如果可以用一種簡單的方式來理解世界，我想這種方式就是“數學”！
“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學”。
看起來像是魔法，理解之后就是數學，那啥叫數學呢？數學就是數字的系統化科學，本篇先從數字入個門吧。
1. 數字是什么？
2. 計數系統
3. 數字美學
一、數字是什么？
1. 直覺在前，數字在后
要知道數字是什么？起源于什么？先來兩個例子“一望冰山”吧：
1> 對早期依賴戶外生存能力的原始部落來說，當不同部落之間發生沖突，大家互相揮舞著長矛，需要立刻決定的問題是：打？還是跑？需要領導者快速判斷雙方人數差異，對方人少就打，對方人多咱就跑。
2> 路邊看到兩棵果樹，去采摘哪一棵果樹呢？就需要立刻判斷出哪棵樹上的果實更多。
這兩個例子都是沒有必要一一數出每一個人數、每一顆果子，最關鍵的是快速估計出相對數量，而這種估計就是人類對于數量的直覺，即對比關系。
在現代數據分析方法ABtest中，最關鍵的就是對事物提出對比假設，再進行數字化驗證，假設很大程度依賴直覺，而數字是對直覺的確認，那么直覺與數字的關系是什么樣的呢？接著往下看。
2. 實驗：數學教育對直覺的影響
2004年卡內基-梅隆大學的羅伯特·西格勒（Robert Siegler）和朱莉·布思(Julie Booth）對幼兒園學生（平均年齡為5.8歲）、一年級學生（6.9歲）和二年級的學生(7.8歲）做了數軸實驗：一條線，左右兩邊隨機展示一些點，中間有光標，學生來指出這組點應該在什么位置，通過重復點擊來測試不同程度的數學教育會如何分配從1-100之間的數字。
結果顯示（如圖），隨著我們對數字越來越熟悉，我們的直覺也逐漸被固化。
1> 對于沒有受過正規的數學教育的幼兒園學生，他們會按曲線繪制出數字；
2> 小學一年級的學生們因為開始學習數字和符號，所以他們的曲線變直了一些；
3> 小學二年級的學生繪制出的數字終于沿著直線均勻分布了。
ps：這組數據沒有找到源數據，就從材料中拍圖截取吧，不要吐槽博主哈哈哈~
理論上實際值與估計值繪制出來應該是一條從0開始的45°斜直線，而實際結果是數字越大線條越平緩，斜率越小，也就是大數字間的距離比小數字間的距離在感覺上更近，如：80和100之間的距離20，比20和40之間的距離20，在感知上要小一些。
這個實驗說明：我們的直覺很多時候是與現實是不匹配的，可能會有感覺誤差，因此需要科學的方法來做決定，也就是現在企業追求的數據決策，做出更為靠譜可信賴的判斷。
3. 印度數學的發展
歷史上有過非常多的計數方式，革命性的計數系統是由印度人發明的阿拉伯數字系統，使用10個數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，接下來我們要聊的是基于阿拉伯數字系統的吠陀數學速算技巧。
20世紀初，印度哲人巴拉蒂·克里希納·第勒塔季在由梵文著成的古代《吠陀經》中發現了這套技巧，速算技巧基于16句格言，并不來自《吠陀經》中記錄的某一段文字，而只能根據“直覺啟示”感知到，并將感知到的方法統稱為“吠陀數學”，這相當于有人在金剛經中找到了解一元二次方程的解法，太太太哇塞了！
吠陀算法的主要特點是可以將復雜的問題分解為簡單的步驟，并使用特定的規則和技巧進行計算。
其中最著名的技巧是“補數法”，如：計算1000-456，前面所有數字從9開始減，最后一個數字從10減，拆分為9-4=5,9-5=4,10-6=4，結果是544。
16句格言講述了特定的規則：
1/2/3：比以前的1多了1、比以前的1少了1、全部從9開始&最后從10開始；
4/5/6/7/8：垂直和交叉、轉置和應用、通過加和減、和的乘積、所有乘數；
9：如果《集論》是相同的，它是零；
10：如果一個是成比例的，另一個是零；
11/12/13/14：完成或末完成、通過虧空、具體和普遍、微分學；
15/16：最后一位的余數、最后一個和兩次倒數第二。
是不是有點迷糊啦？別著急，舉個簡單的例子理解一下（如圖）：用吠陀算法、長乘法兩種算法計算888*997=？
1> 吠陀算法：先做減法、再做對角線加法、然后右側數字乘法，最后拼起來；
2> 長乘法：逐個位置數字相乘，再累加。（小學數學學的就是長乘法）
那么再復雜一些的數字如何計算呢？感興趣的朋友可以自己研究哦~
二、計數系統
1. 啥是計數系統？
假設沒有數字，失眠的時候，怎么數羊嘞？？？
Action：羊、羊羊、羊羊羊、羊羊羊羊、羊羊羊羊羊、羊羊羊羊羊羊...（已經聽到你在念啦！）
是不是很著急，可能直接放棄羊羊了，有數字之后，就可以1只羊、2只羊、慢悠悠數過來，有沒有感受到計數系統的強大？！
在人類歷史發展過程中，生活在不同地區的人發明了不同的計數系統和方法，如：以α/β/γ...等27個字母為基礎的希臘計數法、以I/X/C/M/V/L/D為基礎的羅馬計數法，以及用手指關節計數的方法。
一個好的計數系統要滿足哪些條件呢？
1> 基數必須足夠大，但也不能太大，這樣在表達100這樣的數字時，才不會喘不過氣，也不需要記憶太多的東西；
2> 符合人的行為習慣，歷史上常見的基數是：5、10、20，很大程度的原因是這些數字來自人體，5個手指、10個手指、再加上10個腳趾。
印度人發明的阿拉伯數字系統恰好、或者說完美地滿足了所有要求，使用10個數字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，且基數為10。
2. 常見的進制有哪些？
二進制（Decimal system）
用數字0、1表示，基數為2，滿2進1位，最常見的是二進制使用場景是計算機控制系統。
