首先感謝Nibnat的提醒，昨天最后一個(gè)檢查2的冪的例子寫錯(cuò)了，正確的方法應(yīng)該是

return ( Number & ( Number - 1 )) ==0;

這個(gè)問題在二進(jìn)制表示下比較好理解，2的次冪在二進(jìn)制下的特點(diǎn)很明顯：只有一個(gè)bit是1，其他bit都是0，于是任務(wù)轉(zhuǎn)換成怎么檢查一個(gè)二進(jìn)制數(shù)是由一個(gè)’1’和好多個(gè)’0’組成的。理解上面的運(yùn)算，需要把注意力放在Number中所有值為’1’的bit的最低位上（我們稱它為最低’1’bit位）。根據(jù)定義，最低’1’bit位左邊可能是0-1組成的任意序列，右邊只能是若干個(gè)0組成的序列。2的冪和非2的冪的區(qū)別是非2冪的最低’1’bit左邊一定有至少一個(gè)’1’bit,而2冪的最低’1’bit位左邊全是0。

現(xiàn)在看看上面的運(yùn)算做了什么事情，Number-1之后，最低’1’bit位的值由1變成0，原來最低’1’bit位左邊的序列保持不變，右邊的0序列變成1序列。跟Number按位進(jìn)行與運(yùn)算之后，Number最低’1’bit位右邊的序列保持不變，最低’1’bit位及其左邊的序列全變成0.于是最終結(jié)果相當(dāng)于檢查Number的最低’1’bit位左邊還有沒有別的’1’bit了。

0是特殊情況，按照數(shù)學(xué)定義，0不是2的冪，不過上面的方法會(huì)輸出TRUE，需要用別的方法檢查一下。

既然提到最低’1’bit位這個(gè)概念了，今天就趁這個(gè)機(jī)會(huì)介紹另一個(gè)與之相關(guān)的，我特別喜歡的例子。直接上代碼先：

x;

y = x & -x;

c = x + y;

x = (((x ^ c) >> 2) / y) | c;

這個(gè)例子比較復(fù)雜，容我一步一步解開大家心里的疑問。

問題一：y是什么？

需要先說明一下，計(jì)算機(jī)中使用補(bǔ)碼來存儲(chǔ)負(fù)數(shù)，所謂補(bǔ)碼，就是按位取反之后再加1，所以-x其實(shí)相當(dāng)于~x+1。x按位取反之后，原來最低’1’bit位變成了0，右邊全變成1了。加1就如同推到了第一塊多米諾骨牌一樣，從最右邊開始把一串1又變回了0，骨牌效應(yīng)到最低’1’bit這里停止，把它從0又拽回來變成1了。總結(jié)一下，-x相當(dāng)于只把最低’1’bit左邊內(nèi)容變反，和x按位與運(yùn)算之后，最低’1’bit為1，其他地方全部是0。所以y其實(shí)是x的最低’1’bit。

問題二：c是什么？

前面解釋過了，y其實(shí)是x的最低’1’bit，那么x和自己的最低’1’bit位相加結(jié)果是什么呢？還是用多米諾骨牌來解釋這個(gè)過程。把x中的1想象成多米諾骨牌，0想象成空地，加1就相當(dāng)于推到一個(gè)骨牌，只要下一位還是1，那么就會(huì)一直向高位進(jìn)位，直到遇到一個(gè)0的時(shí)候才會(huì)停止進(jìn)位。x可以理解為被0隔開的一段段連續(xù)的1，c就是把x最右端的一片1推到后再來一次進(jìn)位的結(jié)果。

問題三：x^ c是什么？

異或運(yùn)算的規(guī)則是二者不同則結(jié)果為真，那我們來看看x和c在哪些bit上會(huì)取不同的值。依然把x理解為被0隔開的一段段連續(xù)的1，c是把x最右端的一片1推到成0之后的結(jié)果，那么可以確定x和c不一樣的地方，就是x最右端的那一串連續(xù)的1，所以x ^ c的結(jié)果其實(shí)就是x最右端的一串1外加一次進(jìn)位。

((x ^ c) >> 2)比較好理解，就是右移兩位。

問題四：除y做什么？

前面第一個(gè)分析過，y是x的最低’1’bit。y只有這一個(gè)1，其他地方都是0，所以y是2的冪！計(jì)算機(jī)中除以2的冪，等價(jià)于右移運(yùn)算。于是((x^ c) >> 2)|y的作用相當(dāng)于把x^ c右移了2+log（y）bit，實(shí)際是把x最右端的一串1使勁地往右移動(dòng)，直到把一個(gè)1都擠出去了。

問題五：為什么要和c按位或？

第二個(gè)問題中分析了c是把x最右端的一串1推到變成0，然后向前進(jìn)一位的結(jié)果，而((x ^ c) >> 2) / y是x最右端的一串1使勁地往右移動(dòng)直到擠出去一位的結(jié)果，他倆按位或運(yùn)算，就是把x最右端的一串1分成兩個(gè)部分，第一個(gè)bit往前進(jìn)一位，其余的被壓到最右端去。

整個(gè)過程解釋完了。

問題六：這段代碼到底在干啥？

把x理解成若干個(gè)1和0組成的二進(jìn)制字符串，從問題五的答案總可以看出，這段代碼并沒有改變字符1的個(gè)數(shù)，而是把最右端的一串連續(xù)的1的位置調(diào)整了一下。仔細(xì)想想可以發(fā)現(xiàn)，這是在保證1的個(gè)數(shù)不變的前提下，下一個(gè)最小的x。這個(gè)功能在組合問題中使用的特別多，可以幫我們找到所有從m個(gè)元素中選出n個(gè)元素的方案。

這段代碼是計(jì)算機(jī)界的大牛，Hacker界的鼻祖BillGosper發(fā)現(xiàn)的，因此也被稱為G函數(shù)。我們最后用幾個(gè)例子來展示一下其中的微妙