這個問題當然不是新問題，上個世紀中后葉就已經有物理學家搞過這個問題了。這個在索恩[1]的《黑洞與時間彎曲》里就已經有過介紹，索恩自己對這方面的問題也是很有研究的，特別是和霍金一起搞了有時間穿越功能的蟲洞在遭遇電磁場時會發生什么災難的問題。
這里是在想重頭計算一下，因為沒自己動手過，總是感覺不酸爽——來，給爺捏個肩～～
我們不考慮太復雜的問題，就考慮下面這個問題：
這個問題是這樣的：
一個點粒子從(0, 0)的位置發出，速度矢量為V1。接著在(x, y)的位置和自己發生了碰撞（自己？對，自己）。然后，碰撞發生后，這枚粒子飛向了(p, q)位置的一個蟲洞，這個蟲洞可以將粒子傳遞到(m, n)的位置，且保持進入時的速度矢量不變。且，(p, q)的蟲洞不單可以在空間將粒子傳遞到(m, n)，甚至還可以在時間上傳遞，所以實際上是從(p, q, t)時空點傳遞到(m, n, t - Δt)這個時空點。從這個時空點出來的粒子，繼續飛，飛到(x, y)的位置，又和過去的自己發生了碰撞，接著它就被撞飛，飛到了(a, b)這個位置。
上訴所有碰撞都是完全彈性碰撞。
現在，求發生碰撞的位置(x, y)，以及最終飛到的位置(a, b)（只要一個方向即可）。
在這個問題的基礎上，我們還可以進一步問一個更有趣的問題：如果不僅僅發生一次碰撞，會怎么樣？
我們先將這個問題用數學的形式描述一遍（只考慮二維空間）：
從而已經有下列方程：
在我們現在的問題中，由于V2和V3相等，所以能量動量守恒實際上給出了V1必須等于V4，這點對于整個問題來說其實幫助不大。
在剩下的六個方程（3組矢量方程，在2維中就是總共六個方程），位置的變量為：u_x、u_y、t1、t2、x、y，總共六個，從而是可以存在唯一解的：
我們發現，這個問題雖然看上去復雜，但解起來倒是一點都不困難。
而且，最關鍵的是，我們發現第一次被未來的自己撞飛后的粒子的速度，完全僅由蟲洞的性質決定，而和粒子自身的初始狀態一點關系沒有。更有趣的是，由于能量動量守恒，對于點粒子來說，這個蟲洞是否存在，以及他在整個過程中其實已經被偷梁換柱，這些都不重要，因為對最終結果來說沒有絲毫影響——蟲洞以及自己經過蟲洞和過去與未來的自己發生碰撞這是完全可以被忽略。
只有一次自相互作用的情況看來非常Trival，和沒有自相互作用的情況基本相同，就是多了一點“幽靈糾纏”，似乎沒什么花頭。
那么，我們來看，如果存在兩次自相互作用會如何。
這里有一個關于點粒子完全彈性碰撞的小坑。
學過中學物理的人肯定還記得當年中學物理老師有要求大家推導過一維完全彈性碰撞的推導的習題。在那里，完全彈性碰撞是有位移解的：
初速度為v1與v2的兩個物體完全彈性碰撞后的速度u1和u2
但如此美好的性質在大于一維的情況下是不存在的，因為能量動量守恒給出D+1個方程，而碰撞后的位置量有2D個，所以當D>1的時候，光有這些方程是不足夠得到位移末態的。
這個問題在非點粒子的情況，比如兩個小球碰撞的請求，卻是可解的，因為非點粒子就可以談論接觸面，于是理想情況下垂直接觸面的方向上發生完全彈性碰撞，平行接觸面的D-1個方向上自由運動，于是就回到了一維完全彈性碰撞問題了。
在這篇文章前面計算的問題中，我們忽略點粒子帶來的這個小坑，認為其實是“半徑非常小到足夠忽略的小球的彈性碰撞”，并認為最后的解總能滿足要求的。
有興趣的可以做一下小球的蟲洞穿越一次碰撞問題，結果差不多。
兩次碰撞的情況比較復雜。
我們先來看一下兩次碰撞的軌跡圖：
其中，PB很明顯是初始粒子的軌跡，DQ是末態粒子的軌跡，AB和AD是第一與第二次穿越粒子的軌跡，但暫時還不能區分誰是誰，BC和DC則可能是穿越粒子再次也可能是初態粒子第一次穿越，BD則可能是初態粒子也可能是某次穿越粒子。
但，無論如何，我們可以通過沖動的設定知道，AB肯定并行于DC，BC平行于AD，于是ABCD構成一個平行四邊形。
任何形式的平行四邊形都是滿足條件的，只要A和C分別固定的在蟲洞的過去端和未來端即可。而，PB是初始條件，不會改變。因此平行四邊形的B點必然是在一條確定的直線上的（從P點出發，沿著初始速度方向）。B點確定了，D點也就確定了。
于是，整個系統的唯一變量就只是從P運動到B的時間t，從而也就是B的位置。
