0 、前言
紅黑樹是軟件工程中非常重要的數據結構，在很多的工程領域都有它的身影，比如java的treemap、linkedhashmap，linux內核、linux的高并發多路復用利器epoll的核心數據結構就是紅黑樹；然而這個數據結構卻不是那么容易理解，特別是網絡上缺少對紅黑樹本質的分析，一般都是自底向上的來講述，非常tricky，往往看了一段就不知所云，最后放棄了。但是，紅黑樹真的沒這么復雜，本文從自頂向下的方式來解構紅黑樹，爭取寫一篇能持續看下去，最后達到能夠手寫（手畫）一棵紅黑樹出來的目的。
本文沒有代碼，全是圖解，請放心閱讀
1、什么是紅黑樹
紅黑樹是查找表（符號表）數據結構群中的一員，這群數據結構主要的功能是維護一組key-value鍵值對，并通過增刪查改等操作對其進行操作。比如：hash表、二分查找表、BST、2-3樹，跳表、紅黑樹都是這些數據結構的一員。
2、紅黑樹有啥用？
在眾多查找表中，可以說紅黑樹是最穩定（增刪查改都是O(logn)的復雜度），動態增刪性能最好（Ologn），編碼最容易的一種實現（奇怪吧，hashtable不是都是O(1)么？）。
hash表不是查找，插入都是O(1)么，怎么紅黑樹會是綜合性能最好的？這就要說到工程特性了。一個技術從科學研究到工程實踐可行是有一個鴻溝的，而hash表就是這個悖論的典型例子。雖然容易理解，但是hashtable并不容易實現，而且它的效率并不穩定，原因有以下兩個：
1、惱人的最差性能，其實hashtable最差的效率是O(n)，就是在沖突不斷增加的時候，性能會急劇下降；這時需要做非常tricky的補救措施；
2、這個補救措施就是rehashing，簡單來講就是將這個數組重新搬到大一倍的空間中，然后重新算hash映射，除此之外沒別的辦法。這個過程耗時耗力，耗盡了hashtable的好印象。在這個過程中還會出線程同步問題，而且編碼難度極大？比如，如果在多線程環境下，對線程不安全版本的hashtable做頻繁的新增操作會死鎖（親測這個死鎖幾乎7 80%會出現），具體的原因，主要是rehashing的時候開鏈發對鏈表新增節點時的同步問題；
3、而且在java中，hashmap其實在鏈表的數量大于8時，會將鏈表轉成紅黑樹來加快查詢。
紅黑樹的穩定性與動態維護超大數據量kv表的能力使它成為互聯網應用的重要數據結構，對于一個10億規模的數據量，最多也只要查30多次就能找到你想要的key-value pair。而且對于很多linux內核的代碼中也是大量使用紅黑樹來保持插入與查詢的穩定性。
3、解構紅黑樹
既然，紅黑樹這么重要，對于有追求的碼農應該有必要了解它的原理。
但是遺憾的是，網絡上對紅黑樹的解讀大都比較難懂，大部分的解釋都是來自一本神書《算法導論》，這也是萬惡之源：
1、這本書并不是面向程序員的，別被導論這兩個字迷惑，這個導論可能是對于計算機科學家來說的吧~
2、這個書中所描述的紅黑樹定義是結論型的，也就是假設你對BST樹、2-3樹都很熟悉的情況下得出的結論，比如《導論》中對紅黑樹的定義是：
? ? 1.節點是紅色或黑色。
? ? 2.根節點是黑色。
? ? 3.每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL節點）。
? ? 4 每個紅色節點的兩個子節點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色節點)
? ? 5.從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。
很多人，包括我也疑惑很多年，這是啥？好好的數據結構，咋還要染色？為啥是紅黑，黑白可以嗎？為啥會制定這么復雜的規則？這么復雜的規則是怎么得出來的？
后來看了《算法》這本面向程序員的算法書后才霍然開朗，這里我試著將這本書對紅黑樹的闡述總結一下。
3.1 還是得先講講BST
BST（Binary Search Tree）是二叉查找樹的簡稱，其實很簡單。大概的意思如下圖：
1、樹左邊的都比根??；
2、右邊都比根大；
3、將規則遞歸到所有節點，就得到一顆BST。
細心的你會發現BST有個”bug“，在插入的時候，如果是按照升序插入，那么就是一個鏈表了那么這時的查詢也從O(logn)退化到了O(n).
