二維幾何變換（待補）

1. 平移

二維觀察流水線

二維觀察流水線.PNG

C代表coordinate
建模坐標系-> 世界坐標系-> 觀察坐標系->設備坐標系

裁剪

點的裁剪

直接判斷是否在窗口內部即可

直線段的裁剪

基本思想：對每條直線段p1(x1,y1) p2(x2,y2)分三種情況處理：
(1) 直線段完全可見，“取”之。
(2) 直線段顯然不可見，“棄”之。
(3) 直線段既不滿足“取”的條件，也不滿足“棄”的條件，需要對直線段按交點進行分段，分段后重復上述處理。

編碼：對于任一端點(x,y)，根據其坐標所在的區域，賦予一個4位的二進制碼D3D2D1D0。
編碼規則如下：
若x<xL，則D0=1，否則D0=0；
若x>xR，則D1=1，否則D1=0；
若y<yB，則D2=1，否則D2=0；
若y>yT，則D3=1，否則D3=0。

編碼.PNG

裁剪一條線段時，先求出端點p1和p2的編碼code1和code2：
(1)若code1 | code2 = 0，對直線段應取之
(2)若code1 & code2 != 0，對直線段可棄之
(3)若上述兩條件均不成立。則需求出直線段與窗口邊界的交點。在交點處把線段一分為二，其中必有一段完全在窗口外，可以棄之。再對另一段重復進行上述處理，直到該線段完全被舍棄或者找到位于窗口內的一段線段為止。

(1) 輸入直線段的兩端點坐標：p1(x1, y1)、p2(x2, y2)，以及窗口的四條邊界坐標：yT、yB、xL和xR。
(2) 對p1、p2進行編碼：點p1的編碼為code1，點p2的編碼為code2。
(3) 若code1 | code2=0，對直線段應簡取之，轉(6)；
否則，若code1 & code2 != 0，對直線段可簡棄之，轉(7)；當上述兩條均不滿足時，進行步驟(4)。
(4) 確保p1在窗口外部：若p1在窗口內，則交換p1和p2的坐標值和編碼。
(5) 按左、右、上、下的順序求出直線段與窗口邊界的交點，并用該交點的坐標值替換p1的坐標值。也即在交點s處把線段一分為二，并去掉p1s這一段。考慮到p1是窗口外的一點，因此可以去掉p1s, 轉(2)
(6) 用直線掃描轉換算法繪制當前的直線段p1p2。
(7) 算法結束。

三維觀察流水線

三維觀察流水線.PNG

三維觀察流水線2.PNG

觀察變換

變換過程：

1. 原點到視點的平移變換
2. 繞z1軸的旋轉變換
3. 繞x2軸的旋轉變換

4. 關于y3O3z3面的反射變換

   
   

投影變換

平行投影： 正投影 斜投影

正投影&&斜投影.PNG

正投影：三視圖 && 正軸測圖

主視圖

俯視圖.PNG

正軸測投影.PNG

透視投影

透視投影.PNG

一點透視

二點透視.PNG

三點透視.PNG

三維實體表示基礎

點：最基本的零維幾何元素 (x,y,z)
邊：一維幾何元素 一條邊由兩個端點表示 折現一般用頂點序列來表示
面：二維幾何元素
環：由有向邊順序組成的面的邊界
體：三維幾何元素，由封閉的表面圍成的空間。