為什么二進制適用于計算機控制系統呢？
最主要原因是二進制數只有0和1兩種狀態，與計算機內部的邏輯電路的開關狀態非常相似，運算規則要比其他進制的數簡單得多，這有利于提高計算機的運算速度，每個數字稱為一個比特，相比之下，其他進制的數表示方式需要更為復雜的電路和算法才能實現。
十進制（Decimal system）
用數字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9表示，基數為10，滿10進1位，是人們日常生活中最常使用的一種進制。
為什么十進制適用于人類呢？
可能是因為人類的大腦在進行計數時，習慣于將數量轉化為手指的數量或者位置，而我們的手指有10個，這使得我們的大腦更容易接受十進制的計數方式。
十二進制（Duodecimal system）
通常用數字0~9以及字母A、B來表示，其中，A代表10，B代表11，以12為基數，滿12進1位，常見的十二進制使用場景如：一打（12）、一羅（144=12^2）。
十二進制的整除屬性比十進制要好一些，如：12可以被2、3、4、6整除，而10只能被2、5整除，在日常生活中，更有可能把一個數除以3或者4，而不是除以5。
下圖是十二進制的乘法表，幫助理解十二進制的具體數字展示。
（十進制轉十二進制數值的方法：十進制數除以12得到倍數的整數部分用十二進制表示，拼接余數部分的十二進制表示。）
六十進制（Sexagesimal system）
使用0-59來表示，以60為基數，滿60進一位，常見使用場景如：秒、分鐘，以及中國的六十甲子。
據記載1793年法國試圖將時間轉變為十進制，也就是每天有10小時、每小時有100分鐘、每分鐘有100秒，一天變成了100000秒，而不是原來的86400（24*60*60）秒，時間十進制的秒比原來的秒會短一些，導致時間感知暈頭轉向，短短6個月改革就被放棄了，十進制在時間上的失敗是十二進制、六十進制取得的小小勝利~
三、數字美學
1. 數學中最迷人的曲線之一“對數螺線”
先了解一下啥是黃金比例，即一條線段被切分成兩段，原線段與較長部分的的比例=較長部分與較短部分的比例，這個比例約為1.618，也就是黃金比例，堪稱自然界最美的結構比例。
對數螺線就是基于黃金矩形繪制出的一條曲線：
1> 把一個長寬比例為1.618的黃金矩形，切分出一個正方形，剩余部分仍然是一個黃金矩形；
2> 以正方形的一個角為圓心，畫1/4圓；
3> 重復切分出正方形+畫圓弧線，就得到一條對數螺線（如下圖所示）。
對數螺線的基本性質是：不會隨著圖形的發展而改變，即螺線本身具有相似性，任何一個較小部份與較大部份相似。
它最有魅力的一點是：永恒！
2. 隨機模擬為什么賭博會輸？
對于這個問題，接下來會用隨機數模擬賭博結果，來說明為什么賭博會輸，在模擬數據之前，先說明三個基本點：
1> 對經濟利益的渴望，更具體點就是“博彩業”，讓人們開始研究獲勝的可能性，概率就是可能性的數字化表達，將不可預測性變得可預測；
2> 賭博的前提是隨機事件，即隨機事件與你的想法無關；
3> 賭徒破產原則，指一個賭徒在賭博中，無論他贏得多少，只要他繼續賭博，最終他就會破產。
用R語言模擬拋硬幣實驗：
假設有6個人，分別拋100次硬幣，正面朝上記為1，反面朝上記為-1，將每次結果累加，繪制6個人拋硬幣結果的隨機游走曲線，如下圖所示。
從這個圖可以發現隨著拋出次數的增多，曲線波動越來越大，假設拋硬幣游戲變成了賭博，唯一讓它停止賭博的方式就是錢=0；
同時這個現象說明賭博對富人有利，因為富人不僅需要更長的時間才會破產，而且還有更多的機會讓隨機游走向上延伸。
附：隨機游走曲線的Rcode
library(reshape2)
library(ggplot2)
# 定義N個人參與賭博、n次賭博
N<-6
n<-100
data_sample<-as.data.frame(matrix(0,n,N)) # 創建矩陣
data_sample$label_x<-1:nrow(data_sample) # 生成拋硬幣的次數列
for (j in 1:N) {
?data_sample[,j]<-as.data.frame(sample(c(-1,1), # 隨機生成的值序列，1代表正面、-1代表反面
?n,
?replace = TRUE,
?prob = c(0.5,0.5))) # 概率
?}
# 將每次拋硬幣結果逐個值累加
for (j in 1:N) {
?for (i in 1:n) {
?if (i==1){
?data_sample[i,j+N+1]<- data_sample[i,j]
?} else {
?data_sample[i,j+N+1]<-data_sample[i,j]+data_sample[i-1,j+N+1]
?}
?}
?}
data_sample<-subset(data_sample,select = c((N+1):(N*2+1)))
data_sample<-melt(data_sample,id.vars = c('label_x'),variable.name = 'v1') # 繪制曲線
ggplot(data_sample,aes(x=label_x,y=value,group=v1,color=v1))+
?geom_line()+
?labs(title="拋硬幣隨機游走曲線")+theme(legend.position="none") # 隱藏圖例
文末：博主超級喜歡對數螺線，因為它“任爾變換，不忘初心”。
