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一、一元二次不等式

1.一元二次不等式的標準形式

$ax^2+bx+c>0（或<0）$
其他非標準形式的不等式可以通過等價變形轉化為標準形式

2.解一元二次不等式的步驟

①先化成標準型: $ax^2+bx+c>0（或<0）$ ，且a>0；
②計算對應方程的判別式△;
③求對應方程的根;
④利用口訣“大于零在兩邊，小于零在中間”寫出解集

3.函數、方程、不等式的關系

常說的三個“二次”即指二次函數、一元二次方程和一元二次不等式，
這三者之間有著密切的聯系，處理其中某類問題時，要產生對于另外兩個“二次”的聯想，或進行轉化，或幫助分析，具體到解一元二次不等式時，就是要善于利用相應的二次函數的圖像進行解題分析，要能抓住一元二次方程的根與一元二次不等式的解集區間的端點值的聯系。

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解集的符號與不等式同號，說明未知數系數為正，解集的邊界值為方程的根

二、一元二次方程

1.概念

只含一個未知數，且未知數的最高次數是 2 的方程，稱為一元二次方程
一般形式： $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ .

配方式： $a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0$

兩根式： $a(x-x_1)(x-x_2)=0$ ( $x_1,x_2$ 為二次方程的根，但不一定是實根)

題目己知一元二次方程，則二次項系數a#0
果題目只說方程 $ax^2+bx+c=0$ ，則要進行分類討論，按照系數是否為0進行討論

2.一元二次方程根的情況

令 $\Delta=b^2-4ac$ ，次方程的解將在 $\Delta$ 值的不同分為如下三種情況：
①當 $\Delta>0$ 時，方程有兩個不等實數根，根的表達式為： $x_1,x_2=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$
②當 $\Delta=0$ 時，方程有兩個相等實數根，根的表達式為： $x_1,x_2=-\frac{b}{2a}$
③當 $\Delta<0$ 時，方程無實數根

由于 $\Delta$ 在判斷一元二次方程的解時的重要作用，稱 $\Delta=b^2-4ac$ 為一元二次方程的判別式。

3.根與系數的關系（韋達定理）

設一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ ，兩根 $x_1，x_2$ 有如下關系：

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1·x_2=\frac{c}{a}$

擴展：利用韋達定理可以求出關于兩根的對稱輪換式（未知數交換位置結果不變）的數值

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1·x_2} = -\frac{b}{c}$

$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}$

$|x_1-x_2| = \sqrt{(x_1-x_2)^2} = \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$

$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2$

$x_1^2-x_2^2 = (x_1+x_2)(x_1-x_2)$

$x_1^3+x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2) = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]$

4.根據實根的正負號情況判斷參數符號情況

1.兩個正根：ac同號與b異號

$兩個正根 = \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0 ?ab<0 \\ x_1·x_2=\frac{c}{a}>0 ?ac>0 \\ \Delta≥0 \\ \end{cases}$

2.兩個負根：abc均同號

$兩個負根 = \begin{cases} x_1+x_2=-\frac{b}{a}<0 ?ab>0 \\ x_1·x_2=\frac{c}{a}>0 ?ac>0 \\ \Delta≥0 \\ \end{cases}$

3.一正一負兩實根：ac異號

$一正一負兩實根 = \begin{cases} x_1·x_2=\frac{c}{a}<0 ?ac<0 \\ \Delta>0(恒成立) \\ \end{cases}$

如果一個根大于m，一個根小于m ? af(m)<0

三、一元二次不等式組

1.不等式定義

用不等號連接的兩個(或兩個以上)解析式稱為不等式，使不等式成立的未知數的取值稱為不等式的解(不等號包括>、<、≤、≥、≠五種).

