B樹

B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思。因?yàn)锽樹的原英文名稱為B-tree，而國(guó)內(nèi)很多人喜歡把B-tree譯作B-樹，其實(shí)，這是個(gè)非常不好的直譯，很容易讓人產(chǎn)生誤解。如人們可能會(huì)以為B-樹是一種樹，而B樹又是另一種樹。而事實(shí)上是，B-tree就是指的B樹。特此說(shuō)明。

二叉搜索樹

先介紹下二叉搜索樹

1. 所有非葉子結(jié)點(diǎn)至多擁有兩個(gè)兒子（Left和Right）；
2. 所有結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)一個(gè)關(guān)鍵字；

3. 非葉子結(jié)點(diǎn)的左指針指向小于其關(guān)鍵字的子樹，右指針指向大于其關(guān)鍵字的子樹；

   
   
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• 二叉搜索樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，如果查詢的關(guān)鍵字與結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字相等，那么就命中；否則，如果查詢關(guān)鍵字比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字小，就進(jìn)入左兒子；如果比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字大，就進(jìn)入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報(bào)告找不到相應(yīng)的關(guān)鍵字；
• 如果二叉搜索樹的所有非葉子結(jié)點(diǎn)的左右子樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)目均保持差不多（平衡），那么B樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續(xù)內(nèi)存空間的二分查找的優(yōu)點(diǎn)是，改變二叉搜索樹結(jié)構(gòu)（插入與刪除結(jié)點(diǎn)）不需要移動(dòng)大段的內(nèi)存數(shù)據(jù)，甚至通常是常數(shù)開銷。

如圖：

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二叉搜索樹在經(jīng)過(guò)多次插入與刪除后，有可能導(dǎo)致不同的結(jié)構(gòu)：如圖：
如圖：

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• 右邊也是一個(gè)二叉搜索樹，但它的搜索性能已經(jīng)是線性的了；同樣的關(guān)鍵字集合有可能導(dǎo)致不同的樹結(jié)構(gòu)索引；所以，使用二叉搜索樹還要考慮盡可能讓B樹保持左圖的結(jié)構(gòu)，和避免右圖的結(jié)構(gòu)，也就是所謂的“平衡”問(wèn)題；
• 實(shí)際使用的二叉搜索樹都是在原二叉搜索樹的基礎(chǔ)上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持B樹結(jié)點(diǎn)分布均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關(guān)鍵；平衡算法是一種在二叉搜索樹中插入和刪除結(jié)點(diǎn)的策略；

B樹（B-樹）

B樹是一種平衡的多路搜索樹， 結(jié)點(diǎn)最大的孩子數(shù)目稱為B樹的階。一個(gè)m階B樹具有如下屬性：

1. 定義任意非葉子結(jié)點(diǎn)最多只有M個(gè)兒子；且M>2；
2. 根結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[2, M]（即：如果根節(jié)點(diǎn)不是葉節(jié)點(diǎn)，則最少有兩個(gè)孩子）；
3. 除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為[M/2, M]；
4. 每個(gè)結(jié)點(diǎn)存放至少M(fèi)/2-1（取上整）和至多M-1個(gè)關(guān)鍵字；（至少2個(gè)關(guān)鍵字，因?yàn)楦腹?jié)點(diǎn)滿之后進(jìn)行拆分）
5. 非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù)=指向兒子的指針個(gè)數(shù)-1；
6. 非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7. 非葉子結(jié)點(diǎn)的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關(guān)鍵字小于K[1]的子樹，P[M]指向關(guān)鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關(guān)鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；
8. 所有葉子結(jié)點(diǎn)位于同一層；

如圖

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B-樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，對(duì)結(jié)點(diǎn)內(nèi)的關(guān)鍵字（有序）序列進(jìn)行二分查找，如果命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點(diǎn)；重復(fù)，直到所對(duì)應(yīng)的兒子指針為空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點(diǎn)；

B-樹的特性：

1. 關(guān)鍵字集合分布在整顆樹中；
2. 任何一個(gè)關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個(gè)結(jié)點(diǎn)中；
3. 搜索有可能在非葉子結(jié)點(diǎn)結(jié)束；
4. 其搜索性能等價(jià)于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找；

5. 自動(dòng)層次控制；
   由于限制了除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)，至少含有M/2個(gè)兒子，確保了結(jié)點(diǎn)的至少利用率，其最底搜索性能為：

   
   
