? ? ? ? 2004年，英國的科學(xué)期刊《物理世界》舉辦了一個(gè)活動(dòng)：讓讀者選出科學(xué)史上最偉大的公式。結(jié)果，麥克斯韋方程組力壓質(zhì)能方程、歐拉公式、牛頓第二定律、勾股定理、薛定諤方程等”方程界“的巨擘，高居榜首。

麥克斯韋方程組以一種近乎完美的方式統(tǒng)一了電和磁，并預(yù)言光就是一種電磁波，這是物理學(xué)家在統(tǒng)一之路上的巨大進(jìn)步。很多人都知道麥克斯韋方程組，知道它極盡優(yōu)美，并且描述了經(jīng)典電磁學(xué)的一切。但是，真正能看懂這個(gè)方程組的人卻不多，因?yàn)樗幌褓|(zhì)能方程、勾股定理這樣簡單直觀，等式兩邊的含義一眼便知。畢竟，它是用積分和微分的形式寫的，而大部分人要到大學(xué)才正式學(xué)習(xí)微積分。

不過大家也不用擔(dān)心，麥克斯韋方程組雖然在形式上略微復(fù)雜，但是它的物理內(nèi)涵確是非常簡單的。而且，微積分也不是特別抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，大家只要跟著思路走，看懂這個(gè)“最偉大“的方程也不會(huì)是什么難事~

01電磁統(tǒng)一之路

? ? ? ? 電和磁并沒有什么明顯的聯(lián)系，科學(xué)家一開始也是獨(dú)立研究電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象的。這并不奇怪，誰能想到閃電和磁鐵之間會(huì)有什么聯(lián)系呢？

? ? ? ? 1820年，奧斯特在一次講座上偶然發(fā)現(xiàn)通電的導(dǎo)線讓旁邊的小磁針偏轉(zhuǎn)了一下，這個(gè)微小的現(xiàn)象并沒有引起聽眾的注意，但是可把奧斯特給高興壞了。他立馬針對這個(gè)現(xiàn)象進(jìn)行了三個(gè)月的窮追猛打，最后發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，也就是說電流也能像磁鐵一樣影響周圍的小磁針。

? ? ? ? 消息一出，物理學(xué)家們集體炸鍋，立馬沿著這條路進(jìn)行深入研究。怎么研究呢？奧斯特只是說電流周圍會(huì)產(chǎn)生磁場，那么這個(gè)電流在空間中產(chǎn)生的磁場是怎么分布的呢？比方說一小段電流在空間某個(gè)地方產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的多大呢？這種思路拓展很自然吧，定性的發(fā)現(xiàn)某個(gè)規(guī)律之后必然要試圖定量地把它描述出來，這樣我不僅知道它，還可以精確的計(jì)算它，才算完全了解。

? ? ? ? 三個(gè)月，在奧斯特正式發(fā)表他的發(fā)現(xiàn)僅僅三個(gè)月之后，畢奧和薩伐爾在大佬拉普拉斯的幫助下就找到了電流在空間中產(chǎn)生磁場大小的定量規(guī)律，這就是著名的畢奧-薩伐爾定律。也就是說，有了畢奧-薩伐爾定律，我們就可以算出任意電流在空間中產(chǎn)生磁場的大小，但是這種方法在實(shí)際使用的時(shí)候會(huì)比較繁瑣。

? ? ? ? 又過了兩個(gè)月之后，安培發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更實(shí)用更簡單的計(jì)算電流周圍磁場的方式，這就是安培環(huán)路定理。順便，安培還總結(jié)了一個(gè)很實(shí)用的規(guī)律來幫你判斷電流產(chǎn)生磁場的方向，這就是安培定則（也就是高中學(xué)的右手螺旋定則）。

? ? ? ? 至此，電生磁這一路的問題“似乎”基本解決了，我們知道電流會(huì)產(chǎn)生磁場，而且能夠用安培環(huán)路定理（或者更加原始的畢奧-薩伐爾定律）計(jì)算這個(gè)磁場的大小，用安培定則判斷磁場的方向。那么，我們現(xiàn)在知道怎么單獨(dú)描述電和磁，知道了電怎么生磁，秉著對稱的思想，我怎么樣都要去想：既然電能夠生磁，那么磁能不能生電呢？

? ? ? ? 由于種種原因，奧斯特在1820年發(fā)現(xiàn)了電生磁，人類直到11年后的1831年，才由天才實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)了磁生電的規(guī)律，也就是電磁感應(yīng)定律。法拉第發(fā)現(xiàn)磁能生電的關(guān)鍵就是：他發(fā)現(xiàn)靜止的磁并不能生電，一定要變化的磁才能生電。

? ? ? ? 發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)定律之后，我們知道了磁如何生電，有了安培環(huán)路定理，我們就知道電流如何產(chǎn)生磁場。咋一看，有關(guān)電磁的東西我們好像都有解決方案了。其實(shí)不然，我們知道安培環(huán)路定理是從奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流周圍會(huì)產(chǎn)生磁場這一路推出來的，所以它只能處理電流周圍表示磁場的情況。

? ? ? ? 但是，如果沒有電流呢？如果我壓根就沒有導(dǎo)線讓你可以形成電流，如果僅僅是電場發(fā)生了變化，那么這樣能不能產(chǎn)生磁場呢？大家不要覺得我胡攪蠻纏，你想想，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，變化的磁場是可以產(chǎn)生電場的。所以，我會(huì)反過來猜想變化的電場能否產(chǎn)生磁場并不奇怪。而這，正好是安培環(huán)路定理缺失的部分。

? ? ? ? 于是，麥克斯韋就對安培環(huán)路定理進(jìn)行了擴(kuò)充，把變化的電場也能產(chǎn)生磁場這一項(xiàng)也添加了進(jìn)去，補(bǔ)齊了這最后一塊短板。

到這里，電和磁的統(tǒng)一之路就走得差不多了，麥克斯韋方程組的基本形式也呼之欲出了。這里我先讓大家考慮一下：我們都知道麥克斯韋方程組描述了經(jīng)典電磁學(xué)的一切，而且它是由四個(gè)方程組成的。那么，如果讓你選擇四個(gè)方程來描述電磁里的一切，你大致會(huì)選擇四個(gè)什么樣的方程呢？

此處思考一分鐘……

? ? ? ? 我不知道大家是怎么考慮的，反正我覺得下面這條思路是很自然的：如果要用四個(gè)方程描述電磁的一切，那么我就用第一個(gè)方程描述電，第二個(gè)方程描述磁，第三個(gè)方程描述磁如何生電，第四個(gè)方程描述電如何生成磁。嗯，好巧，麥克斯韋方程組就是這樣的～

? ? ? ? 所以，我們學(xué)習(xí)麥克斯韋方程組，就是要看看它是如何用四個(gè)方程優(yōu)雅自洽地描述電、磁、磁生電、電生磁這四種現(xiàn)象的。接下來我們就來一個(gè)個(gè)地看。

02庫侖的發(fā)現(xiàn)

? ? ? ? 在奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之前，人類已經(jīng)單獨(dú)研究電研究了好長時(shí)間，人們發(fā)現(xiàn)電荷有正負(fù)兩種，而且同性相斥，異性相吸。后來庫倫發(fā)現(xiàn)了電荷之間相互作用的定量關(guān)系，他發(fā)現(xiàn)電荷之間的作用力跟距離的平方成反比的。也就是說，如果我把兩個(gè)電荷之間的距離擴(kuò)大為原來的兩倍，這兩個(gè)電荷之間的作用力就會(huì)減少為原來的四分之一，擴(kuò)大為三倍就減少為九分之一。

