01 問題的引入：
在看《躍遷》這本書時，第二章講到冪律時，提到：
冪律分布的第一個特征，就是高度的不平均。
冪律的第二個重要特色，就是分形（fractual）。
作者對 冪律——分形 之間所做的關(guān)聯(lián)讓我本能的產(chǎn)生了好奇，準確地說是產(chǎn)生了疑問。
后來才發(fā)現(xiàn)，之所產(chǎn)生疑問，是因為當(dāng)我看到下面這個“冪律分布函數(shù)”時，我腦海里出現(xiàn)的是一個指數(shù)函數(shù)的表達式！我把冪律分布和指數(shù)分布搞混淆了。
02 問題的求解過程：
我面對這個問題的第一反應(yīng)是：冪律、指數(shù)、分形，肯定都是源于數(shù)學(xué)的概念吧？！
回到最源頭，去找這幾個概念對應(yīng)的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)表達式。
找到的比較有價值的資料有：
1.指數(shù)分布與冪律分布定義及不同（泊松分布、伽馬分布）
2.從盛極而衰的指數(shù)衰減律到冪律分布律——弱而不太衰的堅強少數(shù)派
回到我的思路：數(shù)學(xué)定義與數(shù)學(xué)表達式
1、定義(1)冪律分布（pow law distribution），其概率密度函數(shù)形式如下，這種分布的共性是絕大多數(shù)事件的規(guī)模很小，而只有少數(shù)事件的規(guī)模相當(dāng)大。
冪律分布的 概率密度函數(shù)其中x，y是正的隨機變量，c，r均為大于零的常數(shù)。
對上式兩邊取對數(shù)，可知lny與lnx滿足線性關(guān)系lny=lnc-rlnx，也即在雙對數(shù)坐標下，冪律分布表現(xiàn)為一條斜率為冪指數(shù)的負數(shù)的直線，這一線性關(guān)系是判斷給定的實例中隨機變量是否滿足冪律的依據(jù)。判斷兩個隨機變量是否滿足線性關(guān)系，可以求解兩者之間的相關(guān)系數(shù)；利用一元線性回歸模型和最小二乘法，可得lny對lnx的經(jīng)驗回歸直線方程，從而得到y(tǒng)與x之間的冪律關(guān)系式。
(2)指數(shù)分布
指數(shù)分布一個重要特征是無記憶性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。這表示如果一個隨機變量呈指數(shù)分布，當(dāng)s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時，它總共使用至少s+t小時的條件概率，與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)如下：
指數(shù)分布的 概率密度函數(shù)λ > 0是分布的一個參數(shù)，常被稱為率參數(shù)（rate parameter）。即每單位時間內(nèi)發(fā)生某事件的次數(shù)。指數(shù)分布的區(qū)間是[0,∞)。 如果一個隨機變量X呈指數(shù)分布，則可以寫作：X~ E（λ）
把兩種分布的概率密度表達式放在一起對比，就是根據(jù)其表達式的函數(shù)類型給起的名兒。
把他們畫在同一個線形坐標系，很像，難區(qū)分。但如果放到雙對數(shù)坐標系，很容易就區(qū)分開了。在雙對數(shù)坐標系里，冪律分布的曲線是一條直線。
可是，為什么冪律分布會具有分形的特點呢？（我的第六感）難道跟它在雙對數(shù)坐標系里是一條直線有關(guān)？
作者：彭鳴? ? ?鏈接：https://www.zhihu.com/question/19931652/answer/37261102
來源：知乎
分形圖形的基本特征是具有標度不變性。
即在使用不同的尺度下觀測分形圖形時所得到的結(jié)果是具有相似性的，分形圖形具有尺度上的對稱性。
這種特性表明，不同的尺度（大小）的同一種分形圖形之間具有某個共同的幾何參數(shù)，即這一參數(shù)是一個與尺度大小無關(guān)的不變量，這個量就是分形集合中的分數(shù)維。
但是通常幾何體的維度一般是整數(shù)維度，比如一條直線的維度是1，一個平面的維度是2，一個立方體的維度是3。這種維度的定義可以這樣理解：在平面中有一個邊長為a的正方形，那么它的面積是a^2，如果將其邊長放大b倍，則新的正方形面積為(ab)^2，即在邊長放大b倍之后面積變?yōu)榱?b>b^2倍，占據(jù)原先圖形b^2的面積；同樣的如果是在空間中有一個邊長為a的立方體，其邊長放大b倍后得到的新立方體，體積為原來的b^3倍，占據(jù)相當(dāng)于b^3個原先的立方體疊放在一起的空間。
照這樣的理解，如果在D維空間中有一個幾何體，把其每個方向的長度都放大b倍后，得到的新幾何體的“體積”放大的倍數(shù)為：
那么對于分形圖形，具體舉個例子吧：
康托爾集合：
<img src="https://pic3.zhimg.com/50/b732894ab38c14f59e2922c054c9974e_hd.jpg" data-rawwidth="729" data-rawheight="118" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="729" data-original="https://pic3.zhimg.com/b732894ab38c14f59e2922c054c9974e_r.jpg">取一條線段，三等分后去掉中間一段，可以的到余下的兩段；再對于這兩段，同樣地去掉中間的1/3，每一段又能余下兩段，就成了一個四條線段組成的圖形，如此循環(huán)下去，無窮多次以后，最終能得到一個只由點組成的集合(到最后分得只剩下點了*^__^*)。
取一條線段，三等分后去掉中間一段，可以的到余下的兩段；再對于這兩段，同樣地去掉中間的1/3，每一段又能余下兩段，就成了一個四條線段組成的圖形，如此循環(huán)下去，無窮多次以后，最終能得到一個只由點組成的集合(到最后分得只剩下點了*^__^*)。
對于這樣的一個集合，若取如圖所示長度內(nèi)的這樣一個點集的圖形，將它放大3倍以后，只能得到相當(dāng)于兩個原來的圖形大小的新圖形，那么這個分形的維度就是：
其它分形圖形的維度也可由類似的方法得到。
好像真的是這樣！
所以，冪律分布曲線的【分形維數(shù)】= ln y/ln x = r ？
因為只有從它的表達式才可以推導(dǎo)出【分形維數(shù)】是一個常量！指數(shù)函數(shù)就做不到！
03 此次思考的結(jié)論
最后的結(jié)論好像是說服了我自己。
要驗證這個結(jié)論是否正確，改天可以找時間做如下嘗試：按照這個邏輯再推導(dǎo)出幾個結(jié)論，或者按照這個規(guī)律自己造幾個符合此規(guī)律的函數(shù)，然后作圖，看看這些圖形效果是不是真的具有“分形”的特點。
收獲：加深了對冪律分布、分形的了解，進一步區(qū)分了一些基本概念，比如[冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)]? 與? [ 冪律分布函數(shù)、指數(shù)分布函數(shù) ]完全是分屬兩套系統(tǒng)的不同概念，雖然有一定關(guān)聯(lián)，但內(nèi)涵大不相同，不能簡單將它們按照字面意思進行粗暴連接。