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其中，M為設(shè)定的非葉子結(jié)點(diǎn)最多子樹個(gè)數(shù)，N為關(guān)鍵字總數(shù)；所以B-樹的性能總是等價(jià)于二分查找（與M值無(wú)關(guān)），也就沒有B樹平衡的問(wèn)題； 由于M/2的限制，在插入結(jié)點(diǎn)時(shí)，如果結(jié)點(diǎn)已滿，需要將結(jié)點(diǎn)分裂為兩個(gè)各占M/2的結(jié)點(diǎn)；刪除結(jié)點(diǎn)時(shí)，需將兩個(gè)不足M/2的兄弟結(jié)點(diǎn)合并；

B+樹

B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜索樹：

1. 其定義基本與B-樹同，除了：
2. 非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針與關(guān)鍵字個(gè)數(shù)相同；
3. 非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針P[i]，指向關(guān)鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區(qū)間）；
4. 為所有葉子結(jié)點(diǎn)增加一個(gè)鏈指針；
5. 所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)；

如圖：

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B+的搜索與B-樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中（B-樹可以在非葉子結(jié)點(diǎn)命中），其性能也等價(jià)于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；

B+的特性：

1. 所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點(diǎn)的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關(guān)鍵字恰好是有序的；
2. 不可能在非葉子結(jié)點(diǎn)命中；
3. 非葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是葉子結(jié)點(diǎn)的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是存儲(chǔ)（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層；
4. 更適合文件索引系統(tǒng)；

B+樹的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿時(shí)，分配一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，并將原結(jié)點(diǎn)中1/2的數(shù)據(jù)復(fù)制到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)中增加新結(jié)點(diǎn)的指針；B+樹的分裂只影響原結(jié)點(diǎn)和父結(jié)點(diǎn)，而不會(huì)影響兄弟結(jié)點(diǎn)，所以它不需要指向兄弟的指針；

小結(jié)

• 二叉搜索樹：二叉樹，每個(gè)結(jié)點(diǎn)只存儲(chǔ)一個(gè)關(guān)鍵字，等于則命中，小于走左結(jié)點(diǎn)，大于走右結(jié)點(diǎn)；
• B（B-）樹：多路搜索樹，每個(gè)結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)M/2到M個(gè)關(guān)鍵字，非葉子結(jié)點(diǎn)存儲(chǔ)指向關(guān)鍵字范圍的子結(jié)點(diǎn)；所有關(guān)鍵字在整顆樹中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次，非葉子結(jié)點(diǎn)可以命中；
• B+樹：在B-樹基礎(chǔ)上，為葉子結(jié)點(diǎn)增加鏈表指針，所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)中出現(xiàn)，非葉子結(jié)點(diǎn)作為葉子結(jié)點(diǎn)的索引；B+樹總是到葉子結(jié)點(diǎn)才命中；

MySql中的索引

MySQL中普遍使用B+Tree做索引，但在實(shí)現(xiàn)上又根據(jù)聚簇索引和非聚簇索引而不同。

聚簇索引

所謂聚簇索引，就是指主索引文件和數(shù)據(jù)文件為同一份文件，聚簇索引主要用在Innodb存儲(chǔ)引擎中。在該索引實(shí)現(xiàn)方式中B+Tree的葉子節(jié)點(diǎn)上的data就是數(shù)據(jù)本身，key為主鍵，如果是一般索引的話，data便會(huì)指向?qū)?yīng)的主索引。

在B+Tree的每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)增加一個(gè)指向相鄰葉子節(jié)點(diǎn)的指針，就形成了帶有順序訪問(wèn)指針的B+Tree。做這個(gè)優(yōu)化的目的是為了提高區(qū)間訪問(wèn)的性能，例如圖4中如果要查詢key為從18到49的所有數(shù)據(jù)記錄，當(dāng)找到18后，只需順著節(jié)點(diǎn)和指針順序遍歷就可以一次性訪問(wèn)到所有數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)，極大提到了區(qū)間查詢效率。

非聚簇索

非聚簇索引就是指B+Tree的葉子節(jié)點(diǎn)上的data，并不是數(shù)據(jù)本身，而是數(shù)據(jù)存放的地址。主索引和輔助索引沒啥區(qū)別，只是主索引中的key一定得是唯一的。主要用在MyISAM存儲(chǔ)引擎中。非聚簇索引比聚簇索引多了一次讀取數(shù)據(jù)的IO操作，所以查找性能上會(huì)差。