? ? ? ? 這個(gè)跟引力的效果是一樣的，引力也是距離擴(kuò)大為原來的兩倍，引力的大小減少為原來的四分之一。為什么大自然這么偏愛“平方反比”規(guī)律呢？因?yàn)槲覀兩钤谝粋€(gè)各向同性的三維空間里。

? ? ? 什么意思？我們可以想想：假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)點(diǎn)源開始向四面八方傳播，因?yàn)樗鼣y帶的能量是一定的，那么在任意時(shí)刻能量達(dá)到的地方就會(huì)形成一個(gè)球面。而球面的面積公式S=4πr2（r為半徑），它是跟半徑的平方r2成正比的，這也就是說：我們同一份能量在不同的時(shí)刻要均勻的分給4πr2個(gè)部分，那么每個(gè)點(diǎn)得到的能量就自然得跟4πr2成反比，這就是平方反比定律的更深層次的來源。

? ? ? ? 因此，如果我們生活在四維空間里，我們就會(huì)看到很多立方（三次方）反比的定律，而這也是科學(xué)家們尋找高維度的一個(gè)方法。許多理論（比如超弦理論）里都有預(yù)言高維度，科學(xué)家們就去很小的尺度里測量引力，如果引力在一個(gè)很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是發(fā)現(xiàn)了額外的維度。

? ? ? ? 好了，從更深層次理解了靜電力遵循平方反比定律后，要猜出靜電力的公式就是很簡單的事情了。因?yàn)楹苊黠@的，兩個(gè)電荷之間的靜電力肯定跟兩者的電荷量有關(guān)，而且還是電荷越大靜電力越大，加上距離平方反比規(guī)律，兩個(gè)電荷之間的靜電力大致就是下面這樣的了：

? ? ? ? 這就是我們中學(xué)學(xué)的庫倫定律：兩個(gè)電荷之間的靜電力跟兩個(gè)電荷量的乘積成正比，跟它們距離的平方成反比，剩下的都是常數(shù)。q1、q2就是兩個(gè)電荷的電荷量，ε0是真空的介電常數(shù)（先不管它是啥意思，知道是個(gè)跟電相關(guān)的常數(shù)就行了），我們熟悉的球面積公式S=4πr2赫然出現(xiàn)在分母里，這是三維空間平方反比規(guī)律的代表。

? ? ? ? 庫倫定律是一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，也就說庫倫做了很多實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)電荷之間確實(shí)存在著一個(gè)這么大小的靜電力，但是它并沒有告訴你這個(gè)靜電力是如何傳遞的。兩個(gè)并沒有接觸的物體之間存在某種力，一個(gè)常見的想法就是這兩個(gè)物體之間存在著某種我們看不見的東西在幫它們傳遞作用力，那么這種東西是什么呢？有人認(rèn)為是以太，有人認(rèn)為是某種彈性介質(zhì)，但是法拉第說是力線，而且這種力線不是什么虛擬的輔助工具，而是客觀的物理實(shí)在。它可以傳遞作用力，也可以具有能量。這些思想慢慢形成了我們現(xiàn)在熟知的場。

03電場的疊加

? ? ? ? 有了場，我們就可以更加細(xì)致的描述兩個(gè)電荷之間的相互作用了。為什么兩個(gè)電荷之間存在這樣一個(gè)靜電力呢？因?yàn)殡姾蓵?huì)在周圍的空間中產(chǎn)生一個(gè)電場，這個(gè)電場又會(huì)對處在其中的電荷產(chǎn)生一個(gè)力的作用。這個(gè)電場的強(qiáng)度越大，電荷受到的力就越大，正電荷受力的方向就是這點(diǎn)電場的方向。所以，電場具有大小和方向，這是一個(gè)矢量。

? ? ? ? 為了直觀形象的描述電場，我們引入了電場線。電場線的密度剛好就代表了電場強(qiáng)度的大小，而某點(diǎn)電場線的切線方向就代表了該處電場的方向。一個(gè)正電荷就像太陽發(fā)光一樣向四周發(fā)射電場線，負(fù)電荷就匯集電場線。

? ? ? ? 這些內(nèi)容大家在中學(xué)的時(shí)候應(yīng)該都學(xué)了，我就一筆帶過，接下來我們考慮一個(gè)稍微復(fù)雜一點(diǎn)的問題：庫倫定律告訴了我們兩個(gè)點(diǎn)電荷之間靜電力的大小，那么我們就可以根據(jù)這個(gè)求出一個(gè)點(diǎn)電荷周圍的電場強(qiáng)度。然而，一個(gè)點(diǎn)電荷是最簡單的情況，如果帶電源再復(fù)雜一點(diǎn)呢？如果我有很多個(gè)電荷，或者說我直接就是一塊形狀不規(guī)則的帶電體，這時(shí)候我們要怎么求它產(chǎn)生的電場呢？

? ? ? ? 一個(gè)很簡單自然的想法就是：如果有很多個(gè)電荷，我就把每個(gè)電荷在這點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度算出來，再把它們疊加起來就行了。如果這是一個(gè)連續(xù)的帶電體（比如一根帶電的線），那我們就再次舉起牛頓爵爺留給我們的微積分大刀，嘩啦啦地把這個(gè)帶電體切成無數(shù)個(gè)無窮小的部分，這樣每一個(gè)無窮小的部分就可以看做一個(gè)點(diǎn)電荷，然后把這無數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷在那點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度疊加起來（就是積分）就行了。

? ? ? ? 我們上面的思路其實(shí)就是秉著“萬物皆可切成點(diǎn)，萬物皆可積”的精神，強(qiáng)行讓庫倫定律和微積分聯(lián)姻，“硬算”出任何帶電體在任意位置的場強(qiáng)。這在原理上是行得通的，沒問題，但是在具體操作上就很復(fù)雜了，有沒有更簡單優(yōu)雅一點(diǎn)的辦法呢？

? ? ? 有，不過這需要我們換個(gè)角度看問題。物理學(xué)研究物體運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律，但是物體時(shí)時(shí)刻刻都處在變化之中，你要怎么去尋找它的規(guī)律呢？這里就涉及到科學(xué)研究的一個(gè)重要思想：把握變化世界里那些不變的東西。

? ? ? ? 牛頓發(fā)現(xiàn)一切物體在運(yùn)動(dòng)中都有某種共同不變的東西，不管物體怎樣運(yùn)動(dòng)，受到什么樣的力，這個(gè)東西只由物體的密度和體積決定，于是牛頓從中提煉出了質(zhì)量的概念（當(dāng)然，現(xiàn)在質(zhì)量是比密度體積更基本的概念）；科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)物體在各種變化的過程中有某種守恒的東西，于是提煉出了能量的概念。那么，帶電體在周圍空間中產(chǎn)生電場的過程，能不能也提煉出某種不變的東西呢？

04通量的引入

? ? ? ? 我們先不管電，先來看看我們更熟悉的水。畢竟水流和電流有某種相似之處，

? ? ? ? 我在一個(gè)水龍頭的出口處裝一個(gè)噴頭，讓水龍頭向周圍的空間噴射水流（就像正電荷噴射電場線一樣），然后我用一個(gè)完全透水（水能夠自由的穿過塑料袋）的塑料袋把水龍頭包起來。那么，從水龍頭出來的所有的水都必須穿過這個(gè)塑料袋，然后才能去其他地方，穿過這個(gè)塑料袋的表面是所有水的必經(jīng)之路。

? ? ? ? 這個(gè)看似平常的現(xiàn)象后面卻隱藏了這樣一個(gè)事實(shí)：無論塑料袋有多大，是什么形狀，只要你是密封的。那么，從水龍頭流出的水量就一定等于通過這個(gè)塑料袋表面的水量。

? ? ? ? 從這里，我們就抽象出來了一個(gè)非常重要的概念：通量。通量，顧名思義，就是通過一個(gè)曲面的某種流量，通過塑料袋表面的水的流量就叫塑料袋的水通量。這樣上面的例子我們就可以說成水龍頭的出水量等于塑料袋的水通量了。

