一、歐幾里得空間
定義:設是實數域
的線性空間,映射
稱為
上的內積(Inner product),記作
,滿足:
- 對稱性:
- 對第二個元素的線性性:
- 正定性,非零向量
跟自己的內積是大于0的,
對于第二條性質的解釋,內積本來是一個二元函數,當將第一個參數固定住,就變成了關于第二個參數的一元函數,此時這個函數是一個線性函數(映射),即這個映射是線性的,線性組合的像等于像的線性組合。
在上線性空間上定義了內積,就稱為內積空間,若空間是有限維的,則稱為歐幾里得空間。
上的標準內積
計算為:
證明這是不是內積,就挨個check一下那三條性質。
函數的內積
連續函數空間,設兩個向量
,其中
定義內積
二、復內積和酉空間(Unitary Space,也稱為辛空間)
定義:設是
上的線性空間,復內積:
滿足:
- 對第二個元素的線性性
- 正定性:
且大于0
有限維的復內積空間稱為酉空間。
對第一個元素是共軛線性的:
標準酉空間
在上定義復內積
線性組合的內積的矩陣表示:
Gram矩陣
設是內積空間的一個向量組,則矩陣
其中基向量組的Gram矩陣稱為度量矩陣。
性質:
- Hermit性:
,證明簡單,
- 非負定性:
,有
,證明:
-
正定
向量組
線性無關,證明:設
,則
,再根據上一條性質即可證明。
在上的Gram矩陣,有一個向量組
,這里是具體的向量,不是抽象的,則
,證明:
設,其中
,Gram矩陣
三、向量的長度和距離
定義:
- 正性:
,iff
時,
- 正齊性:
- 三角不等式:
- Cauchy-Schwarz不等式:
- 平行四邊形公式:
證明Cauchy-Schwarz不等式:兩邊乘以
的倒數
設
,要證明
,則
等號成立的條件是
和
線性相關。