問題121：給定一個數組，它的第i個元素是給定股票第i天的價格。如果你最多只能買入和賣出兩次，設計一個算法來計算你所能獲取的最大利潤。注意：你不能在買入股票前賣出股票。

解法一：切成兩段，每段分別用第121題的方法，求兩段和最大值；

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        def maxPro(prices):
            if not prices:
                return 0
            dif = []
            predp = 0
            ans = 0
            for i in range(1, len(prices)):
                dif = prices[i] - prices[i-1]
                predp = max(dif, dif + predp)           
                ans = max(predp, ans)
            return ans
        
        max_pro = 0
        for mid in range(0, len(prices)):
            cur_pro = maxPro(prices[:mid+1]) + maxPro(prices[mid+1:])
            if cur_pro > max_pro:
                max_pro = cur_pr
        return max_pro

這種方法比較直觀，但是會超時。

解法二：動態規劃。

這種解法，比較難理解，也可能是我太菜了，自己從頭到尾推了一遍，才勉強理解。

舉個例子，對于[7, 1, 5, 3, 6, 4]， 其狀態轉移圖如下所示。先遍歷列，再遍歷行。注意，輸出的是max(0, max(dp[len(prices)][2], dp[len(prices)][4]))，因為最大利潤既可能在第一次賣出時獲得，又可能在第二次賣出時獲得。如果操作一定虧損，干脆不進行任何操作，直接輸出0。

完整代碼：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [[float('-inf') for _ in range(5)] for _ in range(len(prices)+1)]
        for i in range(len(prices)+1):
            dp[i][0] = 0
        for i in range(1, len(prices)+1):
            for j in range(1, 5):          
                if j % 2 == 1:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] - prices[i-1], dp[i-1][j])
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1] + prices[i-1], dp[i-1][j])
        return max(0, max(dp[len(prices)][2], dp[len(prices)][4]))

運行結果：

與背包問題類似，我們可以對該程序進行優化，優化到一維。
注意，要從后往前遍歷，因為計算的時候，的值依賴于，而此時的應該是第輪的，而不是第輪的。所以，一定要在更新之前更新，因此要從后往前遍歷。同時，這也是先遍歷，再遍歷的原因。

優化代碼：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        dp = [float('-inf') for _ in range(5)]
        dp[0] = 0        
        for i in range(1, len(prices)+1):
            #j從后往前遍歷
            for j in range(4, 0, -1):
                if j % 2 == 1:
                    dp[j] = max(dp[j-1] - prices[i-1], dp[j])
                else:
                    dp[j] = max(dp[j-1] + prices[i-1], dp[j])
        return max(0, max(dp[2], dp[4]))

運行結果：