大家好，我是寶刀君，是一名將軍，也許你不了解我，但你只要知道我是像令狐沖大俠那樣瀟灑自由的將軍就足夠了，很高興，我們又在知乎上見面了。

是不是有點看不清晰？

算了，重新上傳個高清的吧，諾，就是這樣：

在攻打完上一仗：洛必達(dá)法則失效的情況有哪些？ - 知乎之后，我和我的小伙伴們經(jīng)過短暫的調(diào)理休息，我們又重新出發(fā)了。

本來我們大部隊是按計劃繼續(xù)往前走的，但誰知走到五霸崗這個地兒，我們就收了同伴發(fā)來的的大雕傳書。

雕哥平時很威猛的，不知為啥，這次一見到我們，顯得很疲憊，我們走進(jìn)去一看，才發(fā)現(xiàn)大雕哥的腳丫子那兒充滿了血跡，帶來的傳書也被鮮血浸泡的成為了黑紅色。

“辣眼睛啊，好怕好怕”！助理驚叫了一聲。

此情此景，我馬上吩咐助理：“讓隊伍停止前進(jìn)，就地安營，等候前進(jìn)命令”，我自己走到雕哥面前，伸手打開了傳書，看看伙伴到底是遭遇了什么事？

信紙打開，上面的第一行“第二型曲線積分的計算”赫然在目，緊跟其后的第二行字是“含奇點的格林公式怎么破？”！

剎那間，我突然明白為什么伙伴們會發(fā)出求助信號了，我突然明白為什么雕哥會疲憊不堪的躺在那兒了。

又是那魔頭考研數(shù)學(xué)派的小弟！

真沒想到這廝這次竟然大下黑手，派出對大部分人來講都挺難的家伙（格林公式）來坑害我的同伴！真是可惡至極！

不行，我不能坐視不理，我的同伴既然能像我發(fā)出求救信號，這說明他信得過我，畢竟人在危難時刻發(fā)出求救時的對象，都是他自己覺得最能幫他的人。

原來這就是信任的力量！我瞬間覺得自己有一種使命感！

“助理，去叫一下咱們的智囊團(tuán)，我們接下來研究研究對策，記住，一定要把格林前輩請來”。

“是的，將軍”

不一會兒，我的營帳里坐滿了所有的智囊團(tuán)，所有數(shù)學(xué)系的頂尖大牛聚集在一起，場面異常壯觀！

很快，我就發(fā)表了自己針對此事的觀點：

“各位數(shù)學(xué)系的大牛老師們，咱們這次遇到了了同行伙伴的求助，這次敵人“考研數(shù)學(xué)”派出了2大悍將，一個是“第二型曲線積分的計算，另一個是含奇點的格林公式怎么破？相信諸位已經(jīng)看到了，同伴已被敵方打的傷痕累累，既然咱們都是同道中人，那就應(yīng)該同仇敵愾，互相幫助，本將軍打算先就地解決完這個問題再走，不知各位前輩意下如何？諸位給出點意見!”

“第二型曲線積分的計算，根據(jù)我的研究，它在真題中歷年只考2個點”。格林前輩堅定的說道。

“哦，2個點，哪2個點呢？”

“一個是考利用格林公式來計算曲線積分的問題，另一個是考做功與路徑無關(guān)的問題，敵人雖然拋出來的是第二型曲線積分的計算，但是但凡真正遇到敵人（真正考試）那一天，要考這個點，那肯定是考格林公式的相關(guān)應(yīng)用”

“格林老師，您的意思是：其實最終還是在圍繞著格林公式在考？”

“對的，是這樣的呢”。

格林前輩說完后，我馬上陷入了沉思，我在回憶當(dāng)初格林老師教我那套他自己自創(chuàng)的“格林公式”的刀法套路。

我還記得格林老師當(dāng)時教完我之后，順便給我說了他這套刀法的使用條件：

條件1是封閉且正向，條件2是保證函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在域內(nèi)連續(xù)有定義，這些我都還能記得。

“格林前輩，我記得您上次講過你創(chuàng)造的這套刀法，我課后親自用過，確實很方便呢，要不我現(xiàn)在就拿你這套刀法上陣殺敵？”

