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本章涉及知識點：

1、時間序列分析

2、平穩時間序列

3、白噪聲

4、AR自回歸模型

5、MA滑動平均模型

6、ARMA模型

7、ARIMA模型

8、差分計算

9、相關性分析—協方差

10、相關性分析—Pearson相關系數

11、時間序列相關性分析—ACK和PACK

12、AIC和BIC準則

13、一階自相關檢驗—DW檢驗

14、ARIMA模型的步驟

15、ARIMA模型實戰案例

一、時間序列分析

時間序列：在一段時間T內，按照時間順序測量某個隨機變量的取值序列。即

時間序列

區別于一般的時間函數為

一般的時間函數

其中自變量是時間t，表示在f的作用法則下，將自變量t映射為因變量y

而時間序列函數為

時間序列函數

其中自變量是Xt的前p個序列值，表示在f的作用法則下，將自變量Xt的前p個序列值映射為因變量Xt

綜上分析可知

（1）對于單值函數f(t)，關心的是時間t和實值y的映射關系

（2）對于時間序列Xt，關心的是Xt的前p個序列值和Xt的映射關系

二、平穩時間序列

獨立時間序列： $X_{n+1}$ 對于{ $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ }均彼此獨立，即任意 $X_{t}$ 都不含有 $X_{n+1}$ 的信息

穩定時間序列： $X_{n+1}$ 的信息隱含在其歷史{ $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ }之中

我們需要由歷史來推測未來，則研究的序列對象是穩定時間序列，其必須滿足：

（1） $EX_{t}^{2} < \infty$

（2） $EX_{t} = \mu$

（3） $cov(X_{i},X_{j}) =$ $E[(X_{i} - \mu )(X_{j} - \mu )] = \gamma_{i-j}$

即穩定時間序列滿足：常量的均值、常量的方差、與時間t無關的自協方差

且對于任意序列 $X_{i}$ 和 $X_{j}$ ，共同平移k步后的序列得到的序列 $X_{i+k}$ 和 $X_{j+k}$ 具有相同的協方差，即

$cov(X_{i}, X_{j}) = cov(X_{i+k}, X_{j+k})$

上式稱為協方差結構的平移不變性

對于平穩序列的任意n階自協方差矩陣

$\Gamma _{n} = \begin{bmatrix} \gamma_{0}&... & \gamma_{n-1}\\ ...& ...& ...\\ \gamma_{n-1}&... & \gamma_{0}\end{bmatrix}$

任意取一個n維向量a，則

$a\Gamma_{n}a^{T} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i} a_{j} \gamma_{i-j}$

$= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i} a_{j} E[(X_{i} -\mu )(X_{j} -\mu )]$

$= E[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i} a_{j} (X_{i} -\mu )(X_{j} -\mu )]$

$= E[\sum_{i=1}^n a_{i} (X_{i} -\mu )^{2}] = var[\sum_{i=1}^n a_{i} (X_{i} -\mu )] \geq 0$

則證明平穩序列的任意n階自協方差矩陣是非負定矩陣

三、白噪聲

白噪聲服從高斯分布，記時間序列 $\{X_{t} \}$ 對于任意i和j，如果滿足

? $EX_{t} = \mu \ , cov(X_{i}, X_{j}) = \left\{\begin{matrix}\sigma^{2}, \ i = j\\ 0, \ i \neq j\end{matrix}\right.$

則時間序列 $\{X_{t} \}$ 是一個白噪聲，記為 $WN(\mu , \sigma ^2)$ 。

我們一般用白噪聲來驗證原始時間序列和擬合時間序列的殘差序列

即原始時間序列為 $\{X_{t} \}$ ，擬合時間序列為 $\{Y _{t} \}$ ，則殘差序列 $\{e_{t} \}$ 為：

$\{e_{t} \} \ = \{X_{t} \} - \{Y_{t} \}$

當 $\{e_{t} \}$ 近似的滿足白噪聲，則時間序列模型很好的捕捉了自相關性

例如：對于隨機變量U1,U2,...獨立分布且都在(0,2pi)上均勻分布，假設時間序列為：

$X_{t} = b\cos(at+U_{t})$

則分別計算 $EX_{t}^2$ 和 $EX_{t}$ ，得

$EX_{t}^2 = \frac{b^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos(at+u)^2du$

