以前在學分析力學的時候，有一個問題就一直很困擾我，那就是拉格朗日定律——拉氏量的變分為0的路徑，對應的就是經典物理中真實可能發生的路徑。用數學公式來說，就是這樣的：
能讓這個式子成立的路徑l，必然是真實物理可能發生的路徑。
當我們在已經知道牛頓力學的情況下，要反推這個定律是很容易的，這也是分析力學的入門問題。
但，有一個問題卻在分析力學漸漸深入后逐漸浮出了水面——如果說我們一開始就不知道牛頓力學的話，到底如何才能確保分析力學中的這個基本原理是正確無誤的？
換言之，到底為何會有這個變分為零的結論呢？
我們當然可以將其視為整個理論體系的基本假設，但這個基本假設本身卻有點讓人摸不著頭腦，仿佛憑空出現的鬼物一般。
尤其是這里的拉氏量L是動能與勢能的差，而我們平時所習慣討論的總能量則是這兩者的合，在分析力學中是哈密頓量而非拉氏量，所以拉氏量變分為零沒法很直觀地對應到我們習以為常的能量問題上來——雖然這種對應總是可以想辦法做的。
這個問題本身屬于非常鉆牛角尖的問題，因為事實上我們都知道，我們完全可以從牛頓定律來推拉格朗日定律，然后就會發現這貨一點問題都沒有。
所以，下面的內容基本就是以鉆牛角尖為出發點而來的。
讓我們來看一個截然不同的問題——什么是量子效應？
量子這個名字本身就是帶有一定的傾向性的，因為所謂“量子”，當然就是一份一份的東西了。
這個名字的選取當然是完全符合物理史的發展的，可在某種程度上來說卻是帶有欺騙性的。
比如說，當我們選擇以路徑積分與退相干的觀點來看待整個量子理論大廈的時候，你會發現這個“一份一份”的量子實在不是一個好的出發點，因為在路徑積分與退相干的角度來看，量子物理壓根不是一份份的，而是全部都連在一起的一大坨曲線，甚至于本來經典物理認為應該斷開的地方，在量子物理看來還是連在一起的。
我們在歷史上所看到的“一份一份”的量子不過是這個不斷連續連續再連續的線團在一定的周期性條件下所偶然展現出的非常面，遠不是它的廬山真面目。
讓我們來看一下，最基本的路徑積分，大約是這個樣子的（點粒子的量子力學為例）：
這個式子中，最外面的積分是泛函積分，對被積的泛函做積分，積分范圍是所有可能的路徑（不管是否在經典物理的視野下是否可能存在），滿足給定的初態與末態，被積變量就是這路徑。而泛函就是這被積變量路徑的泛函，也就是這條路徑對應的拉氏量乘上一個i（這是自然單位制下，寫全的話就還有一個約化普朗克常數分母），作為冪指數。
這東西可以看作是一個由所有可能的路徑構成的系宗，而路徑積分就是這個系宗的配分函數，從而本質上又是一個統計力學的問題，只不過現在是在時空整體上做系宗分析，而且和傳統的系宗分析相比多了那個冪指數系數i。
我們可以分析一下這個泛函積分，做一個泰勒展開：
其中，第二項在泛函積分下基本為零，關鍵是系數為負的第三項，當相對頭頂帶杠的L的擾動帶來的拉氏量該變量不為零的時候，這一項就會飛快地衰減——事實上，由于這里還有一個普朗克常數為分母的系數（自然單位制下恒為１，所以式子里看不到），所以實際上這一項的衰減作用是非常非常強的，只要略有一點點的擾動，就會立刻將整個泛函積分的被積函數給衰減掉。
因此，最后我們發現，這個泛函積分實際上可以看作是在頭頂帶杠的L周圍的一個很小的區域（范圍由普朗克常數決定）內的路徑的積分給出，從而并非整個路徑空間的所有路徑都有貢獻。
而，這里頭頂帶杠的L是什么呢？當然就是讓拉氏量的變分為零的路徑對應的拉氏量密度啦。
也就是說，在路徑積分的視角下，只有那些與經典路徑相差足夠小的路徑，才對最后的積分結果有貢獻，除此之外的別的路徑雖然參與積分，但實際上可以認為沒有貢獻，都衰減掉了。
也因此，我們實際上就得到了這么一個粗略的結論：
只要量子力學的路徑積分表示方案是成立的，那么拉格朗日定律就是其自然推論，在普朗克常數可以視為零這一經典極限下。
這其實也是學路徑積分的時候最基本的入門內容。
因此，現在我們大致已經可以明確，經典的分析力學不過就是量子過程的一個極限近似，那么我們自然要問下一個問題：這個路徑積分中的被積泛函拉氏量，到底是一個什么東西呢？
在經典視野下，這個東西大概還是非常形而上的：我們就是這么定義拉氏量的。
這個答案本質上來說，并沒有回答問題。
所以，現在讓我們接著換一個思路。
在相對論的世界中，自由粒子的拉氏量是一個很好定義的東西：連接起始時空點與末態時空點的世界線的長度，乘上它的質量。
