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tags: 算法，動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃解題

引入：動態(tài)規(guī)劃 和貪心法 都是算法的思想方法

• 貪心算法——像 第一類歸納法（下一個狀態(tài)的推出 只需要 以前的一個或幾個狀態(tài)）例如：最小生成樹（Prim和Kruskal算法）

• 動態(tài)規(guī)劃— 第二類歸納法 （下一個狀態(tài)的推出需要以前的所有狀態(tài)） 例如：最長遞增子序列， 最長連續(xù)子數(shù)組和

詳見知乎解釋
適用情況

• 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。局部最優(yōu)解能決定全局最優(yōu)解。
• 無后效性。即子問題的解一旦確定，就不再改變，不受在這之后、包含它的更大的問題的求解決策影響。
• 子問題重疊性質(zhì)。子問題重疊性質(zhì)是指在用遞歸算法自頂向下對問題進(jìn)行求解時，每次產(chǎn)生的子問題并不總是新問題，有些子問題會被重復(fù)計算多次。

1.最大連續(xù)子序列（最大連續(xù)子數(shù)組和）

結(jié)論：采用動態(tài)規(guī)劃時時間復(fù)雜度為 o(n)
算法的步驟：

最大子序列是要找出由數(shù)組成的一維數(shù)組中和最大的連續(xù)子序列。比如{5,-3,4,2}的最大子序列就是 {5,-3,4,2}，它的和是8,達(dá)到最大；而 {5,-6,4,2}的最大子序列是{4,2}，它的和是6。
找最大子序列的方法很簡單，只要前i項的和還沒有小于0那么子序列就一直向后擴展，否則丟棄之前的子序列開始新的子序列，同時我們要記下各個子序列的和，最后找到和最大的子序列

代碼如下：

  int maxsum(int a[n]){
    int max=a[0]; //全負(fù)情況，返回最大數(shù)
    int sum=0;
    for(int j=0;j<n;j++)
    {
    if(sum>=0) //如果加上某個元素，sum>=0的話，就加
    sum+=a[j];
    else
    sum=a[j]; //如果加上某個元素，sum<0了，就不加
    if(sum>max)
    max=sum;
    }
    return max;
    }

數(shù)學(xué)證明（歸納法）：上網(wǎng)查 ----證明

2.最長公共子序列（兩個字符串）

這個的算法四個字評價：不明覺厲
詳細(xì)見：july講解

3.最長遞增子序列（只需要求長度）

結(jié)論：用到了兩重for循環(huán) 時間復(fù)雜度為o（n^2）
算法步驟：

給定一個長度為N的數(shù)組a0,a1,a2…,an-1，找出一個最長的單調(diào)遞增子序列（注：遞增的意思是對于任意的i<j，都滿足ai<aj，此外子序列的意思是不要求連續(xù)，順序不亂即可）。例如：給定一個長度為6的數(shù)組A{5， 6， 7， 1， 2， 8}，則其最長的單調(diào)遞增子序列為{5，6，7，8}，長度為4

int main()

{

int res = 0;//最后的值
int n = 8;
int dp[n] = {1}; //存以每個下標(biāo)結(jié)尾的最大遞增子序列的長度
int a[n] = {1,6,8,2,3,5,6,11}; //數(shù)組的值
for (int i = 1; i < n; i++){
for(int j = 0; j < i; j++) {
if(a[i] >a[j])
dp[i] = (dp[i] > dp[j]+ 1 )? dp[i]:dp[j] + 1; //當(dāng)取 0到i-1 中最大的dp[]
}

}
for(int i = 0; i < n; i++)
printf("%d\n",dp[i]);

return 0;
}