$= \frac{b^2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos[2(at+u)]}{2} du$

$= \frac{b^2}{2\pi}[ \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi}du + \frac{1}{4} \int_{0}^{2\pi} \cos(2at+2u)d(2at+2u)] = \frac{b^2}{2}$

$EX_{t} = \frac{b}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos(at+u)du = 0$

則時間序列 $\{X_{t}\}$ 是獨立的 $WN(0, \frac{b^2}{2} )$ 正態白噪聲

四、AR自回歸模型

對于任意一個穩定時間序列 $\{X_{t}\}$ ，當滿足如下關系：

$X_{t} = \alpha_{1}X_{t-1} + \alpha_{2}X_{t-2} + ... + \alpha_{p}X_{t-p} + w_{t} = \sum_{i=1}^p \alpha_{i}X_{t-i} + w_{t}$

$\{X_{t}\}$ 為一個p階的自回歸模型，記為 $AR(p)$ 模型

$AR(p)$ 模型的意義為：

（1）任意一個t時刻的序列值 = t時刻的前p個序列值的線性組合 + t時刻的隨機誤差

（2）以歷史序列為自變量，建立線性模型來預測未來

五、MA滑動平均模型

對于任意一個穩定時間序列 $\{X_{t}\}$ ，由AR模型得到自回歸系數的估計為 $(\alpha_{1}...\alpha_{p})$

記 $\{ \varepsilon_{t } \}$ 是 $\{X_{t}\}$ 的殘差序列，即

$\varepsilon_{t-q} = X_{t} -\sum_{i=1}^p \alpha_{i}X_{t-i}$

則當滿足如下關系：

$X_{t} = \beta_{1}\varepsilon_{t-1} + \beta _{2}\varepsilon_{t-2} + ... + \beta _{q}\varepsilon_{t-q} + w_{t} = \sum_{i=1}^q \beta_{i}\varepsilon_{t-i} + w_{t}$

$\{X_{t}\}$ 為一個q階的滑動平均模型，記為 $MA(q)$ 模型，其中 $\{ \varepsilon_{t } \}$ 滿足 $WN(0, \sigma ^2)$ 白噪聲

$MA(q)$ 模型的含義為：

（1）任意一個t時刻的序列值 = t時刻的前q個序列的白噪聲累加和的線性組合 + t時刻的隨機誤差?

（2）以歷史白噪聲為自變量，建立線性模型來預測未來

六、ARMA模型

將一個p階的自回歸模型和一個q階的滑動平均模型組合在一起，便得到了一個階數為（p，q）的自回歸滑動平均模型，記為 $ARMA(p,q)$ 模型，即

$X_{t} = \alpha_{1}X_{t-1} +...+\alpha_{p}X_{t-p} + \beta_{1}\varepsilon_{t-1} +...+ \beta _{q}\varepsilon_{t-q} + w_{t}$

$= \sum_{i=1}^p \alpha_{i}X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \beta_{i}\varepsilon_{t-i} + w_{t}$

$ARMA(p,q)$ 模型的意義為：

（1）將AR和MA模型的優勢線性互補起來

（2）以歷史序列和歷史白噪聲序列為自變量，建立線性模型來預測未來

七、ARIMA模型

ARIMA模型：對時間序列 $\{X_{t}\}$ 進行d次差分得到一個新的差分時間序列 $\{Y_{t}\}$ ，再對該序列使用ARMA模型，為此ARIMA模型比ARMA模型多了一層思想：差分