即便考慮上規范場，這貨的定義也不難：拉氏量就是世界線長度加上內秉空間中態矢移動的長度乘上它的質量。
如果我們采用String的觀點，那么規范場的內秉纖維空間也不過就是蜷縮維，從而還是 一個世界線長度問題，只不過現在這個長度還包括了在蜷縮維上的位移乘上它的質量。
或者我們采用Finsler的觀點，那么規范場導致的也不過是度量函數的形變，因此說到底還是一個長度問題。
OK，說這么多其實就是想說：在相對論為開端的幾何綱領的世界觀里，粒子的拉氏量的定義是很容易的，就算考慮上相互作用，也不過是一個世界線長度的問題。
既然定義這么好，那么我們自然要考慮這貨如果做一個量子化，也就是做一個路徑積分，會得到什么結果了。
對于自由粒子來說，它的作用量就是最基本的閔氏空間上的世界線長度乘上它的質量。對于這貨的路徑積分，是一個比較糟心的問題。
我們比較熟悉的較成功的路徑積分的案例，是對于非相對論情況下的自由點粒子的路徑積分，這個是所有路徑積分教材中的入門案例，我們可以對這種情況下的點粒子做路徑積分得到經典的非相對論性薛定諤方程。
但同樣的方案如果用來考慮相對論性自由點粒子，這事就糟心了，因為會出現不可調和的發散。
當然啦，我們可以非常“技巧性”地（數學家可能會說這是毫無道理的欺詐）使用Wick轉動，將問題切換到四維歐氏空間而非四維閔氏空間上來做，這個時候這個路徑積分的結果可以寫為Klein-Gorden方程：
接著我們可以很任性地認為在將結果通過Wick轉動從四維歐式空間轉回四維閔氏空間后，結果是不變的（是不是非常任性？數學家們應該又要吐血了）。
這樣，我們就得到了標量粒子的相對論性薛定諤方程。
因此，這就是說，對于拉氏量的路徑積分，在經典極限下給出了分析力學，而在非極限近似下則可以給出薛定諤方程。
當然，這僅僅是一個框架罷了。我們并不知道加上各種勢能或者說各種相互作用下，情況是否還會如此簡單明了。同時我們也并不清楚帶有自旋的二分之一自旋粒子的薛定諤方程，即Dirac方程，又應該如何獲得。
當然，至少到目前還不清楚。
如果繼續在這個框架下開腦洞的話，那么下面就是如何從對于點粒子的量子力學過度到對于點粒子的場的量子場論的問題。
在上面的結果中，我們看到相對論性的自由點粒子在路徑積分下自然得到了Klein-Gorden方程，從而其概率分布可以被視為一個量子場。
這個量子場在本質上，不過是自由點粒子從給定的初態演化的給定的末態的幾率幅的分布罷了。
那么，讓我們來考慮這么一個問題：如果現在不是一個自由點粒子，而是一大波可以憑空產生與消失的自由點粒子共同出現在時空中，那么會發生什么？
換言之，我們假定存在一個機制，可以在時空的某個局部產生一個上述點粒子，同時也可以在時空某一點消除掉一個上述點粒子，那么在存在這樣的產生－湮滅機制的情況下，時空中的這種點粒子的分布，應該如何描述？
既然產生與湮滅是定域地發生的，只發生在某個確定的時空點上，那么我們可以認為，在一個點粒子從被產生到被湮滅這段時間內，都可以用上面得到的從確定的初態演化到確定的末態的量子場來描述。
同時，我們又知道，至少就實際來說，宏觀上的粒子不可能憑空消失與出現，因此這里我們所給出的這種產生－湮滅機制至少在全局來看是平衡的，即有多少粒子產生，就有多少粒子湮滅，產生與湮滅是成對的。
這么一來，上述問題就轉變成這么一個問題：整個時空中，我們知道n個確定的粒子的初態與末態，以及不知道多少個粒子產生湮滅對，同時所有鏈接這些初態、末態、產生與湮滅的過程都符合自由點粒子的描述，從而都是上面所描述的量子場的，因此整個時空中粒子的分布可以看作是所有這些初末態與產生湮滅對的量子場的疊加效應，求這個總效應。
如果我們將一個場疊加的方式看作是一種“構型”，那么上述“總效應”就是所有滿足初態與末態的構型的疊加——而這個就和最開始這個量子場的誕生中的“所有可能的路徑的疊加”是很相似的了。
因此，場論中的場可以視為“所有可能的粒子產生湮滅過程疊加下的概率場”，而概率場又可以看作是“所有可能的運動路徑疊加下的總效應”，因此場論中的場就是“所有可能的產生湮滅過程下所有可能的運動路徑下的總效應”。
從這個思路來考慮量子場論，總感覺有點太兒戲了。。。
當然，疊加也是有要求的。第一次路徑積分中的疊加要求初末態符合條件即可，而第二次構型積分中的疊加則首先要求構型可加，即存在一個構型空間它同構于希爾伯特空間，然后再要求初末態符合條件。