所以可以推斷，一顆好的查找樹一定是平衡的，而且最好是完美平衡的（任何節點的左右子樹深度都相等），因為這樣它的查詢操作就會穩定到O(logn)——也就是樹的高度了。畢竟，在工程領域最重要的準則就是——穩定壓倒一切！
3.2、2-3 tree
那么主角2-3 tree就登場了，為啥2-3樹是主角？劇透一下，因為紅黑樹本質就是2-3tree，而且”紅“就是2-3樹中的3節點，”黑“就是2節點。下面詳細講解。
2-3 tree的定義其實很簡單:
1、2-3tree是BST的一種，繼承所有BST的特點；
2、整棵樹由2-node與3-node組成；
3、2-node就是包含一個key節點，兩個左右子樹鏈接（對應BST中的普通節點），3-node就是包含2個key，同時包含3個子樹鏈接的節點，就是3叉樹節點；
4、2-3樹是完美平衡的。
有圖更好理解：
可以看出來，2-node就是二叉樹普通節點，3-node就是三叉樹的普通節點。那么2-3 tree是由2-node與3-node組成的完美平衡的搜索樹，通俗的講就是，這棵樹中根節點的左右子樹中2-3 node高度始終都一樣高。
怎么保持樹的完美平衡呢？
我們通過例子看看插入的規則，我們以順序插入1-10來作為例子，先不講規則，我們看看例子，然后總結出規則，我們以依次向2-3 tree中插入1-10個數字的例子來演示。
1、插入1，只有一個節點，簡單：
2、插入2
3、插入3
這里說明下，2-3樹在插入過程中會臨時形成4-node（也就是有3個key，4個子樹的node），而這時，4-node要馬上分解成3個2-node。
4、插入4
5、插入5
插入5的時候比較復雜，臨時的4-node會分解成3個2-nodes，這時會導致樹不平衡，右邊子樹高度+1，那么需要將3個2-node的中間節點向上融合（調平的重要步驟）。
6、插入6
7、插入7
可以看出插入7的結果會不斷將臨時4-node分裂成3個2-node，并向上傳遞，最后會使樹的高度增加1，但是整個樹是完美平衡的。
8、插入8
9、插入9
10、插入10
好了，畫完了，樹中2-3節點完美平衡。找到規律了么？沒有的話，我總結下：
1、在2-node中插入新節點，形成3-node，不破壞樹的平衡，done；
2、在3-node中插入新節點分為3步：
? ? 2.1、形成新的臨時4-node；
? ? 2.2、將4-node分解成3個2-node；
? ? 2.3、如果樹不平衡，就將中間節點向上融合，重新遞歸1、2、兩個步驟，直到樹平衡。
看懂了么？是不是很簡單，如果沒有，就再看看上面的圖解吧~
3.3 重新發明紅黑樹
您可能會問，2-3 tree已經很完美了，不管怎么插入數據，只要根據"兩個"簡單的規則就能維持一個樹的完美平衡，為啥還要發明紅黑樹呢？
原因很簡單，工程實現難度！又是工程的實現難度！說白了就是容易出bug……
跟hashmap一樣，實現一個工程可用的2-3tree是比較困難的（觀點來自于《算法》沒有親測）：
1、樹中間包含3種節點，相比BST來說意味著更多的判斷，比如，從4-node，分裂成3個2-node，從2-node合并成3-node等等；情況多，編碼復雜；
2、各種node的節點在互相轉變的過程中需要拷貝的信息也比較多，比如3-node可以有3個子樹，2-node有2個，那么融合的時候情況較多，不能直接向BST一樣統一處理，算法實現要處理的情況太多，容易出bug；
3、代碼不能重用（BST的代碼不能重用）。
但是我覺得最重要的是2-3 tree原理完美，但是結構不完美。一個完美的數據結構一定是原理與結構都是統一的、樸素簡單的。2-3 tree更像一個通向最終答案的中間解，只要把中間的3-node與4-node這些tricky的node想辦法變換成2-node就結構也統一完美了；那么BST的很多代碼就可以稍微修改一下就可以重用了（特別是刪除節點的代碼~）。
怎么統一呢？
方法其實也很簡單、直接，我們只要將2-3 tree在結構上對齊BST，在保持平衡的原理上維持現狀不就行了？也就是西瓜芝麻都一起抓——去掉2-3 tree中的3-node。
3.3.1 去掉3-node
怎么去掉3-node？很簡單，真的很簡單，還是看圖說話：
就是把3-node拉直就行了！
更一般化的形式為
但是，左子樹的高度加了1，那么結構的算法特性有沒有發生改變呢？
其實沒有，因為你依然可以把”4-7“這個紅色標記的鏈接看做是一個3-node，那么它的搜索特性就沒有變化。本質來講，當我們在2-3 tree里面做搜索的時候，當我們碰到3-node的時候，其實就相當于在節點內部要比2-node多做一次比較，拉直了相當于把這個多出來的比較形式化成了一條鏈接，計算量是沒有變化的。
所以紅黑樹跟2-3 tree是完全等價的！或者說通過把2-3 tree中的3-node拉直而形成的BST樹就是——紅黑樹！