在B和D點上存在碰撞過程的能量動量守恒，形成約束。簡單分析可知，DQ必然也是平行于PB的——而且，如果在B點能量動量守恒條件滿足，那么在D點也必然滿足。
于是，問題的答案其實就是，是否存在恰當的時間t，使得B點位置決定的平行四邊形在B點上滿足能量動量守恒，且沿著AB和BC走所用的時間為Δt。如果有解，那就存在兩次碰撞——至于說到底是誰和誰碰撞，這個倒是不怎么重要。。。
于是，問題就化簡為如下方程：
這里，我們假定了粒子的質量，而且認為不同線上的粒子質量不同——為什么這么做？后面我們會發現有趣的地方的～
現在來看一下這個方程的部分解：
之所以說部分解，因為還沒有帶入能量守恒這個約束條件。
但，我們已經看到，這里我們預設了一些質量項，也就是說，如果我們允許出現一些“別樣”的粒子的話，這個能量守恒條件是總能實現的，而這樣的情況，在整體運動軌跡不變的情況下，體現為一些“鬼魅”一般的運動的，如下圖：
在這張軌跡圖中，紅色表示原始的粒子，它只進行了一次穿越，而綠色則表示“鬼”粒子，它和原始粒子相撞兩次，兩次改變粒子運動軌跡，但最終要的是，這個“鬼”粒子是無始無終的！
鬼粒子從A這個出口出現，跑到B點和粒子相撞，被撞飛到D點，和穿越而來的粒子再次相撞，并來到入口C，結果這個通過C-A沖動回到過去的鬼粒子居然恰好就是早先從A出來的那個鬼粒子！
鬼粒子和現實粒子相撞還有另一種形式：
這里，粒子從P跑到B，與從A出來的鬼相撞，改變方向來到D，有和這個鬼撞了一次，最后飛向Q。而對鬼粒子來說，從A出來的鬼粒飛到B，相撞，飛到C，接著從A出來，但此時從A出來的鬼并不是一開始從A出現的鬼（同一個粒子，但不同時刻），這次從A出來的鬼飛向D，又相撞，飛到C，并從A出來——而這次出來的時刻才是鬼第一次出現的時刻。
也就是說，鬼的軌跡是這樣的：A(1)->B->C->A(2)->D->C->A(1)。
事實上，也可以這么非：A(1)->D->C->A(2)->B->A(1)。
當然了，當只有一個粒子而沒有鬼的時候，也存在解，只不過此時的解具有比較強的限制約束，只允許一種情況的發生，而粒子所走的路徑則為：PBCADCABDQ，或者PBDCABCDQ。
從最終實驗結果的角度來說，上述兩條路徑其實都可以看作是有鬼的情況，只不過現在鬼的質量和被試粒子相同罷了。
事實上，一次自相互作用的情況也可以看作存在鬼粒子的，只不過這樣的話，鬼粒子和粒子之間不存在任何相互作用，兩者交叉而過，相安無事。
下面來具體分析一下兩次碰撞過程的一些特性。
由于，A和C并不是完全等價的，必須是A出粒子，C進粒子，所以這就對矢量的方向性有了嚴格的限制——比如說，BD就必須是B指向D，否則B處就是三根入線一根出線，這個過程怎么都不可能配平（也就是能量動量不可能守恒）。
這也就要求，前面給的解中的s、u、w必須大于零，這就要求：
其中第二條很有意思，就是要求入射粒子必須足夠靠近C-A蟲洞在過去端的出口。在考慮到碰撞對于粒子運動的作用是讓粒子保持運動方向不變地移動到相對C-A蟲洞兩個出口的中點的對稱點上，所以實際上就是說，這樣的蟲洞會對靠近過去端出口的粒子造成一種向未來端推的推力。產生的效果就是把粒子“輸運”到和中點對稱的另一端去。
這樣的蟲洞除了會對粒子的位置發生影響外，還會對粒子到達目的地的時間發生影響。以之前給出的入射粒子會發生一次穿越的情況來說，中間從B走到D的粒子是鬼粒子，而鬼粒子的動量雖然被確定，但速度并沒有，解中的s是含有鬼粒子質量m_D的，因此原則上說，通過調節這個鬼粒子的質量，粒子從D離開的時間可以在一個范圍內發生變化，從而發生改變。
我們甚至可以從上述結論來推測高次碰撞的情況——所有奇數次的，都可以看作出現了一個獨立鬼粒子，從A到C不斷循環往復（就是從C回到A后發現恰好就是鬼粒子出生的時刻，從而未來的自己就是現在的自己，周而復始）。
而偶數次和奇數次中除了那個獨來獨往的鬼之外的部分，則可能形成各種平行四邊形，不斷疊加，從而我們可以發現粒子的軌跡是在最大的四邊形的左上角開始走一條始終朝著右下（但不唯一）的折線，最終通過AC之間的中點，在對稱著走一條折線，接著射出。
是否可能出現不是平行四邊形的更加復雜的軌跡呢？比如下面這個：
由于能量動能量守恒，所以我們發現中間的多邊形不能存在除了與射入、射出軌跡相連的點以及CA兩點之外的突點，從而就只能是平行四邊形了。