到這里，基本上可以說腦洞已經開得很大了。
最后，讓我們接著來開一個更加瘋狂且不著邊際的腦洞：加入我們所面對的不是點粒子，又將如何？
上面的整個過程，無非三步：
- 找出運動軌跡對應的拉氏量；
- 對拉氏量為冪指數的泛函做路徑積分，得到所有可能運動疊加下的描述對象在時空中分布的幾率場；
- 對上述幾率場做構型積分，得到所有可能的產生湮滅過程下的總分布結果，就是量子場。
而，對于點粒子來說，第一步中的拉氏量就是其長度乘上質量，簡單明了。
那么，對于非點粒子，比如“線粒子”來說，這個拉氏量又是什么呢？
按照幾何綱領做一個恰當的外推，俗稱瞎猜，自然可以相信（猜測），線粒子的拉氏量就是其世界葉的面積乘上其質量。
點粒子在時空中的運動軌跡是一條線，而線粒子的運動軌跡自然就是一條線段在時空中掃過的曲面了。
表征一張曲面的幾何量，最直接的當然就是其面積了，這貨對應的就是String理論中的南部作用量。
但，一般來說，一個曲面的幾何量除了面積還會有別的，比如總曲率——曲面每一點上都有曲率，這個曲率在整張曲面上的積分，當然也是一個表征曲面的重要作用量了。
事實上，這個曲率又可以分為外曲率與內秉曲率。外曲率是曲面在所嵌入的時空中的法向量的變化程度，而內秉曲率就是我們在廣義相對論中所熟悉的Ricci張量與Ricci標量。
二維情況下，如果我們不考慮外曲率，內秉曲率會得到一些比較Trivial的東西（二維愛因斯坦張量恒為零），所以不考慮也罷，但是在更高維，按照上述思路，我們自然可以到一個幾何對象的作用量應該具有如下形式：
其中m表示這個幾何對象的“質量”，R就是Ricci標量，g是相應的作用量強度參數，K是外曲率標量，h是相應的作用量強度，而最后一個則是幾何對象的體元。
從形式上看，這貨就是廣義相對論的結果——只不過這里宇宙學常數Gamma被替換為了質量項m，然后將所有外曲率項都忽略——因為如果我們考慮嵌入的時空這個背景，那么它當然不嵌入在任何對象內（時空之外無時空），那么也就自然沒有外曲率了。當然當我們考慮膜宇宙理論的時候，外曲率自然就又回到了視野里，這是美女教授Randull所打開的一個全新的時空觀大門。
這個形式的拉氏量，在幾何上非常容易理解——第一項給出的是面積，第二項給出的是總內秉彎曲程度，第三項給出的是總外顯彎曲程度，從而整體的意義很直接：拉氏量等于幾何體的總面積（高維的）加上總彎曲程度，前者可以看作是內秉的屬性，后者可以看作是在相互作用下應變而來的屬性，意義直觀明確。
只不過，現在有一個問題，對于第一項我們基本上可以給出線性的表達（二維時的南部作用量可以表達成很線性的形式），但第二項則是非常非線性的，我們基本上沒法得到線性的表示。
沒有線性的表示意味著什么？意味著我們不知道如何去做疊加，從而上述三部曲中的第三步甚至第二步就沒法做到了。
但是，原則上說，對于任意d維幾何體，我們都可以通過對上述拉氏量的路徑積分來得到其從初態演化到末態的概率分布，從而考慮上所有可能的產生湮滅情況，對這個分布做一個加權統計，那么自然就得到了最終的d維幾何體的量子場，而所有的相互作用都體現在所有這些幾何體的體積與曲率中（無論是纖維叢還是額外維還是Finsler度量）。
這個圖景本身是非常美好的，只不過，就實際上來說，這貨幾乎是注定不成立的，因為沒法算。。。
當然，如果你愿意，上述所說的幾何作用量還有很多別的東西可以加，比如Gauss-Bonnet項……
上面這個基本上算是腦洞，一個美好的愿景。
個人嘗試制作過的是利用這套方案來構造電磁場的Finsler拉氏量——這里有過三種不同的方案，其中個人最喜歡的方案即使完全通過路徑積分的手段來構造電磁場的Finsler拉氏量，然后你會發現明顯的特殊空間方向，這個方向上經典電磁場發散。但這項工作沒法繼續下去，因為在要在這個極度扭曲的非線性的東西上構造量子場實在是不可能。
接著也嘗試過Finsler化的時空上的弦的南部作用量，不過這貨就徹底沒法線性化了所以這個計算也是沒法完成。
基本上在這個框架下如果膽敢不自量力地將相互作用不解釋為纖維叢而解釋為Finsler度量，那就是死路一條——當然這條路更多的是計算上的無以為繼。
所以說，一個美好的愿景往往不表示美好的結果啊。。。
今天的嘮嗑就嘮到這里，歐耶，估計以后就真的沒人看了。
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