? ? ? ? 好，水的事就先說到這里，我們再回過頭來看看電。還是用上面的實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)在我們把水龍頭換成一個(gè)正電荷，我們還是用一個(gè)完全透電（對電沒有任何阻力）的塑料袋套住一個(gè)正電荷，那會(huì)發(fā)生什么呢？水龍頭的噴頭散發(fā)的是水流，正電荷“散發(fā)”的是電場線；通過該塑料袋的水流量叫塑料袋的水通量，那么電場線通過塑料袋的數(shù)量自然就叫塑料袋的電通量。對于水通量，我們知道它等于水龍頭的出水量，那么塑料袋的電通量等于什么呢？

? ? ? ? 我們知道，之所以會(huì)有電場線，是因?yàn)榭臻g中存在電荷。而且，電荷的電量越大，它產(chǎn)生的電場強(qiáng)度就越大，電場線就越密，那么穿過塑料袋的電場線的數(shù)量就越多，對應(yīng)的電通量就越大。所以，我們雖然無法確定這個(gè)電通量的具體形式，但是可以肯定它一定跟這個(gè)塑料袋包含的電荷量有關(guān)，而且是正相關(guān)。

? ? ? ? 這就是在告訴我們：通過一個(gè)閉合曲面的電通量跟曲面內(nèi)包含電荷總量是成正比的，電荷量越大，通過這個(gè)任意閉合曲面的電通量就越大，反之亦然。這就是麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程——高斯電場定律的核心思想。

? ? ? ? 把這個(gè)思想從電翻譯到水上面去就是：通過一個(gè)閉合曲面的水量是這個(gè)曲面內(nèi)包含水龍頭水壓的量度，水壓越大，水龍頭越多，通過這個(gè)閉合曲面的水量就越大。這幾乎已經(jīng)接近“廢話”了~所以，大家面對那些高大上的公式方程的時(shí)候不要先自己嚇自己，很多所謂非常高深的思想，你把它用人話翻譯一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它非常簡單自然。

? ? ? ? 我們再來審視一下高斯電場定律的核心思想：通過一個(gè)閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比。那么，我們要怎么樣把這個(gè)思想數(shù)學(xué)化呢？電荷的總量好說，就是把所有電荷的帶電量加起來，那么通過一個(gè)閉合曲面的電通量要怎么表示呢？

05電場的通量

我們先從最簡單的情況看起。

? ? ? 問題1：我們假設(shè)空間里有一個(gè)電場強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場，然后有一個(gè)面積為a的木板跟這個(gè)電場方向垂直，那么，通過這個(gè)木板的電通量Φ要怎么表示呢？

? ? ? ? 我們想想，我們最開始是從水通過曲面的流量來引入通量的，到了電這里，我們用電場線通過一個(gè)曲面的數(shù)量表示電通量。而我們也知道，電場線的密度代表了電場強(qiáng)度的大小。所以，我們就能很明顯的發(fā)現(xiàn)：電場強(qiáng)度越大，通過木板的電場線數(shù)量越多；木板的面積越大，通過木板的電場線數(shù)量越多。而電場線的數(shù)量越多，就意味著電通量越大。

? ? ? ? 因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度E是一個(gè)矢量（有大小和方向），所以我們用E的絕對值|E|來表示E的大小，那么我們直接用電場強(qiáng)度的大小|E|和木板面積a的乘積來表示電通量的大小是非常合理的。也就是說，通過木板的電通量Φ=|E|×a。

? ? ? 木板和電場線方向相互垂直是最簡單的情況，如果木板和電場的方向不垂直呢？

? ? ? ? 問題2：還是上面的木板和電場，如果木板跟電場的方向不是垂直的，它們之間有一個(gè)夾角θ，那這個(gè)電通量又要怎么求呢？

? ? ? 如上圖，首先，我們能直觀地感覺到：當(dāng)木板不再和電場方向垂直的時(shí)候，這個(gè)木板被電場線穿過的有效面積減小了。原來長度為AB的面都能擋住電場線，現(xiàn)在，雖然還是那塊木板，但是真正能夠有效擋住電場線的變成了BC這個(gè)面。

? ? ? ? 然后，我們再來談一談曲面的方向，可能很多人都認(rèn)為曲面的方向就是定義為AB的方向。其實(shí)不是的，我們是用一個(gè)垂直于這個(gè)平面的向量的方向表示這個(gè)平面的方向，這個(gè)向量就叫這個(gè)平面的法向量。如上圖所示，我畫了一個(gè)跟木板垂直的法向量n，那么這個(gè)法向量n和電場E的夾角才是木板這個(gè)平面和電場的夾角θ。

? ? ? ? AB、BC和θ之間存在一個(gè)非常簡單的三角關(guān)系：BC=AB×cosθ（因?yàn)閵A角θ跟角ABC相等，cosθ表示直角三角形里鄰邊和斜邊的比值）。而我們有知道垂直的時(shí)候通過木板的電通量Φ=|E|×|a|，那么，當(dāng)它們之間有一個(gè)夾角θ的時(shí)候，通過木板的電通量自然就變成了：Φ=|E|×|a|×cosθ。

06矢量的點(diǎn)乘

? ? ? ? 到了這里，我們就必須稍微講一點(diǎn)矢量和矢量的乘法了。

? ? ? ? 通俗地講，標(biāo)量是只有大小沒有方向的量。比如說溫度，房間某一點(diǎn)的溫度就只有一個(gè)大小而已，并沒有方向；再比如質(zhì)量，我們只說一個(gè)物體的質(zhì)量是多少千克，并不會(huì)說質(zhì)量的方向是指向哪邊。而矢量則是既有大小，又有方向的量。比如速度，我們說一輛汽車的速度不僅要說速度的大小，還要指明它的方向，它是向東還是向南；再比如說力，你去推桌子，這個(gè)推力不僅有大小（決定能不能推動(dòng)桌子），還有方向（把桌子推向哪一邊）。

? ? ? ? 標(biāo)量因?yàn)橹挥写笮]有方向，所以標(biāo)量的乘法可以直接像代數(shù)的乘法一樣，讓它們的大小相乘就行了。但是，矢量因?yàn)榧扔写笮∮钟蟹较颍阅銉蓚€(gè)矢量相乘就不僅要考慮它的大小，還要考慮它的方向。假如你有兩個(gè)矢量，一個(gè)矢量的方向向北，另一個(gè)向東，那么它們相乘之后得到的結(jié)果還有沒有方向呢？如果有，這個(gè)方向要怎么確定呢？

? ? ? ? 這就是說，我們從小學(xué)開始學(xué)習(xí)的那種代數(shù)乘法的概念，在矢量這里并不適用，我們需要重新定義一套矢量的乘法規(guī)則，比如我們最常用的點(diǎn)乘（符號(hào)為‘·’）。你兩個(gè)標(biāo)量相乘就是直接讓兩個(gè)標(biāo)量的大小相乘，我現(xiàn)在矢量不僅有大小還有方向，那么這個(gè)方向怎么體現(xiàn)呢？簡單，我不讓你兩個(gè)矢量的大小直接相乘，而是讓一個(gè)矢量的投影和另一個(gè)矢量的大小相乘，這樣就既體現(xiàn)了大小又體現(xiàn)了方向。

? ? ? ? 如上圖，我們有兩個(gè)矢量OA和OB（線段的長短代表矢量的大小，箭頭的方向代表矢量的方向），我們過A點(diǎn)做AC垂直于OB（也就是OA往OB方向上投影），那么線段OC的長度就代表了矢量OA在OB方向上的投影。而根據(jù)三角函數(shù)的定義，一個(gè)角度θ的余弦cosθ被定義為鄰邊（OC）和斜邊（OA）的比值，即cosθ=OC/|OA|（絕對值表示矢量的大小，|OA|表示矢量OA的大小）。所以矢量OA在OB方向上的投影OC可以表示為：OC=|OA|×cosθ。

