卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，那么既然是數(shù)學(xué)運(yùn)算，那么就得有數(shù)學(xué)的特性——定義、性質(zhì)、定理。
本文將從卷積積分的理論、案例、求解方法、知識(shí)圖譜四方面介紹卷積積分！
一、【理論】卷積積分的理論
· 卷積積分定義：
? 卷積積分理解：
卷積積分定義描述得如此抽象，能不能給個(gè)生動(dòng)點(diǎn)的描述？有的，看下文！
字面上理解：
卷積：卷，把蛋卷起來，叫蛋卷，卷積，就是把多個(gè)蛋卷 積起來，求重疊部分面積！
符號(hào)：卷積是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們學(xué)過的數(shù)學(xué)運(yùn)算有加減乘除，那么我們來看看，卷積的符號(hào)和加號(hào)、乘號(hào)的關(guān)系！
故事上理解：
如果你每天都到地下去打臺(tái)球，那么老板每天都要扇你一巴掌，不過當(dāng)老板打你一巴掌后，你5分鐘就消腫了，所以時(shí)間長(zhǎng)了，你甚至就適應(yīng)這種生活了……
如果有一天，老板忍無可忍，以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程，這樣問題就來了，第一次扇你鼓起來的包還沒消腫，第二個(gè)巴掌就來了，你臉上的包就可能鼓起來兩倍高，老板不斷扇你，脈沖不斷作用在你臉上，效果不斷疊加了，這樣這些效果就可以求和了，結(jié)果就是你臉上的包的高度隨時(shí)間變化的一個(gè)函數(shù)了（注意理解）；
如果老板再狠一點(diǎn)，頻率越來越高，以至于你都辨別不清時(shí)間間隔了，那么，求和就變成積分了。可以這樣理解，在這個(gè)過程中的某一固定的時(shí)刻，你的臉上的包的鼓起程度和什么有關(guān)呢？和之前每次打你都有關(guān)！但是各次的貢獻(xiàn)是不一樣的，越早打的巴掌，貢獻(xiàn)越小，所以這就是說，某一時(shí)刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成某一點(diǎn)的輸出，然后再把不同時(shí)刻的輸出點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)函數(shù)，這就是卷積，卷積之后的函數(shù)就是你臉上的包的大小隨時(shí)間變化的函數(shù)。
本來你的包幾分鐘就可以消腫，可是如果連續(xù)打，幾個(gè)小時(shí)也消不了腫了，這難道不是一種平滑過程么？反映到劍橋大學(xué)的公式上，f(a)就是第a個(gè)巴掌，g(x-a)就是第a個(gè)巴掌在x時(shí)刻的作用程度，乘起來再疊加就ok了。
大家說是不是這個(gè)道理呢？我想這個(gè)例子已經(jīng)非常形象了，你對(duì)卷積有了更加具體深刻的了解了嗎？
? 卷積積分性質(zhì)：
微積分性質(zhì)和時(shí)移特性最喜歡被沖激函數(shù)和階躍函數(shù)使用：階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為沖激函數(shù)
二、【案例】卷積積分的典型應(yīng)用
· 案例1：與沖激函數(shù)的卷積
· 案例2：與階躍函數(shù)的卷積
三、【方法】卷積積分的求解方法
求解卷積積分的方法應(yīng)結(jié)合多種方法一起用
· 公式法求解卷積積分：
公式法包括了：定義法和性質(zhì)法
? 圖解法求解卷積積分：
圖解法舉例：
http://www.docin.com/p-875032548.html?docfrom=rrela
四、【圖譜】卷積積分的知識(shí)圖譜
花了這么久學(xué)的一個(gè)知識(shí)，我們總得知道他所處的知識(shí)體系的位置吧！廢話不多說，看圖！
卷積本身的知識(shí)圖譜：
卷積在信號(hào)與系統(tǒng)中的位置：
四、問題補(bǔ)充：
1. 卷積積分和普通積分的區(qū)別？
結(jié)論是：普通積分相當(dāng)于加法，卷積積分相當(dāng)于加權(quán)疊加。
理由是：我們知道圖形積分，就是把無限多個(gè)寬度相等的長(zhǎng)條進(jìn)行累加。而卷積積分相當(dāng)于在進(jìn)行長(zhǎng)條累加的時(shí)候，加入了權(quán)重。這就像古代交易，有的長(zhǎng)條是金條，有的是銀條，有的是銅條。這時(shí)候就不能用一般的加法運(yùn)算了，就需要加入權(quán)重。
