轉自俞夕的博客。（侵刪）

解析解

解析解(Analytical solution) 就是根據嚴格的公式推導，給出任意的自變量就可以求出其因變量，也就是問題的解，然后可以利用這些公式計算相應的問題。所謂的解析解是一種包含分式、三角函數、指數、對數甚至無限級數等基本函數的解的形式。用來求得解析解的方法稱為解析法(Analytical techniques)，解析法即是常見的微積分技巧，例如分離變量法等。

封閉解

解析解是一個封閉形式(Closed-form) 的函數，因此對任一自變量，我們皆可將其帶入解析函數求得正確的因變量。因此，解析解也被稱為封閉解(Closed-form solution)。

數值解

數值解(Numerical solution) 是采用某種計算方法，如有限元法， 數值逼近法，插值法等得到的解。別人只能利用數值計算的結果，而不能隨意給出自變量并求出計算值。

當無法藉由微積分技巧求得解析解時，這時便只能利用數值分析的方式來求得其數值解了。在數值分析的過程中，首先會將原方程加以簡化，以利于后來的數值分析。例如，會先將微分符號改為差分（微分的離散形式）符號等，然后再用傳統的代數方法將原方程改寫成另一種方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一自變量帶入，求得因變量的近似解，因此利用此方法所求得的因變量為一個個離散的數值，不像解析解為一連續的分布，而且因為經過上述簡化的操作，其正確性也不如解析法可靠。

簡而言之，

• 解析解就是給出解的具體函數形式，從解的表達式中就可以算出任何對應值；
• 數值解就是用數值方法求出近似解，給出一系列對應的自變量和解。