? ? ? ? 既然兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘被定義為一個(gè)矢量的投影和和另一個(gè)矢量大小的乘積，現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了投影OC的表達(dá)式，那么矢量OA和OB的點(diǎn)乘就可以表示為：

OA·OB=OC×|OB|=|OA||OB|cosθ。

? ? ? ? 為什么我們上面明明還在講電場通過一個(gè)平面的通量，接著卻要從頭開始講了一堆矢量的點(diǎn)乘的東西呢？因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度也是一個(gè)矢量，它有大小也有方向（電場線的密度代表大小，電場線的方向代表它的方向）；平面其實(shí)也是一個(gè)矢量，平面的大小不用說了，平面的方向是用垂直于這個(gè)平面的法向量來表示的。而且，我們再回顧一下當(dāng)平面跟電場方向有一個(gè)夾角θ的時(shí)候，通過這個(gè)平面的電通量Φ=|E|×|a|×cosθ。這是不是跟上面兩個(gè)矢量點(diǎn)乘右邊的形式一模一樣？

? ? ? 也就是說，如果我們從矢量的角度來看：場E通過一個(gè)平面a的電通量Φ就可以表示為這兩個(gè)矢量（電場和平面）的點(diǎn)乘，即Φ=E·a（因?yàn)楦鶕?jù)點(diǎn)乘的定義有E·a=|E|×|a|×cosθ）。

? ? ? ? 這種表述既簡潔又精確，你想想，如果你不使用矢量的表述，那么你在公式里就不可避免地會(huì)出現(xiàn)很多和夾角θ相關(guān)的地方。更關(guān)鍵的是，電場強(qiáng)度和平面本來就都是矢量，你使用矢量的運(yùn)算天經(jīng)地義，為什么要用標(biāo)量來代替它們呢？

? ? ? ? 總之，我們知道一個(gè)電場通過一個(gè)平面的電通量可以簡潔的表示為：Φ=E·a，這就夠了。但是，高斯電場定律的核心思想是通過閉合曲面的電通量跟曲面包含的電荷量成正比，我們這里得到的只是一個(gè)電場通過一個(gè)平面的電通量，一個(gè)平面和一個(gè)閉合曲面還是有相當(dāng)大的區(qū)別的。

07閉合曲面的電通量

? ? ? ? 知道怎么求一個(gè)平面的電通量，要怎么求一個(gè)曲面的電通量呢？

? ? ? ? 這里就要稍微涉及一丟丟微積分的思想了。我們都知道我們生活在地球的表面，而地球表面其實(shí)是一個(gè)球面，那么，為什么我們平常在路上行走時(shí)卻感覺不到這種球面的彎曲呢？這個(gè)答案很簡單，因?yàn)榈厍蚝艽螅?dāng)我們從月球上遙望地球的時(shí)候，我們能清晰地看到地球表面是一個(gè)彎曲的球面。但是，當(dāng)我們把范圍僅僅鎖定在我們目光周圍的時(shí)候，我們就感覺不到地球的這種彎曲，而是覺得我們行走在一個(gè)平面上。

? ? ? ? 地球的表面是一個(gè)曲面，但是當(dāng)我們只關(guān)注地面非常小的一塊空間的時(shí)候，我們卻覺得這是一個(gè)平面。看到?jīng)]有，一個(gè)曲面因?yàn)槟撤N原因變成了一個(gè)平面，而我們現(xiàn)在的問題不就是已知一個(gè)平面的電通量，要求一個(gè)曲面的電通量么？那么地球表面的這個(gè)類比能不能給我們什么啟發(fā)呢？

? ? ? ? 彎曲的地球表面在小范圍內(nèi)是平面，這其實(shí)是在啟發(fā)我們：我們可以把一個(gè)曲面分割成許多塊，只要我們分割得足夠細(xì)，保證每一小塊都足夠小，那么我們是可以把這個(gè)小塊近似當(dāng)作平面來處理的。而且不難想象，我把這個(gè)曲面分割得越細(xì)，它的每一個(gè)小塊就越接近平面，我們把這些小平面都加起來就會(huì)越接近這個(gè)曲面本身。

? ? ? ? 下面是重點(diǎn)：如果我們把這個(gè)曲面分割成無窮多份，這樣每個(gè)小塊的面積就都是無窮小，于是我們就可以認(rèn)為這些小塊加起來就等于這個(gè)曲面了。這就是微積分最樸素的思想。

? ? ? ? 如上圖，我們把一個(gè)球面分割成了很多塊，這樣每一個(gè)小塊就變成了一個(gè)長為dx，寬為dy的小方塊，這個(gè)小方塊的面積da=dx·dy。如果這個(gè)小塊的電場強(qiáng)度為E，那么通過這個(gè)小塊的電通量就是E·da。如果我們我們把這個(gè)球面分割成了無窮多份，那么把這無窮多個(gè)小塊的電通量加起來，就能得到穿過這個(gè)曲面的總電通量。

? ? ? ? 這個(gè)思想總體來說還是很簡單的，只是涉及到了微積分最樸素的一些思想。如果要我們具體去計(jì)算可能就會(huì)比較復(fù)雜，但是慶幸的是，我們不需要知道具體如何計(jì)算，我們只需要知道怎么表示這個(gè)思想就行了。一個(gè)小塊da的電通量是E·da，那么我們就可以用下面的符號(hào)表示通過這個(gè)曲面S的總電通量：

? ? ? ? 這個(gè)拉長的大S符號(hào)就是積分符號(hào)，它就是我們上面說的微積分思想的代表。它的右下角那個(gè)S代表曲面S，也就是說我們這里是把這個(gè)曲面S切割成無窮小塊，然后對每一塊都求它的通量E·da，然后把通量累積起來。至于這個(gè)大S中間的那個(gè)圓圈就代表這是一個(gè)閉合曲面。

08方程一：高斯電場定律

? ? ? ? 總之，上面這個(gè)式子就代表了電場E通過閉合曲面S的總電通量，而我們前面說過高斯電場定律的核心思想就是：通過閉合曲面的電通量跟這個(gè)曲面包含的電荷量成正比。那么，這樣我們就能非常輕松的理解麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程——高斯電場定律了：

? ? ? ? 方程的左邊，我們上面解釋了這么多，這就是電場E通過閉合曲面S的電通量。方程右邊帶enc下標(biāo)的Q表示閉合曲面內(nèi)包含的電荷總量，ε0是個(gè)常數(shù)（真空介電常數(shù)），暫時(shí)不用管它。等號(hào)兩邊一邊是閉合曲面的電通量，另一邊是閉合曲面包含的電荷，我們這樣就用數(shù)學(xué)公式完美地詮釋了我們的思想。

? ? ? ? 麥克斯韋方程組總共有四個(gè)方程，分別描述了靜電、靜磁、磁生電、電生磁的過程。庫倫定律從點(diǎn)電荷的角度描述靜電，而高斯電場定律則從通量的角度來描述靜電，為了描述任意閉合曲面的通量，我們不得不引入了微積分的思想。我們說電通量是電場線通過一個(gè)曲面的數(shù)量，而我們也知道磁場也有磁感線（由于歷史原因無法使用磁場線這個(gè)名字），那么，我們是不是也可以類似建立磁通量的概念，然后在此基礎(chǔ)上建立類似的高斯磁場定律呢？

