輸入一個(gè)h行w列的字符矩陣，草地用“#”表示，洞用“.”表示。你可以把草改成洞，每格花費(fèi)d，也可以把洞填上草，每格花費(fèi)f。最后還需要在草和洞之間修圍欄，每條邊花費(fèi)b。整個(gè)矩陣的第一行/列，最后一行/列必須都是草。求最小花費(fèi)。2<=w,h<=50 1<=d,f,b<=10000
想要理解這道題的解法，首先需要建立正確的“割”的概念。
事實(shí)上，這道題糾正了我對(duì)“割”的理解……
關(guān)于割的討論
以下摘自算法導(dǎo)論
流網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)中的一個(gè)切割(S,T)將結(jié)點(diǎn)集合V劃分為S和T=V-S兩個(gè)集合，使得s∈S，t∈T。
切割(S,T)的容量是:
算法導(dǎo)論中定義了s-t割，即流網(wǎng)絡(luò)中的源點(diǎn)s要在S集中，匯點(diǎn)t要在T集中。我們給出一個(gè)流網(wǎng)絡(luò)，除了源點(diǎn)s和匯點(diǎn)t，還有a、b、c三個(gè)中間結(jié)點(diǎn)。
算法導(dǎo)論中是從點(diǎn)的角度定義割的，而我們應(yīng)用時(shí)一般從邊的角度考慮，即用割斷的邊的集合表示一個(gè)割。
那么問題來了，如下圖所示，我們割斷了邊s→a、b→c，使得s和t不連通，那么邊集{s→a，b→c}是這張網(wǎng)絡(luò)圖的割嗎？
它并不是一個(gè)割，如果我們定義割集是組成割的容量的邊的集合的話。由我們對(duì)割的一般認(rèn)知，去掉割中的所有邊，則S、T集不連通（確切地說，S無法連向T，而T可以連向S，這是割的容量的定義所內(nèi)含的），所以對(duì)于這張圖，顯然S={s、a、b}，T={c、t}，如此s→a這條邊就是S集內(nèi)部的，不是橫跨S、T的邊，不是割的流量的組成部分。
去掉它，正確的割如下圖：
或者在割中新加入一條邊b→a：
這個(gè)割有一點(diǎn)奇怪，雖然我們把所有點(diǎn)劃分成了S集{s、b}，T集{a、c、t}，并且割斷且僅割斷了所有滿足"u∈S,v∈T"的邊u→v，但是點(diǎn)a與匯點(diǎn)t卻不連通！
事實(shí)上，割的定義中從來就沒有說過，T集中的點(diǎn)都能流向匯點(diǎn)t，或者源點(diǎn)s能流向S集中的所有點(diǎn)。
換個(gè)角度來理解，每當(dāng)你選擇一條有向邊u→v割斷時(shí)，u及所有流向u的點(diǎn)將被自動(dòng)地劃入S集，v及v流向的所有點(diǎn)被自動(dòng)地劃入進(jìn)T集。如此切割若干條邊后使得最終的圖邏輯自洽，即沒有哪個(gè)點(diǎn)既屬于S也屬于T（在第一幅圖中，a就是一個(gè)邏輯矛盾的點(diǎn)），這樣的一個(gè)切割邊集，才是一個(gè)正確的割。
用最大流算法跑出的最小割當(dāng)然也是一個(gè)正確的割，而且是所有正確的割中容量最小的那一個(gè)。
回到題目上來
題目可以這樣理解：每個(gè)格子是一個(gè)結(jié)點(diǎn)，整張圖是一張有向圖（流網(wǎng)絡(luò)），每個(gè)格子擁有指向它上下左右4個(gè)鄰居的4條有向邊。我們需要把所有的格子劃分成兩個(gè)陣營：“草”或“洞”，并且選擇一些邊建立圍欄（割斷），使得“草”中的任何一點(diǎn)不能流向“洞”中任何一點(diǎn)，反之亦然。
這里有一點(diǎn)需要注意，我們建模時(shí)兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間有一來一回兩條邊，所以建圍欄時(shí)相當(dāng)于這兩條邊同時(shí)割斷了，因此我們不妨將目標(biāo)修改為：割斷一些有向邊，使得“草”中任一點(diǎn)不流向“洞”中任何點(diǎn)，而不必關(guān)心“洞”中的點(diǎn)能否流向“草”中的點(diǎn)。這樣做的極大好處在于：對(duì)于一對(duì)相鄰點(diǎn)u、v，如果將u劃分為草，v劃分為洞，那么就割斷u→v，反之就割斷v→u。
為了建立最小割模型，引入源點(diǎn)s，將它連向所有初始的草點(diǎn)，并設(shè)這些邊容量為d（草轉(zhuǎn)洞的代價(jià)），引入?yún)R點(diǎn)t，將所有初始的洞點(diǎn)連向它，容量設(shè)為f（洞轉(zhuǎn)草的代價(jià)），并把之前建立的那些網(wǎng)格圖上的有向邊的容量設(shè)為b（建圍欄的代價(jià)）。跑s-t最小割，所得最小割的容量即是最小總代價(jià)。
為什么呢？每當(dāng)割斷一條鄰居間的邊時(shí)，就做了一次決策（哪邊劃入草，哪邊劃入洞），每一組對(duì)于全局的決策都能夠確定出一個(gè)割出來，不會(huì)遺漏情況。另一方面，由于s連向所有初始的草，如果它在決策中被劃入洞，那么s連向它的邊就一定會(huì)被切斷，否則這個(gè)割是不自洽的，轉(zhuǎn)換的代價(jià)也即是這條邊的容量就因此被計(jì)算進(jìn)去了。
