一、歐幾里得空間

定義：設是實數域的線性空間，映射稱為上的內積（Inner product），記作，滿足:

• 對稱性：
• 對第二個元素的線性性：
• 正定性，非零向量跟自己的內積是大于0的，

對于第二條性質的解釋，內積本來是一個二元函數，當將第一個參數固定住，就變成了關于第二個參數的一元函數，此時這個函數是一個線性函數（映射），即這個映射是線性的，線性組合的像等于像的線性組合。

在上線性空間上定義了內積，就稱為內積空間，若空間是有限維的，則稱為歐幾里得空間。

上的標準內積

計算為：證明這是不是內積，就挨個check一下那三條性質。

函數的內積

連續函數空間，設兩個向量，其中定義內積

二、復內積和酉空間（Unitary Space，也稱為辛空間）

定義：設是上的線性空間，復內積：滿足:

• 
• 對第二個元素的線性性
• 正定性：且大于0

有限維的復內積空間稱為酉空間。

對第一個元素是共軛線性的：

標準酉空間

在上定義復內積

線性組合的內積的矩陣表示：

Gram矩陣

設是內積空間的一個向量組，則矩陣其中基向量組的Gram矩陣稱為度量矩陣。

性質：

• Hermit性：，證明簡單，
• 非負定性：，有，證明：
• 正定 向量組線性無關，證明：設，則，再根據上一條性質即可證明。
• 

在上的Gram矩陣，有一個向量組，這里是具體的向量，不是抽象的，則，證明：

設，其中，Gram矩陣

三、向量的長度和距離

定義：

• 正性：，iff 時，
• 正齊性：
• 三角不等式：
• Cauchy-Schwarz不等式：
• 平行四邊形公式：

證明Cauchy-Schwarz不等式：兩邊乘以的倒數設，要證明，則等號成立的條件是和線性相關。