09方程二：高斯磁場定律

? ? ? ? 磁通量的概念很好建立，我們可以完全模仿電通量的概念，將磁感線通過一個(gè)曲面的數(shù)量定義磁通量。因?yàn)榇艌鼍€的密度一樣表征了磁感應(yīng)強(qiáng)度（因?yàn)闅v史原因，我們這里無法使用磁場強(qiáng)度）的大小。所以不難理解，我們可以仿照電場把磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場通過一個(gè)平面a的磁通量Φ表示為Φ=B·a。

? ? ? ? 同樣，根據(jù)我們在上面電場里使用的微積分思想，類比通過閉合曲面電通量的作法，我們可以把通過一個(gè)閉合曲面S的磁通量表示為：

? ? ? 然后，我們可以類比高斯電場定律的思想“通過閉合曲面的電通量跟這個(gè)曲面包含的電荷量成正比”，建立一個(gè)高斯磁場定律，它是核心思想似乎就應(yīng)該是：通過閉合曲面的磁通量跟這個(gè)曲面包含的“磁荷量”成正比。

? ? ? ? 然而這里會(huì)有個(gè)問題，我們知道自然界中有獨(dú)立存在的正負(fù)電荷，電場線都是從正電荷出發(fā)，匯集與負(fù)電荷。但是自然界里并不存在（至少現(xiàn)在還沒發(fā)現(xiàn)）獨(dú)立的磁單極子，任何一個(gè)磁體都是南北兩極共存。所以，磁感線跟電場線不一樣，它不會(huì)存在一個(gè)單獨(dú)的源頭，也不會(huì)匯集到某個(gè)地方去，它只能是一條閉合的曲線。

? ? ? ? 上圖是一個(gè)很常見的磁鐵周圍的磁感線，磁鐵外部的磁感線從N極指向S極，在磁鐵的內(nèi)部又從S極指向N極，這樣就形成一個(gè)完整的閉環(huán)。

? ? ? ? 如果磁感線都是一個(gè)閉環(huán)，沒有獨(dú)立存在的磁單極，那我們可以想一想：如果你在這個(gè)閉環(huán)里畫一個(gè)閉合曲面，那么結(jié)果肯定就是有多少磁感線從曲面進(jìn)去，就肯定有多少跟磁感線從曲面出來。因?yàn)槿绻幸桓鸥芯€只進(jìn)不出，那它就不可能是閉合的了，反之亦然。

? ? ? ? 如果一個(gè)閉合曲面有多少根磁感線進(jìn)，就有多少根磁感線出，這意味著什么呢？這就意味著你進(jìn)去的磁通量跟出來的磁通量相等，那么最后這個(gè)閉合曲面包含的總磁通量就恒為0了。這就是麥克斯韋方程組的第二個(gè)方程——高斯磁場定律的核心思想：閉合曲面包含的磁通量恒為0。

? ? ? ? 通過閉合曲面的磁通量（B·a是磁通量，套個(gè)曲面的積分符號(hào)就表示曲面的磁通量）我們上面已經(jīng)說了，恒為0無非就是在等號(hào)的右邊加個(gè)0，所以高斯磁場定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是這樣的：

? ? ? ? 對比一下高斯電場定律和高斯磁場定律，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)他們不僅是名字想象，思想也幾乎是一模一樣的，只不過目前還沒有發(fā)現(xiàn)磁荷、磁單極子，所以高斯磁場定律的右邊就是一個(gè)0。我們再想一想：為什么這種高斯XX定律能夠成立？為什么通過任意閉合曲面的某種通量會(huì)剛好是某種量的一個(gè)量度？

? ? ? 原因還在它們的“平方反比”上。因?yàn)殡妶鰪?qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度都是跟距離的平方成反比，而表面積是跟距離的平方正比，所以你前者減小多少，后者就增加多少。那么，如果有一個(gè)量的表示形式是前者和后者的乘積，那么它的總量就會(huì)保持不變。而通量剛好就是XX強(qiáng)度和表面積的乘積，所以電通量、磁通量就都會(huì)有這樣的性質(zhì)。

? ? ? ? 所以，再深思一下你就會(huì)發(fā)現(xiàn)：只要一種力的強(qiáng)度是跟距離平方成反比，那么它就可以有類似的高斯XX定律，比如引力，我們一樣可以找到對應(yīng)的高斯定律。數(shù)學(xué)王子高斯當(dāng)年發(fā)現(xiàn)了高斯定理，我們把它應(yīng)用在物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，就得到了各種高斯XX定律。麥克斯韋方程組總共就四個(gè)方程，就有兩個(gè)高斯定律，可見其重要性。

? ? ? ? 靜電和靜磁方面的事情就先說這么多，還有疑問的請咨詢高斯，畢竟這是人家獨(dú)家冠名的產(chǎn)品。接下來我們來看看電和磁之間的交互，看看磁是如何生電，電是如何生磁的。說到磁如何生電，那就肯定得提到法拉第。奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)之后，大家秉著對稱性的精神，認(rèn)為磁也一定能夠生電，但是磁到底要怎樣才能生電呢？不知道，這就得做實(shí)驗(yàn)研究了。

10電磁感應(yīng)

? ? ? ? 既然是要做實(shí)驗(yàn)看磁如何生電，那首先肯定得有一個(gè)磁場。這個(gè)簡單，找兩塊N極和S極相對的磁鐵，這樣它們之間就會(huì)有一個(gè)磁場。我再拿一根金屬棒來，看看它有沒有辦法從磁場中弄出電來。因?yàn)榻饘侔羰菍?dǎo)電的，所以我把它用導(dǎo)線跟一個(gè)檢測電流的儀器連起來，如果儀器檢測到了電流，那就說明磁生電成功了。

? ? ? ? 法拉第做了很多這樣的實(shí)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)：你金屬棒放在那里不動(dòng)，是不會(huì)產(chǎn)生電流的（這是自然，否則你就是憑空產(chǎn)生了電，能量就不守恒了。你要這樣能發(fā)電，那我買塊磁鐵回家，就永遠(yuǎn)不用再交電費(fèi)了）。

? ? ? ? 然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在那里動(dòng)的時(shí)候，有時(shí)候能產(chǎn)生電流，有時(shí)候不能產(chǎn)生，你要是順著磁感線的方向運(yùn)動(dòng)（在上圖就是左右運(yùn)動(dòng)）就沒有電流，但是你要是做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)（在上圖就是上下運(yùn)動(dòng)）它就能產(chǎn)生電流。打個(gè)通俗的比喻：如果把磁感線想象成一根根面條，你只有把面條（磁感線）切斷了才會(huì)產(chǎn)生電流。

? ? ? ? 再然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在磁場里不動(dòng)雖然不會(huì)產(chǎn)生電流，但是如果這時(shí)候我改變一下磁場的強(qiáng)度，讓磁場變強(qiáng)或者變?nèi)跻恍幢憬饘侔舨粍?dòng)也會(huì)產(chǎn)生電流。

? ? ? ? 法拉第仔細(xì)總結(jié)了這些情況，他發(fā)現(xiàn)不管是金屬棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生電流，還是磁場強(qiáng)度變化產(chǎn)生電流，都可以用一個(gè)通用的方式來表達(dá)：只要閉合回路的磁通量發(fā)生了改變，就會(huì)產(chǎn)生電流。我們想想，磁通量是磁場強(qiáng)度B和面積a的乘積（B·a），我切割磁感線其實(shí)是相當(dāng)于改變了磁感線通過回路的面積a，改變磁場強(qiáng)度就是改變了B。不管我是改變了a還是B，它們的乘積B·a（磁通量）肯定都是要改變的。

? ? ? ? 也就是說：只要通過曲面（我們可以把閉合回路當(dāng)作一個(gè)曲面）的磁通量發(fā)生了改變，回路中就會(huì)產(chǎn)生電流，而且磁通量變化得越快，這個(gè)電流就越大。

