2，所以遞歸代碼如下所示：

int f(int n){
  if(n==1) return 1;
  if(n==2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

寫遞歸代碼的關鍵就是：

• 1.找到如何將大問題分解為小問題的規律
• 2.并且基于此寫出遞推公式
• 3.然后再推敲終止條件
• 4.最后將遞推公式和終止條件翻譯成代碼

另外，不要試圖想清楚整個遞和歸的過程，人腦沒辦法都想清楚，如果一個問題A 可以分解為若干子問題 B C D，可以假設 B C D 已經解決，然后在此基礎上思考如何解決問題 A，不需要一層一層往下思考子問題和子子問題的關系，要屏蔽掉細節。

只要遇到遞歸，就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關系。

3. 注意事項

3.1 遞歸代碼警惕堆棧溢出

遞歸就是自己調用自己，函數調用會使用棧來保存臨時變量，每調用一次函數，都會將臨時變量封裝成棧幀壓入內存棧，等函數執行完成返回時，才出棧。如果遞歸求解的數據規模很大，調用層次很深，就會有堆棧溢出的風險。

那么如何避免呢？
可以限制遞歸調用的最大深，遞歸調用超過一定深度之后，就不繼續遞歸了，直接返回報錯，比如電影院的那個例子：

// 全局變量，表示遞歸的深度。
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth；
  if (depth > 1000) throw exception;
  
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

如果最大深度比較小，可以用此種方法。

3.2 警惕重復計算

第二個上臺階問題的遞歸過程分分解圖：

image.png

從圖中可以看到，想要計算f(5)，需要先計算 f(4) 和 f(3)，而計算 f(4) 還需要計算 f(3)，因此，f(3) 就被計算了很多次，這就是重復計算問題。

我們可以用散列表來解決這個問題，保存已經求解過的 f(k)，當遞歸調用到 f(k)時，如果之前已經求解過，則直接從散列表中取值，不需要重復計算，代碼如下：

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList可以理解成一個Map，key是n，value是f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSolvedList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSolvedList.put(n, ret);
  return ret;
}

在空間復雜度的計算上，遞歸調用一次就會在內存棧中保存一次現場數據，所以上面講到的電影院的遞歸代碼，空間復雜度為 O(n)。

遞歸優點：

• 表達力強
• 代碼簡潔

遞歸缺點：

• 空間復雜度高
• 有堆棧溢出風險
• 存在重復計算、過多函數調用導致耗時較多等問題

4. 遞歸改為非遞歸

所有的遞歸代碼都可以改為迭代循環的非遞歸寫法，遞歸本身就是借助棧來實現的，只不過使用的棧是系統或者虛擬機提供的。如果我們自己實現棧，手動模擬入棧、出棧過程，這樣就可以了。

5. 總結

遞歸就是借助棧實現的，需要注意它的空間復雜度。
寫遞歸代碼先要寫出遞推公式，然后找出終止條件，再翻譯成遞歸代碼。
要注意堆棧溢出、重復計算、函數調用耗時多、空間復雜度高問題。

遞歸是需要配合其他數據結構來進行的，在以后的練習題中會經常遇到遞歸了。