在學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的時候，往往學(xué)習(xí)的思路是直奔主題，學(xué)習(xí)各種大神們設(shè)計出來的結(jié)構(gòu)精妙的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。但是，這樣的學(xué)習(xí)方式使各個結(jié)構(gòu)在腦中形成了一個個孤島，沒有什么聯(lián)系。
如果換個角度，從問題入手，看看為了解決特定的問題，我們需要什么樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來更好地解決問題，在一步步解決問題的過程中，看看結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系是怎么樣的，這樣的學(xué)習(xí)效果會不會好一些？
現(xiàn)在就來試一試，從解決查找問題為切入點，延伸到B樹，B+樹。
問題是什么？
從計算機誕生以來，數(shù)據(jù)就未曾離開過計算機。人類與計算機交互所產(chǎn)生的輸入、操作系統(tǒng)、運行在操作系統(tǒng)上的軟件、軟件處理的業(yè)務(wù)信息，這些都是數(shù)據(jù)，而計算機的運行過程就是對各種數(shù)據(jù)做計算的過程。這時問題就來了，計算機要處理的數(shù)據(jù)從何而來？
如何看待存儲設(shè)備
數(shù)據(jù)存儲在存儲設(shè)備中，比如內(nèi)存、硬盤。
先看看內(nèi)存。
內(nèi)存從結(jié)構(gòu)上來看，像是一個由點組成的矩陣，行的長度是8，寬度則視內(nèi)存大小而定，每個點是一個bit，存儲著0、1值。一行由8個點組成，即一行是8bit，即1byte。
CPU訪問內(nèi)存的方式是通過內(nèi)存地址，每個內(nèi)存地址指向的bit都是位于矩陣的第一列的bit，并且一次對內(nèi)存的訪問會獲取8bit(1byte)或16bit(2byte)或32bit(byte)等等，即獲取8n bit(n byte)，n值由CPU位數(shù)決定。
根據(jù)CPU對于內(nèi)存的訪問方式，可以把上邊所說的由點組成的矩陣，抽象成由 地址-數(shù)據(jù) 兩列組成的表，通過一個內(nèi)存地址，就能獲取到相對應(yīng)的數(shù)據(jù)。
再看看磁盤。
磁盤中的數(shù)據(jù)存儲在多張盤片上，每張盤片以圓心為軸，劃分為多個磁道，每個磁道上等距離的分布著多個點，點中記錄著0、1信號。因此要訪問磁盤中的某個bit數(shù)據(jù)，需要指定在哪張盤片、哪個磁道、哪個位置。能不能通過抽象來簡化對磁盤的訪問？這樣嘗試一下，把每個盤片以圓心為軸分割成多個扇面，每個扇面512Byte，再把每個盤片的每個扇面按順序編上序號，這樣訪問磁盤的方式就變成了通過一個扇面編號，就能獲取到相對應(yīng)的512byte數(shù)據(jù)，即抽象成了由 扇面標號-數(shù)據(jù) 兩列組成的表。
無論是內(nèi)存，還是磁盤，對數(shù)據(jù)的訪問都可以抽象成一張表，表的第一列是我們?nèi)〉脭?shù)據(jù)需要的憑證，第二列是對應(yīng)的數(shù)據(jù)。
我們可以認為，這就是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中所說的線性結(jié)構(gòu)，屬于最基本、最原始的結(jié)構(gòu)。所以無論是訪問內(nèi)存、還是訪問磁盤，我們都認為是對線性結(jié)構(gòu)的訪問。
下邊把內(nèi)存、磁盤中的數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為線性結(jié)構(gòu)。
如何從線性結(jié)構(gòu)找到想要的數(shù)據(jù)
完成了上邊的抽象，我們開始考慮一個問題：假設(shè)在線性結(jié)構(gòu)中存儲著數(shù)據(jù)A，我們想通過數(shù)據(jù)A的標識來找到它，該怎么做？