2.不等式分類（三大不等式模型）

按照不等式的解的情況可以將不等式分為以下三類
(1)絕對不等式: 解集為R的不等式; （恒成立不等式：對于未知數x，取任意實數，不等式恒成立）
(2)條件不等式: 解集為實數集的非空真子集的不等式（有解不等式）
(3)矛盾不等式: 解集為空集的不等式.（無解不等式，無論未知數x取哪個實數，不等式都不成立）

3.不等式性質

1.傳遞性

$\left. \begin{matrix} a>b\\ b>c\\ \end{matrix} \right\}?a>c$

2.同向相加性

$\left. \begin{matrix} a>b\\ c>d\\ \end{matrix} \right\}?a+c>b+d$

3.同向皆正相乘性

$\left. \begin{matrix} a>b>0\\ c>d>0\\ \end{matrix} \right\}?ac>bd$

4.同號倒數性

$a>b>0?\frac{1}{b}>\frac{1}{a}>0;$
$a<b<0?\frac{1}{b}<\frac{1}{a}<0;$

5.皆正乘（開）方性

$a>b>0?a^n>b^n>0，\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}>0（n∈Z_+）$

四、均值不等式

1.兩大平均值以及計算

1.1 算術平均值

設有n個數 $x_1,x_2,.....,x_n$ ，稱 $\overline{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ 為這n個數的算術平均值，簡記為：
$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{x_i}}{n}$

多個數據的和除以數據的個數

1.2 幾何平均值

設有n個正整數 $x_1,x_2,.....,x_n$ ，稱 $x_g = \sqrt[n]{x_1·x_2·.....·x_n}$ 為這n個正數的幾何平均值，簡記為：
$x_g =\sqrt[^n]{\displaystyle \prod_{i=1}^{n}{x_i}}$

幾何平均值是對于正數而言的。幾何平均值開方次數=數據個數

1.3 均值定理

當 $x_1,x_2,.....,x_n$ 為n個正數時，他們的算術平均值不小于幾何平均值，即
$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} ≥ \sqrt[n]{x_1·x_2·.....·x_n}（x_i>0,i=1,···,n）$
當且僅當 $x_1=x_2=···=x_n$ 時，等號成立

如： $\frac{2+4+27}{3}=11 > \sqrt[3]{2×4×27} = 6$

平均值定理本質是研究和與積的大小關系.即 $\frac{和}{n}≥\sqrt[n]{積}$

三要素（一正二定三相等）：

數據為正
一定要有和/積的定值
數據相等取等號

1.4 最值應用

當乘積為定值時，和有最小值： $和≥n\sqrt[n]{積}$
1×16=2×8=4×4=16，則1+16>2+8>4+4，當且僅當a=b=4，和取最小值8

當正整數乘積為定值時，數據距離越近，和越小；距離越遠，和越大

當和為定值時，乘積有最大值： $積≤(\frac{和}{n})^n$
3+7=4+6=5+5=10，則3×7<4×6<5×5，當且僅當a=b=5，積取最大值25

當正整數和為定值時，數據距離越近，積越大；距離越遠，積越小

1.5 特殊情況

$當n=2時? \begin{cases} a+b≥2\sqrt{ab} \\ ab≤(\frac{a+b}{2})^2 \\ \end{cases} (a,b>0)$

$a+\frac{1}{a}≥2（a>0）$ ，即對于正數而言，互為倒數的兩個數之和不小于2，且當a=1時取得最小值2

$a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}（a,b,c>0）$

五、特殊不等式

1.絕對值不等式

解絕對值不等式的基本思想是去掉絕對值符號，把含有絕對值號的不等式等價轉為不含絕對值的不等式。常用方法：

①分段討論法
$|f(x)|= \begin{cases} f(x)&f(x)≥0 \\ -f(x)&f(x)＜0 \\ \end{cases}$

②平方法（不等號兩側均為非負）
$(|f(x)|)^2=[f(x)]^2$

③公式法
$|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a$
$|f(x)|>a(a>0)?f(x)<-a 或 f(x)>a$

擴展：
$|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)為正)$
$|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(g(x)為正)$

