• 直方圖變換
• 灰度變換
• 點運算
• 幾何變換

直方圖變換

1.灰度直方圖

灰度直方圖：數字圖像中每一灰度級像素出現的頻次（該灰度級的像素數目）（也可以標準化到概率的表示）

灰度直方圖性質

• 無空間信息。（一種值的統計，丟棄位置信息）
• 直方圖與圖像一對多的關系
• 可疊加性（全圖=子圖疊加）

直方圖反映圖像的清晰程度，直方圖均勻分布時，圖像最清晰。

判定一幅圖像是否清晰，查看是否合理的利用了全部允許的灰度級。

一幅圖像應該盡可能利用全部的灰度級

2.直方圖均衡化

直方圖修正：通過灰度映射函數$G_{new} = T(G_{old})$,將原灰度直方圖改造成所希望的直方圖。

直方圖均衡化是一種最常用的直方圖修正，把直方圖分布改造成均勻直方圖分布，均衡化后，圖像直方圖是平直的，即各灰度級出現頻數相同，圖像看起來更清晰了。

直方圖均衡化灰度映射函數

• 連續灰度級情況：概率密度函數為P(r)，0<= r <= 1，代表灰度級。

  變換函數s=T(r)，使直方圖變平直。

  要求：

  • [0,1]范圍內，T(r)是單增函數，且T的值域為[0,1]
  • 反變換函數為單減函數，值域也為[0,1]。
  變換示意圖：圖1
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• 數字圖像的直方圖均衡化：設總像素n個，分L個灰度級，第k個灰度級出現的概率P(Rk)=Nk/N，Nk表示第k個灰度級出現的頻數。

  變換函數：連續變換函數離散化，概率求和。公式如下，圖3
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Matlab處理

• i2 = histeq(i1)，對i1直方圖均衡化
• imhist(i2) ，繪制i2的直方圖
• i2 = adapthisteq(i1)，改進的直方圖均衡化效果，針對空間信息做了改進。

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3.直方圖規定化（直方圖匹配）

修改一幅圖像的直方圖，使得它與另一幅圖像的直方圖匹配或具有一種預先規定的函數情況。

目標：突出感興趣的灰度范圍，改善圖像質量。

場景：上一小節，我們將灰度分布不均的圖像通過均衡化轉換為灰度理論均勻（分布概率密度曲線平直）的圖像，增強了圖像效果，但是實際場景，我們可能要突出某一些部分，又或是我們發現灰度在靠近0和1的部分太暗或太亮會導致細節模糊甚至丟失，自然的我們想到類似于均衡變換，將不均的概率分布曲線轉換成我們特定的預設的一種灰度分布上（如高斯分布），以實現我們需要的增強效果。

方法：1）直接通過f到g的映射，f為原函數，g為變換后的函數，但過程可能很復雜。2）通過均衡變換為中介，將原圖灰度分布f1和預設的直方圖分布f2都做一個變換到均衡分布，分布使用映射函數s和t，那么對原圖做s變換，再做t的反變換就得到了f2的分布。過程簡單。

步驟如圖6所示：

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預設分布：規定化的效果較好，但是前提是需要知道圖像的變換的較好的預設分布，這里需要根據具體情況分析，比如根據圖中的場景，能分析該圖主要應該呈現兩種色調，那么對預設的分布，我們可以給出一種“雙峰”的灰度分布，那么處理后的圖像就會趨于呈現兩種色調。

特例：二值圖，雙峰分布圖中間添加閾值。

灰度變換

場景：曝光不足或過度等原因，產生對比度不足，使圖像細節分辨不清。

方法：使用灰度變換方法解決這些問題。

對比度：簡單講就是最白與最黑的亮度單位的相除值，體現的是灰度級的max和min的極差。

灰度級變換：空間域點運算，通過某個變換函數有：g(x,y)=T(f(x,y))，T即為變換函數。也可以寫作R = T(r)

1.線性灰度變換

變換函數T為線性函數。

• 加常數：會縮小動態范圍，降低對比度，調節整體亮度，可能會損失某一部分灰度等級。如下圖所示，圖7
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（特例）圖像反轉：g(x,y)=255-f(x,y)，簡單理解為"黑白顛倒".