幾何信息：用來描述物體的位置和大小
拓撲信息：用來描述點，棱邊及面片之間的鄰接關系，具體表現為棱邊及面片的數據結構。

一個有效的實體有如下性質

1. 剛性
2. 具有封閉的邊界
3. 內部連通
4. 占據有限的空間
5. 經過集合運算后仍然是有效的實體

實體模型是最完善的模型定義，它能夠表達全部的形狀信息，如物體位置、面積、長度、體積、拓撲關聯等，同時也定義了物體的并、交、差集合運算和歐拉運算等。

三維實體表示方法

邊界表示

通過描述實體的邊界來表示實體。

判斷實體是否合法： 邊界的每條鄰邊必須要有兩個已知坐標的端點。 每條邊只能被兩個面共享。 每個頂點至少被三個面或三個邊共享。

優點：能顯式地表示形體邊界，繪制時能快速計算法向和光照效果，算法簡單。 便于局部幾何變換。 便于多個形體做并，交，差運算。 可利用歐拉公式來判斷有效正則性。

歐拉公式 V-E+F = 2 V頂點數，E邊數，F面數。（對于簡單多面體）

非簡單多面體 V-E + F- H = 2(C- G) H形體表面的孔數 G 穿透多面體的洞數 C 獨立不相連的多面體數

常用的數據結構

class Point
{
    int id;  //頂點編號，有時可以不要該成員
    int x;   //橫坐標
    int y;   //縱坐標
}
vector<Point> Points;  //存放Point對象的動態數組

class Edge
{
    int edge_id;    //邊的編號，有時可以不要該成員
    int BeginPoint; 
    //為指向Points數組中對應邊的起點的元素的索引
    int EndPoint; 
    //為指向Points數組中對應邊的終點的元素的索引
    int LeftFacet; 
    //為指向Facets數組中對應此邊左側鄰面的元素索引
    int RightFacet; 
   //為指向Facets數組中對應此邊右側鄰面的元素索引
}
vector<Edge> Edges;  //存放Edge對象的動態數組

class Facet
{
    vector<int> vertices;  //該面片邊界頂點序列數組，               // 其元素值為指向Points數組的指針
    vector<int> edges;     //該面片各邊的數組，
                // 其元素值為指向Edges數組的指針
}
vector<Facet> Facets；//存放Facet對象的動態數組

翼邊數據結構：以邊為核心，每條邊記錄中設置指向其兩個頂點，左右兩個鄰面，上下左右四條鄰邊的指針。每個頂點的記錄都指向以它作為端點的一條表。每個面的記錄指向其一條邊的指針。

翼邊數據結構.PNG

對稱數據結構：存放了面→邊、邊→面、邊→點、點→邊的4種拓撲關系，每個面記錄中設置了指向它所有邊的指針，同樣，每條邊記錄中也設置了指向它兩個鄰面的指針和兩個頂點的指針，每個點設置以它為端點的所有邊的指針。這種數據結構的空間復雜度為6E，E為實體中的邊數。

半邊數據結構：一條邊被表示成拓撲意義下的方向相反的兩條半邊。實體由多邊形(面)的組合來表示，而多邊形由外環及內環組合而成，環又是半邊構成的序列，每條半邊又由兩個頂點構成。

掃描表示

平移掃描：物體沿著某一直線方向平移一段距離
旋轉掃描：物體圍繞某一軸線旋轉一定距離
廣義掃描：物體沿著某一空間曲線掃描一定距離

構造實體幾何表示

基本思想：將簡單實體通過集合運算組合成所需要的物體。
CSG(Constructive Solid Gemetry)
采用單一的建筑塊形式的構造實體造型方法，由兩個物體的正則幾何操作生成新的物體。（并，交，差）

CSG法：集合運算的實現過程用一顆二叉樹來描述。
二叉樹葉子節點表示體素或者集合變換的參數。
非終端節點表示施加于其子節點上的實體集合運算或幾何變換。
根節點表示的就是集合運算的最終結果。

優點： 覆蓋域廣泛，輸入方便，可直觀地構造復雜圖形。數據結構簡單，數據量小，用一顆二叉樹即可表示。 形體的有效性可由實體集合運算保證。
缺點：體素很多都是由參數和表面方程表示的，用表面方程和參數表示易于求交點，方便了集合運算，但運算后的中間結果很難用方程和參數表示，后面的集合運算難度較大。解決方案：將中間結果轉化為邊界表示。
集合運算會破壞原有的點邊面的顯示拓撲關系。
體素的形狀有限。體素不能進行局部變形操作，CSG的表現能力有限制。

空間細分表示法

體素表示法，八叉樹表示法

體素表示法：實體占有的空間被劃分成均勻的小立方體，小立方體構成三維矩陣，小立方體即為體素。用體素表示的空間成為三維位圖。

八叉樹表示法.PNG