如果入射的不單單是一個粒子，而是兩個粒子，那么就不只是平行四邊形的疊加，還會有對邊平行的平行六邊形的疊加，這連個入射粒子之間還會有相互作用——彼此的直接碰撞，或者彼此通過鬼粒子碰撞。
到這里，基本上對于這一類系統中的完全彈性碰撞問題就基本都清楚了。
當然，問題本身還可以繼續拓展，比如作為出口的C如果和A不是“平行”的，比如所有進入A的粒子在從C出來的時候并不保持原方向，而是有一個偏向，那么事情就又好玩了，我們會發現此時C-A蟲洞的作用不單單是提供了一個位置上的偏移，還提供了一個轉折。
還可以追問，如果這樣的蟲洞不止一組，而是有兩組甚至多組，會怎么樣？
這些問題這次就不分析了。
下面來扯一些更加有趣也更加扯淡的東西。
從上面的分析與計算，我們發現了一個有趣的現象，那就是原本一個初始條件只有一個必然結果的經典力學，現在有了完全不同的面貌——我們完全不知道最后的結果會是什么了。
而且，更有趣的是，這樣的相互作用很容易讓人想到量子場論中的Φ4理論。
Φ4理論中如果只考慮一個粒子，那么我們會發現這個粒子在最低階近似（樹圖）下和經典物理是相同的，但一旦引入圈圖，問題就變得不一樣了。
單粒子Φ場的一階展開是一次真空漲落與該粒子的耦合：
二階圈圖則可以很負責，除了兩個單圈疊加（從而有兩個圈與粒子世界線相切），還有這種形式：
和這種形式：
不知道你有沒有發現，這樣的圖和前面話說的軌跡圖是很像的呀，只要將A和C看作是同一個點（比如一個圓筒剖開，剖線正好經過A/C點，于是在上面將它視為A，下面將它視為C，但其實是同一個點），那兩邊就是完全相同的了！
而在直線從圓中穿過的圖，如果我們將上半部分圓弧的中點視為AC蟲洞，那么真空漲落粒子可以通過AC蟲洞，也可以不通過，這兩個情況就對應了前面分析中的入射粒子不穿越蟲洞和穿越蟲洞一次這兩個情況。
那么，下面的圓圈疊圓圈又表示什么呢？
這個其實是計算中一直沒考慮的情況：一個鬼粒子沖出來和入射粒子發生一次碰撞，同時另一個鬼粒子也出現，并和第一個鬼粒子發生了直線上的完全彈性碰撞。這并不會改變任何結果，事實上都可以認為這兩個粒子以及入射粒子三者一點碰撞都沒發生過。
大概，軌跡圖和場論中的費曼圖之間的區別就僅僅是每張圖的對稱因子了吧。
前面是從圖的角度來數的，從更加物理的角度來說，兩者當然也有不同，比如在計算上，圈圖很容易導致發散，在有蟲洞的經典物理中則沒有發散，歐耶。另一方面，經典情況下鬼粒子的質量雖然是任意的，但所有粒子都必須滿足在殼條件，但這在量子下卻不需要——所以才會發散。而相同點是，費曼圖在交點上也必須滿足能量動量守恒。而在線的意義上，軌跡圖和費曼圖中的線都表示傳播子，只不過軌跡圖的傳播子還是經典的傳播子，場論中的線的傳播子已經是場的自由解，從而不再是經典路徑所代表的傳播子了。
因此，大概要在這種情況下推出不確定關系是不大可能的了——雖然現在我們已經看到粒子的位置并不是那么“確定”了。
總結一下吧。
給經典物理的一個經典問題——自由粒子運動——加上一個類時蟲洞后，我們發現經典物理的機械決定觀已經發生了很不一樣的改變了。
我們現在幾乎不能確定粒子到底會沿著什么樣的軌跡運動，因為上述所有解都是同樣合理地可以實際存在的軌跡。
我們或許可以爭辯那些由于蟲洞的出現而發生的碰撞并不具有良好的魯棒性——從而輕微的擾動就能導致碰撞的不會發生。但無論如何，現在經典物理已經變得模糊不清了。
我們并不清楚在這種情況下經典物理到底是否會成為所有可能路徑的求和，從而需要使用路徑積分——倘若真的如此的話，那具有蟲洞的經典物理和量子場論之間的區別，大概就是這里被積分的泛函必須滿足在殼條件了吧。。。
而如果這里不需要對所有可能的請款做求和的話，那我們就面臨另一個有趣的問題——我們怎么知道到底發生的是哪一種情況？
或許，此時就只能認為，由于魯棒性要求，所欲那些具有碰撞的解都不會發生了吧。
另，難道沒人覺得這很像海因萊因的那篇經典的科幻小說，《All are you zombie》，么？它的電影版就是今年年初澳大利亞的電影《前目的地Predestination》。
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如果你還不知道這位的話，那你一定知道《星際穿越》了。這部片子里那個牛逼的黑洞就是在索恩老師的直到下算出來的。 ?
