用于解決動態連通圖的連接性問題

問題描述

給定由N個對象構成的集合，并告知哪些對象之間是連通的，由此判斷某兩個對象之間是否連通。

注：連通代表有路可達，而不一定直接相連

連通性示例

抽象建模

• 將所有對象用序號標識，如0,1,2,3...
• Union 將告知的連通對象之間連通
• Find 判斷某兩個對象之間是否連通

連通性抽象

算法描述

基本思想是，將連通圖分割成N個最大連通子集，即每個子集內部的對象相互連通，而子集之間的對象互不連通，這樣只需判斷某兩個對象是否在同一個子集中，便可判斷其是否連通。

最大連通子集

具體而言，根據不同的實現方式，可衍生出以下幾種算法。

1. Quick-Find

顧名思義，這是一個注重快速判斷的算法。它將屬于同一個子集的對象用同一個標號標識，而不同子集用不同標號標識，這時判斷對象是否連通就等價于判斷對象標號是否相等。

實現思路

• 整形N維數組id[]，存儲N個對象所屬的子集標號，下標為對象標識
• Union 合并分別包含p和q的子集，需將所有標號等于id[p]的都置為id[q]
• Find 判斷p和q是否連通，即判斷是否滿足id[p]==id[q]

QF 實現圖例

偽代碼

// 初始化 function(int N)
id = new int[N];
for (int i = 0; i < N; i++) 
  id[i] = i; // 每個對象在初始時各不連通，各成一個子集，用其下標標識 

// Union function(int p, int q)
int pid = id[p];
int qid = id[q];
for (int i = 0; i < N; i++)
{ 
  if (id[i] == pid) 
    id[i] = qid; // 將所有子集標識等于id[p]的改為id[q]
}

// Find function(int p, int q)
return id[p] == id[q]; // 判斷子集標識是否相同

這種算法雖然Find很快，但Union卻非常慢，每次需要判斷和改動的位置很多。一般來說，Union的次數要比Find的次數多很多，所以注重Union效率的提高會更實際一些。

2. Quick-Union

這即是一個注重快速合并的算法， 不同于Quick-Find將子集內所有對象都用同一個標識表示，它將子集中的對象看成是樹狀結構，每個子集形成一棵樹，子集中的對象都有父對象，根對象的父對象是其自身。

此時，在N維數組中存儲各對象的父對象標識，則對象i所在子集樹的根為id[id[id[...id[i]...]]]，同一個根對應的所有對象是連通的。這樣，Find時需判斷對象的根是否相同，而Union時只需將一個子集樹的根變為另一個子集樹的孩子。可見，Union時只需要變更一個位置，而Find則取決于樹的高度。

QU 實現圖例

偽代碼

// Root function(int i)
while (i != id[i]) i = id[i]; // 尋找根節點
return i;

// Union function(int p, int q)
int i = root(p);
int j = root(q);
id[i] = j; // 將一顆子集樹掛在另一顆子集樹根上

// Find function(int p, int q)
return root(p) == root(q); // 判斷對象根節點是否相同

雖然這種算法的Union速度加快，但其速度仍取決于root的速度，即樹的高度，因此可優化的地方還有很多。

3. Weighted Quick-Union

這是一個基于QU的加權算法，它可有效降低樹的高度，使root速度變快。

其思想是，在每次Union合并子集樹時，總是將小樹的根掛在大樹的根上，而不像QU中總是將前一個樹的根掛在后一個樹的根上。

W-QU 思想

這就需要另外設置一個N維整形數組，用于存儲以每個對象為根的樹大小，這樣在Union時便可比對子集樹的大小。

偽代碼

// 初始化 function(int N)
sz = new int[N]; // 樹大小數組
for (int i = 0; i < N; i++)
  sz[i] = 1; // 初始時各對象自成一樹，每棵樹的大小為1

// Union function(int p, int q)
int i = root(p);
int j = root(q);
if (sz[i] < sz[j]) 
{
  id[i] = j;
  sz[j] += sz[i];
}
else 
{
  id[j] = i;
  sz[i] += sz[j];
}