1. 順序遍歷
最簡單的方式，就是對線性結(jié)構(gòu)從頭到尾的找，看看哪個數(shù)據(jù)是我們要的數(shù)據(jù)。
這個方式簡單可行，很容易就達到了目的。
這時出現(xiàn)了一個新的問題，如果線性結(jié)構(gòu)的長度越來越長，用上邊的方式會怎樣？
如果目標數(shù)據(jù)位于第1000項，我們需要比較1000次標識才能找到，也就是說有999次無意義的比較，尤其是在線性結(jié)構(gòu)長且目標數(shù)據(jù)位于偏后的位置時。
既然這樣，那可不可以避免無意義的比較來提高查找的效率？
2. 哈希表
現(xiàn)在嘗試著在線性結(jié)構(gòu)之外構(gòu)造一個新的結(jié)構(gòu)--哈希表，這個結(jié)構(gòu)能夠根據(jù)要查找的數(shù)據(jù)，直接定位到數(shù)據(jù)的位置，從而提高查找效率。
這次，不管數(shù)據(jù)有多少，我們能夠用1次計算就能找到數(shù)據(jù)A了，在效率上不能更快了！
這里對哈希表做了簡化，實際上會有哈希沖突的問題，這個問題會影響查找的效率，影響程度取決于哈希表的寬度和哈希算法的離散程度，這里不展開討論。
不過還是存在著問題。哈希表與線性結(jié)構(gòu)是一一映射的關(guān)系，這就代表了哈希表的大小會隨著線性結(jié)構(gòu)的增大而增大，這在線性結(jié)構(gòu)很大的情況下是一筆不小的空間開銷。也就是說，哈希表是一種用空間換時間的策略。
那么，下一個問題來了：在不犧牲空間的前提下，能不能得到一個較高的查找效率？
3. 二叉查找樹
想要不犧牲過多的空間，同時還要得到比順序遍歷更高的查找效率，這就代表著我們得讓線性結(jié)構(gòu)本身具備某種線索能夠引導(dǎo)我們找到目標的數(shù)據(jù)。所以我們把線性結(jié)構(gòu)構(gòu)造成樹結(jié)構(gòu)：
構(gòu)建后的結(jié)構(gòu)不夠直觀，用樹形表示看下：
可以看到，在構(gòu)建后的二叉搜索樹中查找數(shù)據(jù)A的過程進行了3次比較，而用順序查找的方式是3次比較，效率確實提高了些，但是看上去提高的不明顯。我們對順序查找和二叉搜索樹查找的效率進行量化看看。
假設(shè)數(shù)據(jù)量為n。
對于順序查找，最好的比較次數(shù)是1，即第一個就是目標數(shù)據(jù)；最壞的比較次數(shù)是n，即最后一個是目標數(shù)據(jù)。那么平均查找次數(shù) = (n+1)/2 ≈ O(n)
對于二叉搜索樹，最好的比較次數(shù)是1，即根節(jié)點是目標數(shù)據(jù)；最壞的比較次數(shù)是log(n+1)，即根節(jié)點是葉子節(jié)點。那么平均查找次數(shù) = (log(n+1) + 1)/2 ≈ O(logn)
其實二叉搜索樹的最壞比較次數(shù)是n，也就是當(dāng)樹被構(gòu)建成只有左子樹或者右子樹的時候，這里就不講樹的平衡了，把注意力都放在主要的思路上。所以，我默認構(gòu)建出來的樹都是平衡二叉樹，下文也是一樣。
看看兩種查找的時間復(fù)雜度曲線，由此看出，當(dāng)數(shù)據(jù)量大的時候，二叉搜索樹的平均查找效率高于順序查找，因此此結(jié)構(gòu)可以滿足不犧牲空間同時還能提高查找效率的需求。
我們?nèi)匀荒茉谶@個方案上發(fā)現(xiàn)問題。假設(shè)線性結(jié)構(gòu)的數(shù)量極大，內(nèi)存空間已無法容納，那么我們就不得不在磁盤中來存儲這份數(shù)據(jù)。這時問題來了，如果要在存儲在磁盤中的二叉搜索樹里查找數(shù)據(jù)，需要平均訪問logn次磁盤（由上文的時間復(fù)雜度得出），比如n=100k，則一次查找要平均訪問磁盤17次，這個很要命，要知道讀取機械硬盤的時間是幾十毫秒的級別，即使是SSD也得是幾十微秒，這和讀取內(nèi)存的納秒級別的速度差距非常大。因此，在這種情況下，硬盤的讀取速度導(dǎo)致了二叉搜索樹的查找速度非常緩慢。