八、差分計算

對于任意一個時間序列 $\{X_{t}\}$ 進行d次差分，設 $x_{t}$ 是t時刻 $\{X_{t}\}$ 的差分值

當d=0時， $x_{t} = X_{t}$

當d=1時， $x_{t} = X_{t} - X_{t-1}$

當d=2時， $x_{t} = X_{t} - X_{t-1} - (X_{t-1} - X_{t-2} ) = X_{t} -2 X_{t-1} + X_{t-2}$

一般的，一個非平穩序列經過d次差分后，可以轉化為平穩時間序列

九、相關性分析—協方差

假設兩個隨機變量X和Y滿足未知的概率分布，則我們可以使用協方差來衡量X和Y之間的相關性

$cov(X, Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]$

而在實際應用中，由于整體的概率分布未知（無法計算出數學期望），則用X和Y的觀測值來計算樣本的協方差，其中 $\mu_{X}$ 和 $\mu_{Y}$ 分別為X和Y的均值

$cov(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_{i}-\mu_{X})(y_{i}-\mu_{Y})$

當 $cov(X, Y) >0$ ，X和Y正相關，有相同的變化趨勢

當 $cov(X, Y) <0$ ，X和Y負相關，有相反的變化趨勢

當 $cov(X, Y) =0$ ，X和Y沒有線性關系

用協方差描述隨機變量的相關性，只能做到定性分析，無法做到定量分析，比如：一組身高和體重的協方差為205.6，這個數值是一個正數，只能說明身高體重具有正相關型，而并沒有給出其相關性大小的判斷標準。

因此協方差具有量綱效應

十、相關性分析—Pearson相關系數

為了對隨機變量的相關性做定量分析，需要消除協方差之間的量綱，為此引入Pearson相關系數

$corr(X,Y) = \frac{E[(X-E(X))(Y-E(Y))]}{\sqrt{var(X)}\sqrt{var(Y)} }=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}$

$=\frac{ \sum_{i=1}^n (x_{i}-\mu_{X})(y_{i}-\mu_{Y})}{\sum_{i=1}^n (x_{i}-\mu_{X})\sum_{i=1}^n (y_{i}-\mu_{Y})}$

通過X和Y的標準差來歸一化X和Y的協方差，且 $corr(X,Y) \ \epsilon \ [-1,+1]$

當 $corr(X,Y) =1$ ，X和Y正相關

當 $corr(X,Y) =-1$ ，X和Y負相關

當 $corr(X,Y) =0$ ，X和Y沒有線性關系

當 $0<|corr(X,Y) |<1$ ，X和Y具有一定程度的線性關系

十一、時間序列相關性分析—ACK和PACK

由于時間序列的自變量是一維的，則使用Pearson相關系數判斷其相關性時，需要找到除自身序列值外的一個變量與之比較關系，為此時間序列有如下特點：

時間序列只能比較自己和自己滯后的序列值，即形成自相關關系

ACK自相關系數：度量變量過去的行為對變量現在的影響，即

$ACK (k) = \frac{cov(X_{1,k},X_{k+1,n})}{\sigma_{X}^2} = \frac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_{t}-\mu_{X})(x_{t+k}-\mu_{X})}{\sum_{t=1}^n(x_{t}-\mu_{X})^2}$

ACK表示：歷史序列 $\{ x_{1},...,x_{k} \}$ 和當前序列 $\{ x_{k+1},...,x_{n} \}$ 之間的相關性

PACK偏自相關系數：計算某一個變量對另一個變量的相關程度時，把其他變量視為常數

$PACK (k) = \frac{cov(X_{1,k} - \mu_{X_{1,k}},X_{k+1,n} - \mu_{X_{k+1,n}})}{\sigma(X_{1,k} - \mu_{X_{1,k}})\sigma(X_{k+1,n} - \mu_{X_{k+1,n}})}$

$= \frac{\sum_{t=1}^{n-k} (x_{t+k} - \mu_{X_{k+1,n}}-\mu_{X}) (x_{t} - \mu_{X_{1,k}} -\mu_{X})}{\sum_{t=1}^k(x_{t} - \mu_{X_{1,k}}-\mu_{X})\sum_{t=k+1}^n(x_{t} - \mu_{X_{k+1,n}}-\mu_{X})}$