“將軍，萬萬不可啊！實不相瞞，我跟敵人（考研數(shù)學(xué)）也打交道了多年，對方每年怎么給我使絆子，我是一清二楚啊”

“哦，使絆子？這個怎么講？”

“哎，將軍有所不知??！早年我在磨坊工作時，白天工作，晚上自學(xué)從布朗利(Bromley)圖書館借來的數(shù)學(xué)書籍，經(jīng)過自己的潛心研究，終于自成體系！研究出專門針對第二型曲線積分的計算辦法—格林公式法，這套刀法，對第二型曲線積分的計算時帶來了大大的方便！”

“恩恩，格林前輩勤勉的工作，大家有目共睹，我一直很欽佩！”

“可是漸漸的，我發(fā)現(xiàn)，我的這套刀法使用起來有條件限制，不能隨隨便便亂用，如果亂用，只會導(dǎo)致練武之人自己走火入魔！況且近一二十年來，敵方考研數(shù)學(xué)也發(fā)現(xiàn)了我這個刀法的使用限制，因此經(jīng)常給我使絆子”。

“奧，原來是這樣啊，那老賊給你使啥絆子呢”？

“將軍請看，他們經(jīng)常這樣限制我”

我仔細(xì)看了下，原來對方是以牙還牙啊。格林公式是用來計算第二類曲線積分的，由于它的使用有兩個條件，因此敵人經(jīng)常去破壞這兩個條件，

“格林前輩，那您有辦法破解這個嗎？”

“有是有，只不過我需要支持”

“需要什么你隨便講，無論是人力、資金，我都可以盡全力去支持你”

“資金上倒是不需要，我只需要個援手，援手先給我打頭陣，先幫我掃清了前方的障礙之后，我就可以施展拳腳，展現(xiàn)我的刀法了！”

“哦，原來是這樣，那就由我來打這個頭陣吧，不管怎么說，最后一次和敵人（考研數(shù)學(xué)）應(yīng)戰(zhàn)時，都是我一個人去解決的，該來的躲不去，未來這場未來3小時的廝殺，在所難免，倒不如現(xiàn)在就開始和他過過招！”

“將軍說的在理，不過將軍不要擔(dān)心，只要你接下來按我說的做，咱們兩聯(lián)手，就可以順利解決這類問題的呢”

“好的，沒問題”

接下來，營帳里一片安靜，都在聽格林前輩講話。

“老夫創(chuàng)造的這套刀法，凡練武之人在使用時，一定要摸著胸口問自己三個問題：

一封閉嗎？

二正向嗎？

三連續(xù)嗎？

如果不封閉，那就加線減線，如果不正向，那就添個負(fù)號就可以，這兩個都不會給我造成什么困難，真正會給我造成威脅的，其實是第三個條件的破壞—不連續(xù)！”

助理，你將大雕兄弟傳來的題目拿過來，我給將軍解釋什么是第三個條件的破壞”。

助理呈上了敵人給的這道題：

“諸位請看，敵人這套題，積分函數(shù)是一個分式，這個函數(shù)在積分區(qū)域D內(nèi)不連續(xù)，甚至無定義，這個原點就是大家平時聽到的“奇點”（qi dian），我把它稱為內(nèi)奸。

這個內(nèi)奸的存在啊，極大地限制了我這套刀法的使用，于是身邊有同僚建議，把這個內(nèi)奸給我挖去，把這個內(nèi)奸給扣掉，把這個內(nèi)奸給我閹割了！

同僚們怎么做的呢？

老夫是個有菩薩心腸的人吶，同僚們閹割奇點閹割內(nèi)奸的做法讓我下不了手啊，雖然同僚們是想讓我出出風(fēng)頭，去解決這個二型曲線積分的問題，但是手刃二型曲線積分的原始辦法是轉(zhuǎn)化成定積分，犯不著因為要重用我一個人而造成不必要的傷亡??！

后來，我在夜晚油燈下，仔細(xì)研究同僚的招數(shù)，驚人的發(fā)現(xiàn)，原來他們所謂的“挖去、扣掉、閹割” 并不是真正意義上的“挖去、扣掉、閹割”啊，這只是虛晃一槍，這里面有個循序漸進(jìn)的過程，給大家造成了錯覺。