既然硬盤的讀取速度是效率的瓶頸，那么能不能找到某種方式，通過減少讀取硬盤的次數(shù)來提高效率？
B樹
在二叉搜索樹中查找數(shù)據(jù)，每向下遍歷一層，則需要多訪問一次磁盤。那么，可以通過減少樹的深度來減少讀取磁盤的次數(shù)。
我們在二叉搜索樹的基礎(chǔ)上，拓展一下每個節(jié)點，即讓每個節(jié)點從只能存儲一份數(shù)據(jù)，拓展到最多存儲兩份數(shù)據(jù)。這樣每個節(jié)點能夠存儲1份或2份數(shù)據(jù)，所以每個節(jié)點長度不一定相等，需要通過指針來指向下一個節(jié)點，這個就是B樹。
可以看出來，拓展之后的樹的深度比原來少了1，所以最壞的情況下比較次數(shù)比原來少了1次，達到了減少訪問磁盤次數(shù)的目的。
那我們猜想一下，如果再擴展每個節(jié)點的數(shù)據(jù)，拓展成3份、4份....m份，那么節(jié)點會越來越寬，樹的深度會越來越小。
假設(shè)我們構(gòu)建了一棵每個節(jié)點存儲8份數(shù)據(jù)、深度為3的B樹，那么深度為1的節(jié)點有1個，總共存儲了1*8=8份數(shù)據(jù)；深度為2的節(jié)點有1*(8+1)=9個，總共存儲了9*8=72份數(shù)據(jù)；深度為3的節(jié)點有9*(8+1)=81個，總共存儲了81*8=680份數(shù)據(jù)。綜上，總共可存儲8+72+680=760份數(shù)據(jù)。也就是說我們對這760份數(shù)據(jù)做查找最多訪問磁盤3次，和上邊說的存儲了7份數(shù)據(jù)的搜索二叉樹持平。
為了達到效率最優(yōu)，B樹的節(jié)點大小往往被設(shè)置成與磁盤扇區(qū)大小一致，一般為512。因為一般讀取磁盤的單位是扇區(qū)，這樣的設(shè)置充分利用了每次對磁盤的讀取，從而減少讀取次數(shù)。
B樹解決了磁盤讀取過多導(dǎo)致查找效率低的問題，但它存在著查找之外的其他問題：如果我們想按順序遍歷一遍所有數(shù)據(jù)，需要怎么做？以上面的圖為例，遍歷A->B->C->D->E->F，這個過程中訪問了兩次B和F所在節(jié)點。也就是說非葉子節(jié)點需要訪問多次，這樣并不理想。
那么，有什么辦法能在滿足B樹特性的前提下還可以高效的順序遍歷所有數(shù)據(jù)？
B+樹
把B樹節(jié)點中的數(shù)據(jù)都放到葉子節(jié)點中，而非葉子節(jié)點中只保留標識和指針，看看結(jié)構(gòu)是什么樣的：
它依然保留著B樹的特性，同時還有些不同。B+樹只有遍歷到了葉子節(jié)點才能獲取到數(shù)據(jù)，非葉子節(jié)點中只有標識信息，這導(dǎo)致查找的效率變低了，但這換來的是所有數(shù)據(jù)都集中在了葉子節(jié)點中，從而能夠按順序串聯(lián)在一起，實現(xiàn)高效的遍歷。
總結(jié)
本文從對存儲設(shè)備中的數(shù)據(jù)做查找的問題開始討論，一步步找到解決方案，同時發(fā)現(xiàn)新的問題，如此往復(fù)直到延伸到B+樹。這里沒有討論具體的細節(jié)，比如如何解決哈希沖突、如何構(gòu)建平衡二叉樹等等，我希望把注意力放在在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中，在這個過程中逐漸衍生出新的結(jié)構(gòu)，并用這些結(jié)構(gòu)來解決特定的問題，從而對這些結(jié)構(gòu)能有個新的認識。
這里只涉及了小部分的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和查找這一個問題域，其他的結(jié)構(gòu)和問題還有很多，我相信也可以通過這種形式來思考一下，也許也會有同樣新的認識。
如果本次的討論有那些不嚴謹?shù)牡胤剑Ｍl(fā)現(xiàn)的人能幫我糾正一下，算是對我的幫助吧。
歡迎交流~