? ? ? ? 到了這里，我們要表示通過一個(gè)曲面的磁通量應(yīng)該已經(jīng)輕車熟路了。磁通量是B·a，那么通過一個(gè)曲面S的磁通量給它套一個(gè)積分符號(hào)就行了。于是，通過曲面S磁通量可以寫成下面這樣：

? ? ? ? 細(xì)心的同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表達(dá)式跟我們高斯磁場定律里磁通量部分稍微有點(diǎn)不一樣，高斯磁場定律里的積分符號(hào)（拉長的S）中間有一個(gè)圓圈，我們這里卻沒有。高斯磁場定律說“閉合曲面的磁通量恒為0”，那里的曲面是閉合曲面，所以有圓圈。而我們這里的曲面并不是閉合曲面（我們是把電路回路當(dāng)成一個(gè)曲面，考慮通過這個(gè)回路的磁通量），也不能是閉合曲面。因?yàn)榉ɡ诰褪前l(fā)現(xiàn)了“通過一個(gè)曲面的磁通量有變化就會(huì)產(chǎn)生電流”，如果這是閉合曲面，那根據(jù)高斯磁場定律它的磁通量恒為0，恒為0那就是沒有變化，沒變化按照法拉第的說法就沒有電流，那還生什么電？

? ? ? ? 所以，我們要搞清楚，我們這里不再是討論閉合曲面的磁通量，而是一個(gè)非閉合曲面的磁通量，這個(gè)磁通量發(fā)生了改變就會(huì)產(chǎn)生電流，而且變化得越快產(chǎn)生的電流就越大。上面的式子給出的只是通過一個(gè)曲面S的磁通量，但是我們看到了最終決定電流大小的并不是通過曲面的磁通量的大小，而是磁通量變化的快慢。那么這個(gè)變化的快慢我們要怎么表示呢？

? ? ? ? 我們先來看看我們是怎么衡量快慢的。比如身高，一個(gè)人在十二三歲的時(shí)候一年可以長10厘米，我們說他這時(shí)候長得快；到了十七八歲的時(shí)候可能一年就長1厘米，我們就說他長得慢。也就是說，我們衡量一個(gè)量（假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個(gè)變化的時(shí)間dt（比如一年，或者更小），看看這個(gè)量的變化dy是多少，如果這個(gè)量的變化很大我們就說它變化得很快，反之則變化得慢。

? ? ? ? 因此，我們可以用這個(gè)量的變化dy和給定的時(shí)間dt的比值dy/dt來衡量量這個(gè)量y變化的快慢。所以，我們現(xiàn)在要衡量磁通量變化的快慢，那就只需要把磁通量的表達(dá)式替換掉上面的y就行了，那么通過曲面S的磁通量變化的快慢就可以這樣表示：

? ? ? ? 這樣，我們就把磁生電這個(gè)過程中磁的這部分說完了，那么電呢？一個(gè)閉合回路（曲面）的磁通量有變化就會(huì)產(chǎn)生電，那這種電要怎么描述？

11電場的環(huán)流

? ? ? 可能有人覺得磁通量的變化不是在回路里產(chǎn)生了電流么，那么我直接用電流來描述這種電不就行了么？不行，我們的實(shí)驗(yàn)里之所以有電流，是因?yàn)槲覀冇脤?dǎo)線把金屬棒連成了一個(gè)閉合回路，如果我們沒有用導(dǎo)線去連金屬棒呢？那肯定就沒有電流了。

? ? ? ? 所以，電流并不是最本質(zhì)的東西，那個(gè)最本質(zhì)的東西是電場。一個(gè)曲面的磁通量發(fā)生了變化，它就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出一個(gè)電場，然后這個(gè)電場會(huì)驅(qū)動(dòng)導(dǎo)體中的自由電子定向移動(dòng)，從而形成電流。因此，就算沒有導(dǎo)線沒有電流，這個(gè)電場依然存在。所以，我們要想辦法描述的是這個(gè)被感生出來的電場。

? ? ? ? 首先，一個(gè)曲面的磁通量發(fā)生了改變，就會(huì)在在曲面的邊界感應(yīng)出一個(gè)電場，這個(gè)電場是環(huán)繞著磁感線的，就像是磁感線的腰部套了一個(gè)呼啦圈。而且，你這個(gè)磁通量是增大還是減小，決定了這個(gè)電場是順時(shí)針環(huán)繞還是逆時(shí)針環(huán)繞，如下圖：

? ? ? ? 如果我們從上往下看的話，這個(gè)成閉環(huán)的感生電場就是如下圖所示：它在這個(gè)閉環(huán)每點(diǎn)的方向都不一樣，這樣就剛好可以沿著回路驅(qū)動(dòng)帶電粒子，好像是電場在推著帶電粒子在這里環(huán)里流動(dòng)一樣。

? ? ? ? 這里，我們就要引入一個(gè)新的概念：電場環(huán)流，電場的環(huán)流就是電場沿著閉合路徑的線積分。這里有兩個(gè)關(guān)鍵詞：閉合路徑和線積分。閉合路徑好說，你只有路徑是閉合的，才是一個(gè)環(huán)嘛，感生電場也是一個(gè)環(huán)狀的電場。

? ? ? ? 電場的線積分是什么意思呢？因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)這個(gè)感生電場是一個(gè)環(huán)狀電場，它在每一個(gè)點(diǎn)的方向都不一樣。但是，我們依然可以發(fā)動(dòng)微積分的思想：這個(gè)電場在大范圍內(nèi)（比如上面的整個(gè)圓環(huán)）方向是不一樣的，但是，如果在圓環(huán)里取一個(gè)非常小的段dl，電場E就可以看做是一個(gè)恒定的了，這時(shí)候E·dl就是有意義的了。然后把這個(gè)環(huán)上所有部分的E·dl都累加起來，也就是沿著這個(gè)圓環(huán)逐段把E·dl累加起來，這就是對電場求線積分。而這個(gè)線積分就是電場環(huán)流，用符號(hào)表示就是這樣：

? ? ? ? 積分符號(hào)下面的C表示這是針對曲線進(jìn)行積分，不同于我們前面的面積分（下標(biāo)為S），積分符號(hào)中間的那個(gè)圓圈就表示這個(gè)是閉合曲線（電場形成的圓環(huán)）。如果大家已經(jīng)熟悉了前面曲面通量的概念，我想這里要理解電場在曲線上的積分（即電場環(huán)流）并不難。

? ? ? ? 這個(gè)電場環(huán)流有什么物理意義呢？它就是我們常說電動(dòng)勢，也就是電場對沿著這條路徑移動(dòng)的單位電荷所做的功。我這里并不想就這個(gè)問題再做深入的討論，大家只要直觀的感覺一下就行了。你想想這個(gè)電場沿著這個(gè)回路推動(dòng)電荷做功（電場沿著回路推著電荷走，就像一個(gè)人拿著鞭子抽磨磨的驢），這就是電場環(huán)流要傳遞的概念。而用這個(gè)概念來描述變化的磁產(chǎn)生的電是更加合適的，它既包含了感生電場的大小信息，也包含了方向信息。

12方程三：法拉第定律

? ? ? ? 所以，麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程——法拉第定律的最后表述就是這樣的：曲面的磁通量變化率等于感生電場的環(huán)流。用公式表述就是這樣：

? ? ? ? 方程右邊的磁通量的變化率和和左邊的感生電場環(huán)流我們上面都說了，還有一個(gè)需要說明的地方就是公式右邊的這個(gè)負(fù)號(hào)。為什么磁通量的變化率前面會(huì)有個(gè)負(fù)號(hào)呢？