④圖像法

2.分式不等式

1.簡單分式不等式

$\frac{x-a}{x-b}≥0（a<b）的解集為\{x|x≤a或x>b\}$

$\frac{x-a}{x-b}≤0（a<b）的解集為\{x|a≤x<b\}$

2.其他分式不等式

分式不等式的解法一般通過移項整理成標準型 $\frac{f(x)}{g(x)}>0或\frac{f(x)}{g(x)}<0$ ，再等價化成整式不等式來解

$\frac{f(x)}{g(x)}>0?f(x)·g(x)>0$

$\frac{f(x)}{g(x)}<0?f(x)·g(x)<0$

$\frac{f(x)}{g(x)}≥0?f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0$

$\frac{f(x)}{g(x)}≤0?f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0$

最后再討論各因子的符號或按數軸標根法寫出解集

3.高次不等式

穿針引線法

“數軸穿線法”用于解一元高次不等式非常方便，其解題步驟如下:
①分解因式，化成若干個因式的乘積.
②作等價變形，便于判斷因式的符號，例如: $x^2+1,x^2+x +1,x^2-3x +5$ 等，這些因式的共同點是無論x取何值，式子的代數值均大于零（a為正數）
③由小到大，從左到右標出與不等式對應的方程的根.
④從右上角起，“穿針引線”.
⑤重根的處理，依“奇穿偶不穿” 原則.（偶次冪不穿，奇次冪穿）
⑥畫出解集的示意區域，如圖，從左到右寫出解集
遇零點變號，陰影部分為 $f(x)>0$ 的解集

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穿線法是先在數軸上標注出每個因式的零點，然后從右上方穿一條線，遇到零點就穿過一次，圖像在數軸上方代表大于零，在數軸下方代表小于零.需要注意的是，對于偶數次方的因式，該零點不穿透，另外在使用穿線法的時候，x 的系數都要轉化為正數來分析

4.無理不等式（根式不等式）

對于無理不等式，一般是通過平方轉化為有理不等式進行求解。在求解時，注意根號要有意義。

5.指數對數不等式

結合單調性進行分析。或者換元轉為一般的不等式。

6.柯西不等式（求解平方和及一次表達式）

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2，當ad=bc時，兩邊相等$

推導過程:
$\begin{align*} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2 \\ &=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2-(a^2c^2-2abcd+b^2d^2) \\ &=a^2d^2-2abcd+b^2c^2\\ &=(ad-bc)^2≥0\\ 故(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2 \end{align*}$

六、特殊方程

1.絕對值方程

常用處理絕對值的方法:
(1)分段討論法
根據絕對值的正負情況來分類討論，其缺點是運算量較大，只有當絕對值比較簡單時，才分段討論求解.
(2)平方法
采用平方來去掉絕對值，利用公式 $|x|^2=x^2$ 來分析求解，平方法的缺點是次方升高，一般結合平方差公式來轉移此缺點.
(3)圖像法
圖像法比較直觀，通過常見絕對值圖像來分析.

2.分式方程

解分式方程的步驟是:
方程兩邊都乘以最簡公分母，將分式方程轉化為整式方程，求出根以后，要驗證原分式的分母是否有意義.

增根的產生:
分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當把分式方程轉化為整式方程后，方程中未知數允許取值的范圍擴大了，如果轉化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，就會出現不適合原方程的根，即增根;因為解分式方程可能出現增根，所以解分式方程必須驗根.

3.無理方程（根式方程）

解無理方程:

一般通過方程兩邊同時乘方，使之轉化為有理方程，從而求出方程的解，
求完以后要驗證根號是否有意義.
出現多個根式，一定要將根式分開在等號左右兩側再進行平方

注意解無理方程時，由于方程兩邊同時乘方，未知數的取值范圍可能會擴大，有產生增根的可能.因此，最后必須進行驗根.

4.指數、對數方程

一般遇到指數或對數方程，都要先經過換元，轉化成常見的一元二次方程進行討論分析在換元的過程中，一定要注意換元前后變量的取值范圍的變化.
轉為同底數。

注意在解對數方程的時候，還要驗證定義域.

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一元二次方程和不等式