書中的例子，更加清楚：
3.3.2 定義的解析
3.3.2.1 一些前提與說明
之前我們只是把邊涂成紅色，但是BST是沒有邊的定義的，所以這個顏色只能記錄在節點的數據結構中，所以我們把從父節點到子節點的紅邊會存儲在子節點中——將子節點涂成紅色，構成紅色節點，其他的自然都是黑色節點。
對于網上比較常見的一個紅黑樹例子：
細心的讀者會發現，這個根本不是一個2-3 tree，但是確實是紅黑樹，這是怎么回事？
因為紅黑樹定義有不同，相同節點的紅黑樹會根據定義不同產生不同的紅黑節點數量，如果直接從2-3tree轉的紅黑樹可能跟以上5條定義獲得的紅黑樹稍有不同，但是他們都是紅黑樹。
再來看看經典紅黑樹的定義《導論》中的定義（針對的是節點顏色）：
?1.節點是紅色或黑色。（貌似是廢話，難道對于紅黑樹還有第三種顏色？）
? ? 2.根節點是黑色。（沒啥用）
? ? 3.每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL節點）。
? ? 4 每個紅色節點的兩個子節點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色節點)
? ? 5.從任一節點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色節點。
再看看《算法》中的定義（針對的是線的顏色）：
?1、紅色的線永遠是左側鏈接；（強行的規定）
? 2、沒有一個節點同時鏈了兩條紅色的線；（也就是沒有3-node）
? 3、任何從根到葉子節點的路徑上有相同顏色的黑線。
可以看出定義是完全不同的（一個針對節點顏色，一個針對線的顏色——而線的顏色存在node中，所以還是紅黑樹），但是都能構成一棵紅黑樹。
而我們的解析是采用《算法》中的，因為它跟2-3 tree一一對應，很好理解。而《導論》中的定義是經過2-3 tree，2-3-4 tree的抽象總結出來的非常通用抽象的解析，其經過很多思維迭代后的結果，所以很抽象，但是本質來說他們是一回事，是可以通過有限次推導（reduction）互相轉換的。
那么下面我們對網上的例子做些轉換，將它化簡成一個2-3 tree的原型：
轉換得到的依然是紅黑樹。
3.3.3 一步步構建紅黑樹
還是通過依次插入1-10，用《算法》中講述的紅黑線試圖來解析。
1、插入1
很簡單……
2、插入2
rule1：插入的新節點跟父節點用red線連接
3、插入3
rule2：一個節點不能有兩個紅線相連（不是父子），否則就要通過旋轉將中間節點移動成父節點。
rule3：如果一個節點父子都是紅線相連，則需要翻轉顏色，并把父節點與祖父節點的鏈接變成紅色（也就是2-3 tree中分解4-node的時候，3個2-node中間的那個向上傳遞的過程）。
所以，可見紅黑樹中的翻轉其本質就是將4-node分解成3個2-node，并將中間節點與父節點融合的過程。
4、插入4
插入4，很簡單，紅線相連即可，因為每條路徑黑線數目一樣。
5、插入5
6、插入6
此時可以跟2-3 tree插入到6的圖比較下，其實可以找到規律:->
是不是紅色線跟3-node一一對應？
7、插入7
可以發現2-3 tree插入7也是4步，跟紅黑樹的旋轉變色的過程一一對應。
8、插入8
9、插入9
10、插入10
完畢，這就是一個以邊為視角的插入過程，只需要將邊的顏色信息存儲到節點中就可以得到一棵紅黑樹：
總結下2-3tree與紅黑樹的操作對應：
1、2-3 tree中的4-node分裂成3個2-node，并讓中間節點上移；等價于紅黑樹中的左右旋轉；
2、2-3tree中間節點上移與父節點融合過程；等價于紅黑樹中的反色操作。
是不是很好理解了？
3.4 后續的操作
紅黑樹的插入操作我們解構完了，我們還剩下一個比較復雜的刪除操作。這個操作其實是使用BST的標準刪除操作，一個比較標準的算法是，將要刪除節點的右子樹中的最小值（或者左子樹中最大值）替換掉當前刪除的節點，當然針對不同的情況需要做些判斷。而且在工程領域，也會引入隨機的刪除左右子樹中的最大最小交替的方式，來完成刪除，以至于不會使得樹的稀疏度差異太大，從而降低搜索效率那是另一個范疇的事情了。
4、總結
紅黑樹是一個非常重要的，而且在工程中常用的數據結構。比如jvm的hashmap，linux中還為紅黑樹單獨建立了數據結構對象（linux內核源碼的lib/rbtree.c文件）因為在linux內核中的進程調度，虛擬內存管理等操作頻繁而且性能critical的地方都會使用紅黑樹；另外在linux的epoll多路復用的模型中，核心數據結構就是紅黑樹。那么為什么紅黑樹這么好，一句話：
1、動態插入、刪除、查找都是O(logn)，而且只要內存足夠，性能穩定在這個數量級上；
2、工程上好實現，編碼簡單。
