立體幾何

一、長方體

1.長方體

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設(shè)3條相鄰的棱長分別是a,b,c
體積：V=abc（底面積??高）
全面積：F=2(ab+bc+ac)
體對(duì)角線：d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱
棱長和：4(a+b+c)

棱長和，體對(duì)角線，全面積的關(guān)系：
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
(\frac{C_棱}{4})^2=體對(duì)角線^2+全面積

長方體外接球半徑
R_外=\frac{l_{體對(duì)角線}}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}

2.正方體

設(shè)棱長是a.
體積：V=a^3（底面積??高）
全面積：F=6a^2
體對(duì)角線：d=\sqrt{3}a

6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱
棱長和：12a

正方體外接球半徑
R_外=\frac{l_{體對(duì)角線}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}

正方體內(nèi)切球半徑
R_內(nèi)=\frac{a}{2}

只有一個(gè)核心參數(shù)的空間體才有內(nèi)切球

二、柱體

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1.柱體的一般公式

無論是圓柱還是棱柱， 側(cè)面展開圖均為矩形， 其中一邊長為底面的周長， 另一邊長為柱體的高.

側(cè)面積： S = 底面周長·高(展開矩形的面積)
體積：V=底面積·高

2.圓柱的公式

設(shè)高為h ，底面半徑為r
體積：V=\pi r^2h
側(cè)面積：S=2\pi rh（其側(cè)面展開圖為一個(gè)長為2\pi r,寬為h的長方形）
全面積：F=S_側(cè)+2S_底=2\pi rh+2\pi r^2

圓柱外接球半徑：\frac{\sqrt{d^2+h^2}}{2}

\frac{1}{r}+\frac{1}{h}=\frac{F}{2V}

\frac{F}{2V}=\frac{2\pi rh+2\pi r^2}{2\pi rh}=\frac{h+r}{rh}=\frac{r}{rh}+\frac{h}{rh}=\frac{1}{r}+\frac{1}{h}

3.等邊圓柱

2r=h
軸截面為正方形的圓柱為等邊圓柱（底邊周長和高相等）
圓柱外接球半徑：\frac{\sqrt{2}}{2}d=\sqrt{2}r
內(nèi)切球半徑=底面半徑：r=\frac{1}{2}h

三、球體

1.體積和表面積

設(shè)球的半徑為r
體積：\frac{4}{3}\pi r^3
表面積：S=4\pi r^2

半球體積：\frac{2}{3}\pi r^3
半球表面積：S=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2

2.球的截面

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球心與截面圓心的連線垂直于截面， 設(shè)球心到截面的距離為d ， 球的半徑為R,截面的半徑為r， 則有r^2+d^2= R^2

3.外接球和內(nèi)切球

設(shè)圓柱底面半徑為r， 球半徑為R，圓柱的高為h

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關(guān)系是相互的， 可以說正方體的外接球， 也可以說球的內(nèi)接正方體， 其實(shí)質(zhì)是
一樣的

等邊圓柱的體積和它的內(nèi)切球的體積之比為3:2
等邊圓柱的表面積與他內(nèi)切球的表面積之比為3:2

涂漆問題
棱長為n的正方體涂漆，切割為棱長為1的，總個(gè)數(shù)：n^3個(gè)

  • 三面有漆：8 頂點(diǎn)
  • 兩面有漆：12(n-2) 棱中
  • 一面有漆：6(n-2)^2 面中
  • 無漆：(n-2)^3 體中

摳挖問題
根據(jù)摳挖位置進(jìn)行分類:

  • 頂點(diǎn)摳控：將外部三個(gè)面去掉，露出內(nèi)部三個(gè)面，此時(shí)表面積不變
  • 棱中摳挖：將外部兩個(gè)面去掉，露出內(nèi)部四個(gè)面，此時(shí)表面積會(huì)增加2個(gè)摳挖面
  • 面中報(bào)挖：將外部一個(gè)面去掉，露出內(nèi)部五個(gè)面，此時(shí)表面積會(huì)增加4個(gè)摳挖面

四、椎體

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