PACK表示：計算時間序列 $\{ x_{t} \}$ 對 $\{ x_{t+k} \}$ 的相關性影響，需要排除k-1個（ $\{ x_{t+1} \}... \{ x_{t+k-1} \}$ ）中間變量的影響

十二、AIC和BIC準則

AIC和BIC準則可以輔助量化ARMA模型的定階，通過最小化AIC和BIC指標來搜索出模型的最優階數p和q

AIC準則：全稱是最小化信息量準則，定義為

$AIC(k) = - 2\ln(L) + 2k$

其中k為模型的階數，L為模型的極大似然函數

AIC準則有一定的缺陷：即樣本容量很大時，k的懲罰因子一直是常數2，與樣本容量沒有關系，這樣會導致AIC增大

BIC準則：全稱是貝葉斯信息準則，定義為

$BIC(k) = - 2\ln(L) + k\ln(n)$

其中n為樣本容量

BIC很好的彌補了AIC的不足，將樣本容量n關聯到k的懲罰因子中

十三、一階自相關檢驗—DW檢驗

由ACK的定義

$ACK (k) = \frac{cov(X_{1,k},X_{k+1,n})}{\sigma_{X}^2} = \frac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_{t}-\mu_{X})(x_{t+k}-\mu_{X})}{\sum_{t=1}^n(x_{t}-\mu_{X})^2}$

我們設 $e_{t}=x_{t}-\mu_{X}$ , $e_{t+1}=x_{t+1}-\mu_{X}$ ，則構造統計量DW為：

$DW=\frac{\sum_{t=1}^{n-1}(e_{t+1} - e_{t})}{\sum_{t=1}^{n}e_{t}^{2}}$

分析DW，當n非常大時，有 $\sum_{t=1}^{n}e_{t}^{2} \approx \sum_{t=1}^{n-1}e_{t}^{2} \approx \sum_{t=1}^{n-1}e_{t+1}^{2}$ ，則

$DW=\frac{\sum_{t=1}^{n-1}e_{t+1}^{2} + e_{t}^{2} - 2e_{t+1}e_{t}}{\sum_{t=1}^{n}e_{t}^{2}} \approx 2(1 - \frac{\sum_{t=1}^{n-1}e_{t+1}e_{t}}{\sum_{t=1}^{n}e_{t}^{2}} )=2(1-ACK(1))$

DW檢驗有以下特點：

（1）DW檢驗僅適用于一階自相關的檢驗

（2）如果不存在一階自相關，一般也不存在高階序列相關

（3）實際應用中，對于序列相關問題一般只進行DW檢驗

由ACK(1)的取值來決定DW的取值情況：

當ACK(1)=1，說明相關變量組存在一階正相關，DW=0

當ACK(1)=-1，說明相關變量組存在一階負相關，DW=4

當ACK(1)=0，說明相關變量組完全不相關，DW=2

十四、ARIMA模型的步驟

通過上述知識點，我們可以歸納出ARIMA模型的步驟為：

（1）獲取觀測的時間序列，檢驗序列的平穩性

（2）縮小序列值域，一般取對數序列

（3）對于非平穩序列，通過d次差分運算轉化為穩定序列

（4）ADF單根檢驗，觀察p-value值是否小于5%

（5）模型定階：對平穩時間序列分別求自相關系數ACF和偏自相關系數PACF，通過AIC、BIC準則得到最佳的階數p和q

（6）模型訓練：通過(p，d，q)階數訓練ARIMA模型，學習到殘差序列

（7）模型檢驗：殘差序列是否滿足白噪聲、DW檢驗一階自相關性、觀察殘差序列擬合原始殘差序列效果

（8）模型測試：殘差序列逆向還原擬合時間序列，殘差序列交叉驗證測試集