題目介紹

Given?n?balloons, indexed from?0?to?n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array?nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon?i?you will get?nums[left] * nums[i] * nums[right]?coins. Here?left?and?right?are adjacent indices of?i. After the burst, the?left?and?right?then becomes adjacent.

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note:

You may imagine?nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.

0 ≤?n?≤ 500, 0 ≤?nums[i]?≤ 100

Example:

Input:[3,1,5,8]Output:167Explanation: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->? [3,8]? -->? [8]? --> []?? ? ? ? ? ? coins =? 3*1*5? ? ? +? 3*5*8? ? +? 1*3*8? ? ? + 1*8*1? = 167

翻譯

有?n?個氣球，編號為0?到?n-1，每個氣球上都標有一個數字，這些數字存在數組nums中。

現在要求你戳破所有的氣球。每當你戳破一個氣球?i?時，你可以獲得nums[left] * nums[i] * nums[right]個硬幣。?這里的left和right代表和i相鄰的兩個氣球的序號。注意當你戳破了氣球?i?后，氣球left和氣球right就變成了相鄰的氣球。

求所能獲得硬幣的最大數量。

說明:

你可以假設nums[-1] = nums[n] = 1，但注意它們不是真實存在的所以并不能被戳破。

0 ≤?n?≤ 500, 0 ≤?nums[i]?≤ 100

解題思路

? ? ????首先，第一個思路是暴力求解，枚舉出所有可能的排列可能，然后算分數，并取最大值。但是，顯然，我們會有n!中可能的排列，時間復雜度太大，因而放棄它。

? ? ????之后，我在想，能否將原問題分解成子問題，遞歸求解。以【3,1,5,8】為例，因為，踩氣球是一個一個地踩，我可以做的一個行為是任踩一個氣球，計算目前所得分數，并加上剩余氣球能夠得到的分數，由于，我有多種選擇的可能性，那么，我就計算所有的可能，并選取得分最高的方案。如，【3,1,5,8】 可有四種方案，3*1 + 【1,5,8】，3*1*5 +【3,5,8】，1*5*8 +【3,1,8】和 5*8 + 【3,1,5】。倘若遞歸的數列長度等于3，那么，我們就枚舉出3！= 6種可能性，然后選擇最大的分數返回。同時每當計算出一組序列的得分時，就把它存在一個字典dic里, 如dic[(5,8)] = 48，當需要求的序列的分數已經存在與dic中式，直接將其求出。但是，這種遞歸的時間復雜度也很高。之后，我在想，現在復雜度高的原因，是對于每一個長度為m的序列，我都要枚舉出m種可能，那么迭代后復雜度必然高，那么，會不會存在一種規律使得我可以不每次都枚舉m種可能，而是，最有結果出現在有限的幾種可能中呢？于是，我做出了幾個猜想，1. 每次先踩分數最小的（失敗，反例【1,2,100,1】）2. 每次先踩其相鄰兩個數之積最大的數（失敗，反例【9,76,64,21,97,60,5】）。

????? ? 由于沒有找到一種可以降低枚舉可能次數的策略，所以，我將思路放在DP上，因為，有一個很明顯的直覺，就是倘若知道任意一個子段可以取得的最大分數，那么，我就可以求得整個子段的最大分數。既然決定了使用DP，那么之后我就開始著手重新定義原問題。

? ????? 首先，我思考，能否將一個長度為n的數列 l 看成是為 l[0:-1] 和 l[-1],兩部分，那么，倘若我知道了前一部分的最大分數，那么我只需要再讓它加上踩破最后一個的分數，如【3,1,5,8】可分為【3,1,5】和【8】，那么最大的分數是score（【3,1,5】）+ 8*5，然后從0到n-1依次遞歸。但這樣顯然書錯誤的，因為，這樣定義問題實際上是附加了一個隱含條件，即，一定要先踩最后一個氣球，再踩前面的氣球，這顯然與原問題不符。

????? ? 雖然，上面的假設是錯誤的，但是，卻給了我一個思路，如何將上面假設做適當修改，使他符合原題呢？經過思考，我覺得，問題的關鍵在于 -- 每次踩的氣球都是隨機的。既然每次踩的氣球的是隨機的，那么，我就先假設踩的氣球是第m個（假設數列為nums,長度為L，m<L）。在我踩了第m個氣球后，造成的結果是什么？那就是，原數列變成了兩部分，nums[:m]和num[m+1:L-1],同時，由于這一腳，我獲得了nums[m-1]*nums[m]*nums[m+1]分