• 乘常數：g(x,y)=Cf(x,y).改變動態范圍。

• 分段線性變換：變換函數采用分段的線性函數，突出感興趣的部分。

  （特例）削波，cliping。

  （特例）閾值化，thresholding。二值圖。

  （特例）灰度窗口變換，將某一區間的灰度級和其他部分（背景）分開。

非線性灰度變換

• 對數變化，低灰度區擴展，高灰度區壓縮
• 之所變化，高灰度區擴展，低灰度區抑制。
• 冪函數。
• LUT變換，Look Up Table，查找表。一種映射表。

Matlab處理

• bc = imcomplement(b)，圖像反轉
• th = imadjust(t,[],[],0.5)，用于進行圖像的灰度變換

圖像運算

1.算術運算：加減乘除

• 加法：C(x,y)=A(x,y)+B(x,y)。去除“疊加性”噪音；生成圖像疊加效果。
• 減法：與加法類似。
• 乘法：C(x,y)=A(x,y)*B(x,y)。局部顯示；二值蒙版圖像與原圖像做乘法。
• 除法：不常用

2.邏輯運算：與或非

3.比較運算：如，取平均，最大，最小

圖像幾何變換

幾何失真分為系統失真和非系統失真，系統失真是有規律的、能預測的，非系統失真則是隨機的。

• 鏡頭畸變
• 遙感圖像矯正：飛行器和地球相對運動造成呈現掃描不規整。
• 圖像配準：工業生產、醫院中裝置定位。

幾何變換是圖像中物體的空間變換，可以看成是圖像內各物體在圖像內移動的過程，如轉動、扭曲、傾斜、拉伸。

1.基本幾何變換的定義

原圖為f(x,y)，變換為，x'=T1(x,y)，y'=T2(x,y)，幾何變換僅對x，y坐標做變換，灰度值不變。(注意：這里的變換不簡單為單個變量的變換，如x'的變換實際上同時涉及變量x和y)

目標圖像為g(x,y)=f(T1(x,y),T2(x,y))

2.常用的幾何變換

• 平移變換。g(x,y)=f(x+tx,y+ty)，原圖平移向量為(tx,ty)。（這里需要注意計算機呈像中的坐標選取，是左上角為坐標原點的，理論研究中采用常用的數學坐標）。寫做矩陣形式為，圖8
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• 鏡像：水平鏡像和垂直鏡像

  • 水平鏡像：沿Y軸翻轉。g(x,y)=f(width-x,y)，矩陣形式為圖9
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  • 垂直鏡像：沿x軸翻轉。g(x,y)=f(x,heigh-y)，矩陣形式為圖10
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• 轉置：x,y坐標對換。與旋轉是不同的，事實上，轉置后的圖與旋轉90度后的圖是水平鏡像關系。矩陣表示如圖11
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• 旋轉變換：繞原點旋轉a度，（注：逆時針為正向角度）。旋轉后畫布變大，圖像增大。數學關系用極坐標表示較為方便。如圖12
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  通常的做法，是以圖像中心做旋轉，方法：

  • 圖像中心平移到原點
  • 順時針以原點做旋轉
  • 圖像中心平移回原坐標

  以上三個變換可以寫成三種變換的矩陣相乘的形式，就可以一步到位。

  問題：旋轉中會出現鋸齒、網紋、斷裂。

  • 像素的方向是固定的，縱橫。旋轉的時候并不會按某一個旋轉角度分布像素，這樣旋轉后像素點就會有交錯，不規整，錯位。像素排列不完全按照原有的相鄰關系。
  • 計算過程中，xy的映射涉及到三角函數，會進行浮點數取整，最終造成某些點空洞（沒有取值），漏點。

  問題的本質都是應為像素值填充不是連續的。

  解決辦法：插值填充。

• 縮放變換：縮小的時候要滿足采樣定理，否則會發生信息丟失；放大的時候需要對空位填入適當的新值，是信息的估計。矩陣表示如下圖13.
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• 拉伸變換：混合的幾何變換，或者說是幾何變換的一般形式。如下圖14
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3.灰度級差值

解決的問題：旋轉中出現的漏點、放大中新增的空點、拉伸中的空點，都存在未知像素值的點。

解決方法：插值法，利用鄰域的像素來估計新的像素值。

a）最鄰近插值：重復最臨近點，取最近點的像素值。簡單，但效果一般，放大倍數太大時會出現馬賽克現象。

b）雙線性插值：根據該空點上下左右4個點進行兩次插值。f(x,y)=ax+by+cxy+d。（xy兩個方向上都取線性變換值）

c）三次立方插值（立方卷積插值）：差值函數為S(x)（是一個擬合的正弦差值函數，sinx/x，這是信息論中已知的優秀的差值算法，認為圖像中的任何兩個連續點的灰度值不是線性變換，而是一種sinx/x的函數，故采用擬合該函數的一個立方差值函數來代替計算），如下圖15

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實踐任務

Matlab和Python分別實現下列任務

• 加載圖像
• 預備任務：彩色圖像到灰度圖像的變換（因為之后的學習大多處理灰度圖，所有需要將彩色圖變換到灰度圖）
• 實踐1：灰度圖及其灰度直方圖，和均衡化后的圖及其直方圖，4個subplot做對比呈現
• 實踐2：灰度圖按高斯分布和雙峰分布做直方圖匹配，給出4個subplot對比呈現
• 實踐3：圖像旋轉，及插值處理。
• 實踐4：圖像高倍放大，及插值算法處理比較。