為什么選用B+/-Tree## 為什么選用B+/-Tree

一般來(lái)說(shuō)，索引本身也很大，不可能全部存儲(chǔ)在內(nèi)存中，因此索引往往以索引文件的形式存儲(chǔ)的磁盤上。這樣的話，索引查找過(guò)程中就要產(chǎn)生磁盤I/O消耗，相對(duì)于內(nèi)存存取，I/O存取的消耗要高幾個(gè)數(shù)量級(jí)，所以評(píng)價(jià)一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)作為索引的優(yōu)劣最重要的指標(biāo)就是在查找過(guò)程中磁盤I/O操作次數(shù)的漸進(jìn)復(fù)雜度。換句話說(shuō)，索引的結(jié)構(gòu)組織要盡量減少查找過(guò)程中磁盤I/O的存取次數(shù)。

簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)說(shuō)內(nèi)存讀取，內(nèi)存是由一系列的存儲(chǔ)單元組成的，每個(gè)存儲(chǔ)單元存儲(chǔ)固定大小的數(shù)據(jù)，且有一個(gè)唯一地址。當(dāng)需要讀內(nèi)存時(shí)，將地址信號(hào)放到地址總線上傳給內(nèi)存，內(nèi)存解析信號(hào)并定位到存儲(chǔ)單元，然后把該存儲(chǔ)單元上的數(shù)據(jù)放到數(shù)據(jù)總線上，回傳。

寫內(nèi)存時(shí)，系統(tǒng)將要寫入的數(shù)據(jù)和單元地址分別放到數(shù)據(jù)總線和地址總線上，內(nèi)存讀取兩個(gè)總線的內(nèi)容，做相應(yīng)的寫操作。

內(nèi)存存取效率，跟次數(shù)有關(guān)，先讀取A數(shù)據(jù)還是后讀取A數(shù)據(jù)不會(huì)影響存取效率。而磁盤存取就不一樣了，磁盤I/O涉及機(jī)械操作。磁盤是由大小相同且同軸的圓形盤片組成，磁盤可以轉(zhuǎn)動(dòng)(各個(gè)磁盤須同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng))。磁盤的一側(cè)有磁頭支架，磁頭支架固定了一組磁頭，每個(gè)磁頭負(fù)責(zé)存取一個(gè)磁盤的內(nèi)容。磁頭不動(dòng)，磁盤轉(zhuǎn)動(dòng)，但磁臂可以前后動(dòng)，用于讀取不同磁道上的數(shù)據(jù)。磁道就是以盤片為中心劃分出來(lái)的一系列同心環(huán)(如圖標(biāo)紅那圈)。磁道又劃分為一個(gè)個(gè)小段，叫扇區(qū)，是磁盤的最小存儲(chǔ)單元。

磁盤讀取時(shí)，系統(tǒng)將數(shù)據(jù)邏輯地址傳給磁盤，磁盤的控制電路會(huì)解析出物理地址，即哪個(gè)磁道哪個(gè)扇區(qū)。于是磁頭需要前后移動(dòng)到對(duì)應(yīng)的磁道，消耗的時(shí)間叫尋道時(shí)間，然后磁盤旋轉(zhuǎn)將對(duì)應(yīng)的扇區(qū)轉(zhuǎn)到磁頭下，消耗的時(shí)間叫旋轉(zhuǎn)時(shí)間。所以，適當(dāng)?shù)牟僮黜樞蚝蛿?shù)據(jù)存放可以減少尋道時(shí)間和旋轉(zhuǎn)時(shí)間。
為了盡量減少I/O操作，磁盤讀取每次都會(huì)預(yù)讀，大小通常為頁(yè)的整數(shù)倍。即使只需要讀取一個(gè)字節(jié)，磁盤也會(huì)讀取一頁(yè)的數(shù)據(jù)(通常為4K)放入內(nèi)存，內(nèi)存與磁盤以頁(yè)為單位交換數(shù)據(jù)。因?yàn)榫植啃栽碚J(rèn)為，通常一個(gè)數(shù)據(jù)被用到，其附近的數(shù)據(jù)也會(huì)立馬被用到。

B-Tree：如果一次檢索需要訪問(wèn)4個(gè)節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)者利用磁盤預(yù)讀原理，把節(jié)點(diǎn)的大小設(shè)計(jì)為一個(gè)頁(yè)，那讀取一個(gè)節(jié)點(diǎn)只需要一次I/O操作，完成這次檢索操作，最多需要3次I/O(根節(jié)點(diǎn)常駐內(nèi)存)。數(shù)據(jù)記錄越小，每個(gè)節(jié)點(diǎn)存放的數(shù)據(jù)就越多，樹的高度也就越小，I/O操作就少了，檢索效率也就上去了。

B+Tree：非葉子節(jié)點(diǎn)只存key，大大滴減少了非葉子節(jié)點(diǎn)的大小，那么每個(gè)節(jié)點(diǎn)就可以存放更多的記錄，樹更矮了，I/O操作更少了。所以B+Tree擁有更好的性能。