諸位不妨回想一下第二型曲線積分產(chǎn)生的物理背景：變力沿曲線做功！

功等于什么？力乘以位移。

對于上面這個題，假設(shè)力沿著曲線做功，從起點A出發(fā)開始走，走到B點時，它其實是沿著向下的那條線往下走，繞著咱們構(gòu)造的這個曲線C一圈，然后回到B點，再繼續(xù)沿著原來的方向走！因為力沿著曲線向下，轉(zhuǎn)一圈后又沿著曲線向上，力的大小相等，方向相反，所以這兩段一下一上做功剛好抵消掉。因此，這就給大家造成一種錯誤的感覺：“哇，這是個奇點我取不到，所以我把它給挖去了啊”！

用圖表示就是這樣：

因此，事實上這里根本就沒有“挖掉奇點”這一說，它本質(zhì)上是對做功相等的一種路徑的恒等變形！

因為對于同樣一個力，沿著曲線L和沿著曲線L+C做功，數(shù)值是相等的！即：

“格林前輩，我有個問題：你里面的這個橢圓，沿著沿著圖中標(biāo)的逆時針方向，這是正向還是負(fù)向?。俊?/p>

一旁的助理答道：“逆時針為正向，順時針為負(fù)向”

“這種回答是錯誤的”，格林前輩振振有詞的說道，“正負(fù)向的判別不是以順時針逆時針來看的，而是根據(jù)你這條曲線圍成的區(qū)域，你沿著曲線走時，你的左手是不是一直在區(qū)域D內(nèi)！如果是，那就是正向，如果不是，那就是負(fù)向！與順逆時針沒有一點關(guān)系！”

用圖表示，就是這樣：

聽到這里，我明白自己該怎么做了，“前輩，我去打頭陣，我在L內(nèi)補(bǔ)這樣一個曲線C，就按你的同僚的打法做”

于是乎，我和格林前輩聯(lián)手在眾人面前打出了如下的刀法：

“不錯不錯，真是精彩！大將軍和格林前輩并肩作戰(zhàn)，真是勇猛！分分鐘滅敵人！”助理連連拍手稱贊道。

“格林前輩，小女子跟隨將軍多年，對您的這套刀法也有所耳聞，也曾學(xué)過一段時間，不知小女子可否和您合作，就這道題發(fā)表下我的看法？”

“完全可以啊！都知道大將軍勤學(xué)好問，沒想到就連身邊的助理也都熏陶養(yǎng)成了如此好的習(xí)慣，這對于提升部隊的整體實力，有很大的鼓舞??！”

“謝謝前輩，小女子獻(xiàn)丑了！”

話說完，只見助理騰空一躍，用手中的劍勾勒出如下的破解法：

我仔細(xì)查看助理的劍法，發(fā)現(xiàn)和我的非常像啊，只不過他這里使用的是特殊值，取得橢圓方程很特殊，就用一個常數(shù)就可以了，看著更簡單一些，最終答案也和我一樣，哎，我要是早知道這個題還可以這樣做，我想我會選助理的方法，它的太簡單了.

“對了，好奇怪啊，為什么曲線方程要這樣添加呢？為啥要添加一個橢圓？我添加正方形、長方形、三角形或者任意的曲線不行嗎？”我的心里突然頓生出這樣的疑問。

格林前輩好像看出了我在思考什么，這個老頭，不得不服，每次我想啥，他好像都知道，尤其是他熟悉的東西。

“將軍，你是不是在思考輔助曲線方程添加的原則是什么？”

“恩恩，是的呢”

“哈哈，被我猜中了，其實呢，理論上說，我們在曲線L里面可以添加任意的曲線C，只要你這個曲線方程C是在這個L內(nèi)就行，但是我們不能忘記添加曲線C的目的：簡化計算！

像之前給將軍講授的曲線積分、曲面積分，它們和二重積分、三重積分最大的不同就是：

“我的被積函數(shù)方程f(x,y)是可以用曲線方程y=y(x)代替的！”