? ? ? ? 我們想想，法拉第定律說磁通量的變化會(huì)感生出一個(gè)電場出來，但是我們別忘了奧斯特的發(fā)現(xiàn)：電流是有磁效應(yīng)的。也就是說，磁通量的變化會(huì)產(chǎn)生一個(gè)電場，這個(gè)電場它自己也會(huì)產(chǎn)生磁場，那么也就有磁通量。那么，你覺得這個(gè)感生電場產(chǎn)生的磁通量跟原來磁場的磁通量的變化會(huì)有什么關(guān)系？

? ? ? ? 假如原來的磁通量是增加的，那么這個(gè)增加的磁通量感生出來的電場產(chǎn)生的磁通量是跟原來方向相同還是相反？仔細(xì)想想你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，答案必然是相反。如果原來的磁通量是增加的，你感生出來的電場產(chǎn)生的磁通量還跟它方向相同，這樣不就讓原來的磁通量增加得更快了么？增加得更快，按照這個(gè)邏輯就會(huì)感生出更強(qiáng)大的電場，產(chǎn)生更大的與原來方向相同的磁通量，然后又導(dǎo)致原來的磁通量增加得更快……

? ? ? ? 然后你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)過程可以無限循環(huán)下去，永遠(yuǎn)沒有盡頭，這樣慢慢感生出無限大的電場和磁通量，這肯定是不可能的。所以，為了維持一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定，你原來的磁通量是增加的，我感生電場產(chǎn)生的磁通量就必然要讓原來的磁通量減小，反之亦然。這就是楞次定律的內(nèi)容，中學(xué)的時(shí)候老師會(huì)編一些口訣讓你記住它的內(nèi)容，但是我想讓你知道這是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)自然而然的要求。楞次定律背后還有一些更深層次的原因，這里我們暫時(shí)只需要知道這是法拉第定律那個(gè)負(fù)號(hào)的體現(xiàn)就行了。

? ? ? ? 到這里，我們就把麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程——法拉第定律的內(nèi)容講完了，它刻畫了變化的磁通量如何產(chǎn)生電場的過程。但是，我們上面也說了，我們這里的磁通量變化包含了兩種情況：導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的磁通量變化和磁場變化導(dǎo)致的磁通量變化。這兩種情況其實(shí)是不一樣的，但是它們居然又可以用一個(gè)統(tǒng)一的公式來表達(dá)，這其實(shí)是非常不自然的，當(dāng)時(shí)的人們也只是覺得這是一種巧合罷了，但是愛因斯坦卻不認(rèn)為這是一種巧合，而是大自然在向我們暗示什么，他最終從這里發(fā)現(xiàn)了狹義相對論，有興趣的同學(xué)可以這里思考一下。

? ? ? ? 也因?yàn)檫@兩種情況不一樣，所以，法拉第定律還有另外一個(gè)版本：它把這兩種情況做了一個(gè)區(qū)分，認(rèn)為只有磁場變化導(dǎo)致的磁通量變化才是法拉第定律，前面導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的磁通量變化只是通量法則。所以我們有時(shí)候就會(huì)看到法拉第定律的另一個(gè)版本：

? ? ? ? 對比一下這兩個(gè)法拉第定律，我們發(fā)現(xiàn)后面這個(gè)只是把那個(gè)變化率從原來的針對整個(gè)磁通量移到了只針對磁場強(qiáng)度B（因?yàn)锽不是只跟時(shí)間t有關(guān)，還可以跟其它的量有關(guān)，所以我們這里必須使用對時(shí)間的偏導(dǎo)的符號(hào)?B/?t），也就是說它只考慮變化磁場導(dǎo)致的磁通量變化。這種形式跟我們后面要說的法拉第定律的微分形式對應(yīng)得更好，這個(gè)后面大家會(huì)體會(huì)到。

? ? ? ? 磁生電的過程我們先講這么多，最后我們來看看電生磁的情況。可能有些人會(huì)覺得我這個(gè)出場次序有點(diǎn)奇怪：明明是奧斯特先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，大概十年后法拉第才發(fā)現(xiàn)了磁如何生電，為什么你卻要先講磁生電的法拉第定律，最后講電生磁呢？

13安培環(huán)路定理

? ? ? ? 確實(shí)，是奧斯特首先爆炸性地發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了原來電和磁之間并不是毫無關(guān)系的。

? ? ? ? 如上圖，假設(shè)電流從下往上，那么它在周圍就會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)環(huán)形的磁場。磁場的方向可以用所謂的右手定則直觀的判斷：手握著導(dǎo)線，拇指指向電流的方向，那么你右手四指彎曲的方向就是磁場B的方向。

? ? ? ? 然后畢奧、薩伐爾和安培等人立馬著手定量的研究電流的磁效應(yīng)，看看一定大小的電流在周圍產(chǎn)生的磁場的大小是怎樣的。于是，我們就有了描述電流磁效應(yīng)的畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理。其中，畢奧-薩伐爾定律就類似于庫倫定律，安培環(huán)路定理就類似于高斯電場定律，因?yàn)樵邴溈怂鬼f方程組里，我們使用的是后一套語言，所以我們這里就只來看看安培環(huán)路定理：

? ? ? ? 安培環(huán)路定理的左邊跟法拉第定律的左邊很相似，這是很顯然的。因?yàn)榉ɡ诙烧f磁通量的變化會(huì)在它周圍產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的電場，而電流的磁效應(yīng)也是在電流的周圍產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的磁場。在上面我們已經(jīng)說了我們是用電場環(huán)流（也就是電場在閉合路徑的線積分）來描述這個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的電場，那我們這里一樣使用磁場環(huán)流（磁場在閉合路徑的線積分）來描述這種旋轉(zhuǎn)閉合的磁場。

? ? ? ? 安培環(huán)路定理的右邊就比較簡單了，μ0是個(gè)常數(shù)（真空磁導(dǎo)率），不用管它。I通常是用來表示電流的，enc這個(gè)右標(biāo)我們在高斯電場定律那里已經(jīng)說過了，它是包含的意思。所以，右邊這個(gè)帶enc的電流I就表示被包含在閉合路徑里的總電流，哪個(gè)閉合路徑呢？那自然就是你左邊積分符號(hào)中間那個(gè)圈圈表示的閉合路徑了。

? ? ? ? 也就是說，安培環(huán)路定理其實(shí)是在告訴我們：通電導(dǎo)線周圍會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場，你可以在這個(gè)電流周圍隨便畫一個(gè)圈，那么這個(gè)磁場的環(huán)流（沿著這個(gè)圈的線積分）就等于這個(gè)圈里包含的電流總量乘以真空磁導(dǎo)率。

? ? ? 那么，這樣就完了么？靜電、靜磁分別由兩個(gè)高斯定律描述，磁生電由法拉第定律描述，電生磁就由安培環(huán)路定理描述？

? ? ? ? 不對，我們看看安培環(huán)路定理，雖然它確實(shí)描述了電生磁，但是它這里的電僅僅是電流（定理右邊只有電流一項(xiàng)）。難道一定要有電流才會(huì)產(chǎn)生磁？電磁感應(yīng)被發(fā)現(xiàn)的原因就是看到奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)電能生磁，所以人們秉著對稱性的原則，覺得既然電能夠生磁，那么磁也一定能夠生電。那么，繼續(xù)秉著這種對稱性，既然法拉第定律說“變化的磁通量能夠產(chǎn)生電”，那么，我們實(shí)在有理由懷疑：變化的電通量是不是也能產(chǎn)生磁呢？

14方程四：安培-麥克斯韋定律

? ? ? ? 那么，為什么描述電生磁的安培環(huán)路定理里卻只有電流產(chǎn)生磁，而沒有變化的電通量產(chǎn)生磁這一項(xiàng)呢？難道當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們沒意識(shí)到這種對稱性么？當(dāng)然不是，當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們也想從實(shí)驗(yàn)里去找到電通量變化產(chǎn)生磁場的證據(jù)，但是他們并沒有找到。沒有找到依然意味著有兩種可能：不存在或者目前的實(shí)驗(yàn)精度還發(fā)現(xiàn)不了它。