這種算法帶來的壓縮樹高度的效果是非常顯著的，尤其是在對象個數較多時。

W-QU優化效果.png

4. Quick-Union with Path Compression

這是一種基于QU的路徑壓縮優化算法，目的也是壓縮樹的高度。

一種思想是，在每次尋找對象的根節點時，都將通往根節點的沿途各個節點直接掛在根節點下。代碼實現可設置兩個循環，先找根節點，再掛各節點。

QU-PC思想1

另一種思想是，在每次尋找對象的根節點時，都將對象掛在其祖父對象上，再從祖父對象依次重復上述過程。則每次root會大致將路徑長度壓縮一半。

偽代碼

// Root function(int i)
while (i != id[i])
{
  id[i] = id[id[i]];
  i = id[i];
}
return i;

當然也可以將Weighted與Path Compression結合使用。

5. Weighted Quick-Union with Path Compression

Weighted是在Union階段，而Path Compression是在Root階段，兩者互不干擾，可結合使用，效果更好。

偽代碼（完整）

/* Weighted Quick-Union with Path Compression */

// 初始化 function(int N)
id = new int[N]; // 父對象數組
sz = new int[N]; // 樹大小數組
for (int i = 0; i < N; i++)
{
  id[i] = i; 
  sz[i] = 1;
}

// Root function(int i)
while (i != id[i])
{ 
  id[i] = id[id[i]]; // 采用Path Compression第二種思想
  i = id[i];
}
return i;

// Union function(int p, int q)
int i = root(p);
int j = root(q);
if (sz[i] < sz[j]) // 采用Weighted思想
{
  id[i] = j;
  sz[j] += sz[i];
}
else 
{
  id[j] = i;
  sz[i] += sz[j];
}

// Find function(int p, int q)
return root(p) == root(q);

算法分析

現分析各算法的時間性能。

1. Quick-Find
   Union_O(N)，FindO(1)

2. Quick-Union
   Union_O(N)，FindO(N)
   主要耗時在root上

3. Weighted-QU
   Union_{O(logN)，Find}O(logN)
   樹的高度不會超過logN(以2為底)，考慮一個對象，其最開始樹大小為1，每次其高度+1發生在其作為小樹成員掛到大樹根上，此時合并樹的大小>=2倍小樹大小，而小樹最多不會翻倍logN次，所以高度最高不會超過logN

4. QU + Path Compression
   Union_{O(logN)，Find}O(logN)
   猜想：采用第二種思想時，每次可將路徑壓縮一半，則最終樹的高度<=logN？

5. Weighted-QU + Path Compression
   <= c(N+MlogN) 接近于線性
   N表示對象個數，M表示Union次數
   logN表示N經過多少次log能到達1，如log16=3, log65536=4

注：Union和 Find列均指一次操作的最壞時間復雜度， Worst-Case Time表示 M次Union操作的最壞時間復雜度。

應用舉例

Union-Find 的一個典型應用是解決“滲透問題（Percolation）”

N*N的網格，網格中每一塊都以概率p開啟（白色）或關閉（黑色），判斷從頂層能否滲透到底層（可假想從頂層注水，只能流經白色區域，水能否到達底層，或者導體通電問題等）

滲透問題示例

將每個網格看成是一個對象，這類問題明顯可轉化為動態連通圖連接性問題，但要注意幾個問題。

1. 為避免循環，可將所有頂層節點與一個虛擬頂層節點相連，而將所有底層節點都與一個虛擬底層節點相連，這樣只需判斷兩個虛擬節點是否連通。
2. 開啟一個網格時，應連通它與周圍四個節點中所有開啟的節點。
3. Backwash問題，在將所有底層節點與虛擬底層節點相連后，如果要判斷一個節點（不一定是底層節點）是否與頂層節點相連時，它可能會通過虛擬底層節點向上尋找到路徑，這顯然不符合常理。
   可有兩種解決方式，一是取消使用底層虛擬節點，犧牲時間；二是帶虛擬底層幾點與不帶虛擬底層節點兩種模型結合使用，犧牲空間。

滲透問題建模

結束語

動態連通圖問題可以是很多問題的抽象建模，如網絡中計算機連接、社交中的朋友關系、數學集合中的元素等等，掌握Union-Find的各算法是非常有用的。