隨機(jī)變量概述

隨機(jī)變量與事件

隨機(jī)變量的本質(zhì)是一種函數(shù)（映射關(guān)系），在古典概率模型中，“事件和事件的概率”是核心概念；但是在現(xiàn)代概率論中，“隨機(jī)變量及其取值規(guī)律”是核心概念。

隨機(jī)變量的分類

隨機(jī)變量從其可能取的值全體的性質(zhì)可以分為兩大類：離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量的取值在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上是間隔的，要么只有有限個(gè)取值，要么是無(wú)限可數(shù)的。

離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量分布函數(shù)

常見的離散型隨機(jī)變量包括以下幾種：

• 0-1分布（也叫兩點(diǎn)分布或伯努利分布，bernouli distribution）
  又叫做0-1分布，指一次隨機(jī)試驗(yàn)，結(jié)果只有兩種。也就是一個(gè)隨機(jī)變量的取值只有0和1。
  最簡(jiǎn)單的例子就是，拋一次硬幣，預(yù)測(cè)結(jié)果為正還是反。

• 二項(xiàng)分布(binomial distrubution)
  表示n次伯努利實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。
  例子就是，求多次拋硬幣，預(yù)測(cè)結(jié)果為正面的次數(shù)。

P(X=0) =  1/32
P(X=1) =  5/32
P(X=2) = 10/32 = 5/16
P(X=3) = 10/32 = 5/16
P(X=4) =  5/32
P(X=5) =  1/32

這是隨機(jī)變量X 表示五次拋硬幣出現(xiàn)的正面的次數(shù)；

二項(xiàng)分布的期望值公式：E(X) = np

二項(xiàng)分布的期望值

二項(xiàng)分布概率質(zhì)量函數(shù)

• 幾何分布

  
  
  幾何分布概率質(zhì)量函數(shù)

• 泊松分布
  泊松分布就是描述某段時(shí)間內(nèi)，事件具體的發(fā)生概率。
  日常生活中，大量事件是有固定頻率的。

某醫(yī)院平均每小時(shí)出生3個(gè)嬰兒
某公司平均每10分鐘接到1個(gè)電話
某超市平均每天銷售4包xx牌奶粉
某網(wǎng)站平均每分鐘有2次訪問

它們的特點(diǎn)就是，我們可以預(yù)估這些事件的總數(shù)，但是沒法知道具體的發(fā)生時(shí)間。
泊松分布的圖形大概是下面的樣子。

泊松分布的圖形

poisson分布概率質(zhì)量函數(shù)

泊松分布與二項(xiàng)分布對(duì)比

可以看到，在頻率附近，事件的發(fā)生概率最高，然后向兩邊對(duì)稱下降，即變得越大和越小都不太可能。

• 超幾何分布
  一個(gè)袋子中有n個(gè)球，其中r個(gè)是黑球，n-r是白球，從袋中取出m個(gè)球，讓X表示取出球中的黑球的個(gè)數(shù)，那么X是一個(gè)符合超幾何分布(hypergeometric distribution)的隨機(jī)變量。

連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量的取值要么包括整個(gè)實(shí)數(shù)集(?∞,+∞)，要么在一個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，總之這類隨機(jī)變量的可能取值要比離散型隨機(jī)變量的取值多得多，它們的個(gè)數(shù)是無(wú)限不可數(shù)的。

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度分布函數(shù)

常見的連續(xù)型隨機(jī)變量包括以下幾種：

• 均勻分布

  
  
  均勻分布概率密度函數(shù)

• 指數(shù)分布
  指數(shù)分布是事件的時(shí)間間隔的概率。下面這些都屬于指數(shù)分布。

嬰兒出生的時(shí)間間隔
來(lái)電的時(shí)間間隔
奶粉銷售的時(shí)間間隔
網(wǎng)站訪問的時(shí)間間隔

指數(shù)分布的公式可以從泊松分布推斷出來(lái)。
指數(shù)分布的圖形大概是下面的樣子。

指數(shù)分布的圖形

指數(shù)分布概率密度函數(shù)

可以看到，隨著間隔時(shí)間變長(zhǎng)，事件的發(fā)生概率急劇下降，呈指數(shù)式衰減。

• 正態(tài)分布
  正態(tài)分布是比較常見的，最常用的分布就是正態(tài)分布（normal distribution），也稱為高斯分布 （Gaussian distribution），譬如學(xué)生考試成績(jī)的人數(shù)分布等。

  
  
  正太分布概率密度函數(shù)

隨機(jī)變量的基本性質(zhì)

隨機(jī)變量最主要的性質(zhì)是其所有可能取到的這些值的取值規(guī)律，即取到的概率大小。如果我們把一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能的取值的規(guī)律都研究透徹了，那么這個(gè)隨機(jī)變量也就研究透徹了。隨機(jī)變量的性質(zhì)主要有兩類：一類是大而全的性質(zhì)，這類性質(zhì)可以詳細(xì)描述所有可能取值的概率，例如累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)；另一類是找到該隨機(jī)變量的一些特征或是代表值，例如隨機(jī)變量的方差或期望等數(shù)字特征。