遞歸的時(shí)間復(fù)雜度計(jì)算較為麻煩。以下我們使用歸并排序的例子，對(duì)遞歸復(fù)雜度進(jìn)行推演。
假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)歸并排序。他的運(yùn)行總時(shí)間是 T（n），
我們通過將其分解成 2 個(gè)計(jì)算式，即 ：2 * （T（n/2））+ n，為什么加 n 呢？因?yàn)?n/2 只是遞歸計(jì)算的時(shí)間，實(shí)際還有合并的時(shí)間，在大部分遞歸中，不但有子任務(wù)的時(shí)間，還有合并子任務(wù)的時(shí)間也要計(jì)算（在遞歸計(jì)算中，子問題消耗的時(shí)間需要統(tǒng)計(jì)，合并子問題的結(jié)果所消耗的時(shí)間也要統(tǒng)計(jì)）。
現(xiàn)在，我們的公式是 2 * （T（n/2））+ n，表達(dá)的是一顆高度是 1 的遞歸樹：
如上圖，我們需要把這顆遞歸樹的 3 個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有耗時(shí)都加上，最終的結(jié)果就是 T(N);
再看上圖，我們遞歸了 1 層，如果遞歸 2 層、3層呢？
遞歸 2 層，表達(dá)式變?yōu)?4 *（T（n/4）)+ 2n.
遞歸 3 層，表達(dá)式變?yōu)?8 * （T（n/8）)+ 3n.
我們總結(jié)一下：
遞歸 2 層：4（T（n/4）)+ 2n
遞歸 3 層：8（T（n/8）)+ 3n
遞歸 4 層：16（T（n/16）)+ 4n
······
遞歸 k 層：2^k （T（n/2^k））+ kn
假設(shè)我們最終遞歸的結(jié)果是 1，那么：
T(n/2^k) = 1
·····反推 2^k = n
····· 那么 k = log2n
k 等于log2N，我們帶入 k 到上面的公式：2^k （T（n/2^k））+ kn；
即 n + log2n * n；
使用大 O 表達(dá)式，去除常數(shù)，低階，系數(shù)，遞歸的時(shí)間復(fù)雜度為 O(nlogn);
最后
關(guān)于遞歸樹的推演，推薦觀看一個(gè)視頻，講的很詳細(xì)，地址：https://www.youtube.com/watch?v=bQi9BHCiusg
