級別： ★☆☆☆☆
標簽：「算法」「DP策略」「動態規劃」
作者： MrLiuQ
審校： QiShare團隊

本篇將介紹動態規劃相關知識。

一、簡介

動態規劃（Dynamic Programming，簡稱DP）。

它的核心思想是把一個復雜的大問題拆成若干個子問題，通過解決子問題來逐步解決大問題。

注意：使用動態規劃思想有個前提：當且僅當每個子問題都是離散的（即每個子問題都不依賴于其他子問題時），才能使用動態規劃。

二、動態規劃之“0-1背包問題”

現在有這么一個場景，
“你”是一名“小偷”，你帶了個包去“偷東西”，。

條件1：每個商品只有一個，要么拿，要么不拿。（0-1背包問題）
條件2：你最多拿得動4kg的東西。（固定大小，可不裝滿）

在有限的重量條件下，如何“偷”，賺的錢最多？

方案一：簡單算法（可行，不推薦）

暴力枚舉出所有商品的排列組合，
舍去所有超出重量要求的組合，
從中挑一個最大的。

可行，但是太慢了，每多一件商品都會多2倍的組合。

方案測評：時間復雜度 O(2ⁿ)，超級超級慢，不推薦。

方案二：貪心算法（不可行）

用上篇介紹的貪心算法計算。

通過某個貪心策略（拿最貴的、拿性價比最高的商品）來得出近似解。

方案測評：這種方案接近最優解，是近似解，但不一定是最優解，故不可行。

方案三：動態規劃（可行，推薦）

• 原理：先解決子背包最優，再解決大背包最優。

先繪制出一張表格，一會我們一列一列慢慢填。（PS：體會動態規劃的算法過程）

表格：（實際上對應了一個二維數組）

先解讀一下這個表格，
行：代表了商品行（對應i），
列：代表了重量列（對應j），
格：代表當前的已有的商品、已有重量下所能拿的最大價值。

好了，下面我們開始一列一列的填：

第一行，只有商品A（價值：3000，重量：4kg）

第二行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）與商品B（價值：2000，重量：3kg）

第三行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）、商品B（價值：2000，重量：3kg）商品C（價值：1500，重量：1kg）

第四行，有商品A（價值：3000，重量：4kg）、商品B（價值：2000，重量：3kg）、商品C（價值：1500，重量：1kg）、商品D（價值：2000，重量：1kg）

大家有沒有發現，這里填寫每個表格時的算法可表示為：

對應行的商品的重量超過當前子背包的重量，就取上一行單元格的值，
商品的重量能裝下當前子背包，則取下面兩者的較大值：

• 上一個單元格的值（cell[i-1][j]）
• 當前商品的價值 + 剩余空間的價值（cell[i-1][j-當前商品的重量所對應的列號]）

下面填第二列：

第三列：

第四列：

于此反復判斷即可，這樣每個單元格都是最優解，通過解決子問題，推導出最終最優解。
這就是動態規劃，是不是很簡單呢？

轉換成Python代碼：

def package_dp(a, b, flag, n):
    c = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    for j in range(n):
        c[0][j] = 0

    for i in range(n):
        c[i][0] = 0
        for j in range(n):
            if b[i]>flag[j]:
                c[i][j] = c[i-1][j]
            else:
                temp1 = a[i] + c[i-1][j-b[i]]
                temp2 = c[i-1][j]
                c[i][j] = max(temp1,temp2)
            print c[i][j]
        print ("")
    return c

price = [0, 3000, 2000, 1500, 2000]
weight = [0, 4, 3, 1, 1]
flag = [0, 1, 2, 3, 4]

package_dp(price, weight, flag, 5)

三、細節問題

• 子背包拆分問題：按照 所有商品 的最大公約數（也有可能存在小數）去拆子背包。
  讓所有的商品都能被剛好裝下。

• 通過子背包的最優解 => 推導出 => 全背包的最優解。
  這個過程的思想，就是DP思想（動態規劃的核心思想）

四、動態規劃的應用場景

本文舉了背包與矩陣連乘的例子，其實思路都是一樣的。
只是應用場景不同，常見的應用場景有以下幾個：

• 0-1背包問題（ ??）
• 矩陣連乘法（ ??）
• 硬幣找零
• 字符串相似度
• 最長公共子序列
• 最長遞增子序列
• 最大連續子序列和/積
• 有代價的最短路徑
• 瓷磚覆蓋（狀態壓縮DP）
• 工作量劃分

參考資料：

• 常見的動態規劃問題分析與求解
• 動態規劃算法之矩陣連乘問題思路

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