? ? ????原本以后我將問題這樣轉化后在DP就可以通過了，然而結果卻顯示了錯誤。我又進行了分析，結果發現了一個問題，倘若我踩了第k個氣球，那么當踩第k-1個氣球時，會發生什么情況呢？會發生計算它的分數時，它的右側是沒有球的！！這顯然不合理，因為踩了第k個氣球后，它后面會接在第k-1個氣球后。 那么，我想著能不能把第在計算第k-1個氣球得分時，將它的右側氣球強制定義為第k+1個氣球。粗想一下感覺可行，但是，仔細一想就發現了問題，倘若第k+1氣球在第k-1個氣球之前被踩爆了，怎么辦？ 這個問題會越來越復雜，最重要的是被分割成兩半的nums[:m]和num[m+1:L-1]和變得彼此不獨立，而這對DP來說是難以接受的。

? ? ????緊接著，我的問題就變成了，如何使被切分的兩部分變得彼此獨立。經過思考，我發現，這兩部分的獨立與否，取決與nums[k-1]的右側氣球是誰和nums[k+1]的左側氣球是誰。當第k個氣球被踩爆了，那么nums[k-1]的右側氣球和nums[k+1]的左側氣球就會發生變化.....(ーー゛)，那我不睬第k個氣球了！！！那么，我就可以保證nums[k-1]的右側氣球和nums[k+1]的左側氣球都不會變化，因為都是第k個氣球，然而，我不可能不猜它呀！！！思考后，我意識到，我只要在nums[:m]和num[m+1:L-1]都被踩爆后再踩第k個氣球，那么就可以達到我隔離兩邊的目的了。

????????現在，還剩一步，就是計算踩爆第k個氣球的得分，當k是原問題最后一個被踩爆的氣球時，可增加分數nums[k]，即它本身，然而，這個規律卻不適合與其子問題，如原問題是【1,2,3,4,5,6,7,8】，【4,5,6】是它的一個子問題，假如5所代表的氣球是子問題中最后被踩爆的，那么它的得分顯然不是5，因為她并不是全局最后一個被踩爆的，它周圍必要還有其他氣球。然而它左右的氣球會存在與其他的子問題中，并且是變化的，這是不能接受的。于是，我想著怎么把最后一個踩爆的氣球左右的氣球固定住。于是就假設序列的最左端和最右段氣球被最后踩爆，而第k個氣球是在非最左和非最右氣球外被最后踩爆的，那么第k個氣球的分數就固定了，即 最左的分數×本身的分數×最右的分數。

? ? ? ? 之后，在回顧一遍原問題的第k個氣球被最后踩爆，那么，它的得分就是最左的分數×本身的分數×最右的分數，這顯然不對，因為，這相當于隱性的規定原問題最左邊和最右邊的氣球被最后踩爆。這時候有兩種方式，一種是強行指定，在第一次從原問題處理分離子問題時，分數之加這個氣球本身的分數，其他情況則加 最左的分數×本身的分數×最右的分數。另一種方法就是在原問題分數序列左右都加上1，這樣既不影響最終分數，又避免了第一次分離子問題時出現的例外情況。? ? ? ??

? ? ? ? 至此，我們所做的只是計算出最后踩爆第k個氣球的得分，而題目要求的是踩爆氣球的最大得分，因此，我們可以遍歷所有的，并取其中得分最大的作為答案。

? ? ? ? 以上，是我做題時的思考，下面，再總結一下要點：

? ? ? ? 1. 重新定義問題：計算任意一個氣球被最后踩爆時的最大得分，并分返回其中的最大值。

? ? ? ? 2. 使用動態規劃處理這個問題，將原問題分為nums[0:k] 和 num[k:L-1]兩部分，并獲得加分 nums[0]*nums[k]*nums[1]

? ? ? ? 3. 遍歷所有的k，從中取得得分最多的方案。

? ? ? ? 4. 在原數列兩邊加邊框1，以匹配第一次分離子問題的情況。

? ? ????代碼：

????????https://github.com/guiguiJY/Leetcode/blob/master/312.py