因為這個被積函數(shù)f(x,y)是定義在某段曲線、某個平面上的，既然是定義在這里，那么當(dāng)然可以帶進(jìn)去計算！而且是必須得代入，否則你沒法算。

因此，出于簡化計算的考慮，我們添加什么樣的曲線C，就取決于這個曲線L的分母長什么樣！

換句話說，在曲線L里面

添加曲線C的核心目的是：去掉被積函數(shù)中的分母！

輔助曲線方程添加的原則是：分母長啥樣，我就添加啥樣的曲線C！

“格林前輩，您今天講的內(nèi)容比較多，像您創(chuàng)的這套刀法，為什么讓別人幫你打個頭陣（內(nèi)部取同方向的曲線C）就可以了呢？您可以從理論上給證明下嗎？”

“完全可以”，格林前輩說完，快步走向前方，用大刀揮灑自如的給出證明：

揮舞完大刀，格林前輩對著大伙說道：如何選取這個輔助曲線C0（L1）呢？

選取的標(biāo)準(zhǔn)就是你可以把那個被積函數(shù)的分母給去掉！

說完后，繼續(xù)表演，給出了結(jié)論：

看著格林前輩精彩的表演，我突然意識到：原來這就是所謂的轉(zhuǎn)化?。?/p>

一條路走不通了，我試著換一條路，兩條路走的“功效”是一模一樣的！

“感謝格林前輩精彩的講解！您講的這套刀法的使用條件、如何除掉內(nèi)奸、轉(zhuǎn)化的思想我已完全弄懂，非常感謝！”

“哈哈，將軍不用客氣，懂了就好，現(xiàn)在快去解救你的同伴吧！”格林前輩哈哈大笑。

“好的”，順著剛才的格林前輩的教導(dǎo)，我又重新推演了一遍，將信紙交給雕哥的愛侶—雕妹，讓她寄給我的同伴。

“好了，現(xiàn)在同伴的危難已經(jīng)解除，今天下午大家也耗費了不少精力，尤其是格林前輩，現(xiàn)在臨近晚飯時間，不如開始準(zhǔn)備晚飯吧！今天請大家吃羊肉！，助理，順便再來3大壇上等的女兒紅，奏上笑傲江湖！，明天繼續(xù)趕路！”

好嘞！

在大家一篇歡歌笑語中，我注意到一個細(xì)節(jié)：雕兄和高斯前輩一直在交談，從今天雕兄和我們匯合后，他好像就一直和高斯前輩探討什么問題，而且最關(guān)鍵的是：格林前輩在給大家講解那套刀法的限制使用條件時，高斯前輩在那一刻好像也露出一絲焦慮。

這一切，我都看在眼里。

哎呀，難道是那個？我頭腦中迅速閃過一個想法：

格林公式是將第二類曲線積分（也叫對坐標(biāo)的曲線積分）轉(zhuǎn)化成二重積分來計算；

高斯公式是將第二類曲面積分（也叫對坐標(biāo)的曲面積分）轉(zhuǎn)化成三重積分來計算；

換句話說，現(xiàn)在是將這種單獨的曲線、曲面積分轉(zhuǎn)化成了他們所圍成的某個區(qū)域的積分。

難道說，明天敵人會來騷擾高斯前輩？

算了，先讓本將軍在五霸崗吃了這壇酒和羊肉，保持充足的體力，再迎接明天未知的戰(zhàn)斗吧！

備注：

1這篇文章的正經(jīng)的講法在寶刀君之前在zhi hu上發(fā)的帖子挖洞法？摳點法？閹割法？格林公式究竟怎么玩？(含奇點的第二類曲線積分，格林公式如何用？) - 知乎專欄）中，由于在準(zhǔn)備高斯公式的講法，為了保持連貫性，故這里又將舊文重新改版，寫成了武俠范兒，純屬娛樂，考研學(xué)習(xí)中的潤滑劑，希望大家能夠喜歡~

2 這篇文章在微信公眾號上的形式為（內(nèi)附視頻）：急報！雕兄傳來書信：計算第二型曲線積分的格林公式怎么破？

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