什么是樹

樹是n(n>=0)個結點的有限集。n=0是代表是一棵空樹；

非空樹滿足的條件(n>0)

1、有且僅有一個根節點；
2、當n>1時，其余結點又可以再分為m個有限集，并且分出來的每個有限集本身也是一棵樹，稱作根的子樹。

樹的特征

1、樹是一種遞歸的數據結構；
2、樹也是一種分層的結構；
3、除了樹的根結點外，其余結點都有且僅有一個前驅結點；
4、樹中的所有結點可以有零個或多個后繼結點；

樹的一些概念

1、度

樹中一個結點的孩子結點個數的和稱為度；
樹中結點的最大度數稱為樹的度，即該樹是幾度樹，如果樹中結點的最大度數為m，則稱該樹為m度樹；
度為m的樹，指的是某棵樹中最大度數為m，即其不能為空樹，最少要有m+1個結點；
m叉樹，指的樹中不存在度大于m的樹，即可以小于m甚至沒有，即其可以為空樹，或者退化為鏈表；

2、分支和葉子

度大于零則稱為分支結點，度為零的則稱為葉子結點；

3、高度、深度和層數

層數：是從上往下數的，即樹根為第一層，以此類推；
高度：是從下往上數的，即最下面的葉子結點高度為1，以此類推；
深度：也是從上往下的一個概念；

4、森林

森林是多棵互不相交的樹組成的集合，加上一個根結點可變為樹，故樹與森林和相互轉化；

樹的性質

設樹的結點數為n，度為m，高度為h，樹的總度樹為k(總度樹其實就是邊的個數，因為一個度對應一條邊)，則有如下性質；
1、n -1 = k（樹的結點數減一等于該樹的總度數），因為除根外每個結點都只有唯一一個前驅即只有一個邊，于是n個結點有n個邊根結點沒有所以排除；
2、度為m的樹中，第i層最多有m^(i-1)個結點；
3、高度為h的m叉樹至多有(m^h - 1)/(m -1)個結點，計算方式就是根據2等比數列求和；
4、高度為h的度為m的樹至少有h+m-1個結點；
5、有n個結點的m叉樹的最小高度為[logm(n(m-1)+1)]，根據3取對數可得；

樹的存儲結構

雙親表示法

這種存儲方式是使用順序存儲的結構，在結點中又增加了一個用于存儲父結點的指針，即父結點在數組中的位置，根結點在數組中的位置為0，其父結點值設置為-1；

#define Max_Size 100
typedef struct TreeNode{
  ElemType data;
  int parentIndex;
} TreeNode;
typedef struct Tree{
  TreeNode nodes[Max_Size];
  int length;
} Tree; 

這種存儲方式的優點是查詢結點的雙親很方便；
缺點正好相反，查找孩子結點就比較麻煩需要遍歷這個數組；

孩子表示法

這種存儲方法是把順序表和鏈表結合在一起的存儲方法，這種存儲的思想也很重要；
這種存儲方式是，用數組順序存儲各個節點，每個結點中又多加一個用于存儲孩子結點鏈表頭的指針，即將各孩子在數據存儲的位置用鏈表串起來；

typedef struct LinkNode{
  int childIndex;
  struct LinkNode *next;
}
typedef struct TreeNode{
  ElemType data;
  struct TreeNode *firstChild;
} TreeNode;
typedef struct Tree {
  TreeNode nodes[Max_Size]; 
  int length;
}

這種方式方便尋找孩子結點，但是需要父結點時需要遍歷數組；

孩子兄弟表示法

這種存儲方法又稱為二叉樹表示法，是用鏈表表示的存儲方法；
該存儲方法包含三個字段即，結點值、指向第一個孩子結點的指針(左孩子)、右指針指向兄弟結點；

typedef struct TreeNode {
  ElemType data;
  struct TreeNode *firstChild, *nextSibling;
} TreeNode, *Tree;

這種存儲方法最大的優勢就是，將我們不太熟悉的樹結構，轉化為熟悉的二叉樹結構；
而且查詢孩子結點是很方便的，缺點是不容易查找其父結點；