? ? ? ? 如果你是當(dāng)時(shí)的科學(xué)家，面對這種情況你會(huì)作何選擇？如果你因?yàn)閷?shí)驗(yàn)沒有發(fā)現(xiàn)它就認(rèn)為它不存在，這樣未免太過保守。但是，如果你僅僅因?yàn)殡姶胖g的這樣一種對稱性（而且還不是非常對稱，因?yàn)榇笞匀焕锏教幊錆M了獨(dú)立的電荷，卻沒有單獨(dú)的磁單極子）就斷定“電通量的變化也一定會(huì)產(chǎn)生磁”這樣未免太過草率。這種時(shí)候就是真正考驗(yàn)一個(gè)科學(xué)家能力和水平的時(shí)候了。

? ? ? ? 麥克斯韋選擇了后者，也就是說麥克斯韋認(rèn)為“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”，但是他并不是隨意做了一個(gè)二選一的選擇，而是在他的概念模型里發(fā)現(xiàn)必須加入這樣一項(xiàng)。而且，只有加上了這樣一項(xiàng)，修正之后的安培環(huán)路定理才能跟高斯電場定律、高斯磁場定律、法拉第定律融洽相處，否則他們之間會(huì)產(chǎn)生矛盾（這個(gè)矛盾我們在后面的微分篇里再說）。麥克斯韋原來的模型太過復(fù)雜，我這里就不說了，這里我用一個(gè)很簡單的例子告訴大家為什么必須要加入“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”這一項(xiàng)。

? ? ? ? 在安培環(huán)路定理里，我們可以隨意選一個(gè)曲面，然后所有穿過這個(gè)曲面的電流會(huì)在這個(gè)曲面的邊界上形成一個(gè)環(huán)繞磁場，問題的關(guān)鍵就在這個(gè)曲面的選取上。按理說，只要你的這個(gè)曲面邊界是一樣的，那么曲面的其他部分就隨便你選，因?yàn)榘才喹h(huán)路定理坐標(biāo)的磁場環(huán)流只是沿著曲面的邊界的線積分而已，所以它只跟曲面邊界有關(guān)。下面這個(gè)例子就會(huì)告訴你即便曲面邊界一樣，使用安培環(huán)路定理還是會(huì)做出相互矛盾的結(jié)果。

? ? ? ? 上圖是一個(gè)包含電容器的簡單電路。電容器顧名思義就是裝電的容器，它可以容納一定量的電荷。一開始電容器是空的，當(dāng)我們把開關(guān)閉合的時(shí)候，電荷在電池的驅(qū)動(dòng)下開始移動(dòng)，移動(dòng)到了電容器這里就走不動(dòng)了（此路不通），然后電荷們就聚集在電容器里。因?yàn)殡娙萜骺梢匀菁{一定量的電荷，所以，當(dāng)電容器還沒有被占滿的時(shí)候，電荷是可以在電路里移動(dòng)的，電荷的移動(dòng)就表現(xiàn)為電流。

? ? ? ? 所以，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們在給電容器充電的時(shí)候，電路上是有電流的，但是電容器之間卻沒有電流。所以，如果我們選擇上圖的曲面，那么明顯是有電流穿過這個(gè)曲面，但是，如果我們選擇下面這個(gè)曲面呢（此處圖片來自《麥克斯韋方程直觀》）？

? ? ? ? 這個(gè)曲面的邊界跟上圖一樣，但是它的底卻托得很長，蓋住了半塊電容器。這是什么意思呢？因?yàn)槲覀冎离娙萜髟诔潆姷臅r(shí)候，電容器里面是沒有電流的，所以，當(dāng)我們把曲面選擇成下面這個(gè)樣子的時(shí)候，根本就沒有電流穿過這個(gè)曲面。

? ? ? ? 也就是說，如果我選上面的曲面，有電流穿過曲面，按照安培環(huán)路定理，它是肯定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)環(huán)繞磁場的。但是，如果我選擇下面的曲面，就沒有電流通過這個(gè)曲面，按照安培環(huán)路定理就不會(huì)產(chǎn)生環(huán)繞磁場。而安培環(huán)路定理只限定曲面的邊界，并不管你曲面的其它地方，于是我們就看到這兩個(gè)相同邊界的曲面會(huì)得到完全不同的結(jié)論，這就只能說明：安培環(huán)路定理錯(cuò)了，或者至少它并不完善。

? ? ? ? 我們再來想一想，電容器在充電的時(shí)候電路中是有電流的，所以它周圍應(yīng)該是會(huì)產(chǎn)生磁場的。但是，當(dāng)我們選擇下面那個(gè)大口袋形的曲面的時(shí)候，并沒有電流穿過這個(gè)曲面。那么，到底這個(gè)磁場是怎么來的呢？

? ? ? ? 我們再來仔細(xì)分析一下電容器充電的過程：電池驅(qū)使著電荷不斷地向電容器聚集，電容器中間雖然沒有電流，但是它兩邊聚集的電荷卻越來越多。電荷越來越多的話，在電容器兩個(gè)夾板之間的電場強(qiáng)度是不是也會(huì)越來越大？電場強(qiáng)度越來越大的話，有沒有嗅到什么熟悉的味道？

? ? ? ? 沒錯(cuò)，電場強(qiáng)度越來越大，那么通過這個(gè)曲面的電通量也就越來越大。因此，我們可以看到雖然沒有電流通過這個(gè)曲面，但是通過這個(gè)曲面的電通量卻發(fā)生了改變。這樣，我們就可以非常合理地把“變化的電通量”這一項(xiàng)也添加到產(chǎn)生磁場的原因里。因?yàn)檫@項(xiàng)工作是麥克斯韋完成的，所以添加了這一項(xiàng)之后的新公式就是麥克斯韋方程組的第四個(gè)方程——安培-麥克斯韋定律：

? ? ? ? 把它和安培環(huán)路定理對比一下，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它只是在在右邊加了變化的電通量這一項(xiàng)，其它的都原封未動(dòng)。E·a是電通量，套個(gè)面積分符號(hào)就表示通過曲面S的電通量，再加個(gè)d/dt就表示通過曲面S電通量變化的快慢。因?yàn)樵谥v法拉第定律的時(shí)候我們詳細(xì)講了通過曲面磁通量變化的快慢，這里只是把磁場換成了電場，其他都沒變。

? ? ? ? ε0是真空中的介電常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)和電通量變化的快慢乘起來就會(huì)得到一個(gè)跟電流的單位相同的量，它就被稱為位移電流，如下圖：

? ? ? ? 所以，我們經(jīng)常能夠聽到別人說麥克斯韋提出了位移電流假說。其實(shí)，它的核心就是添加了“變化的電通量也能產(chǎn)生磁場”這一項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)并沒有實(shí)驗(yàn)?zāi)茏C明這一點(diǎn)，所以只能暫時(shí)稱之為假說。在安培環(huán)路定理里添加了這一項(xiàng)之后，新生的安培-麥克斯韋定律就能跟其他的幾條定律和諧相處了。而麥克斯韋之所以能夠從他的方程組里預(yù)言電磁波的存在，這最后添加這項(xiàng)“變化的電通量產(chǎn)生磁場”至關(guān)重要。

? ? ? 因?yàn)槟阆胂耄A(yù)言電磁波的關(guān)鍵就是“變化的電場產(chǎn)生磁場，變化的磁場產(chǎn)生電場”，這樣變化的磁場和電場就能相互感生傳向遠(yuǎn)方，從而形成電磁波。而變化的電場能產(chǎn)生磁場，這不就是麥克斯韋添加的這一項(xiàng)的核心內(nèi)容么？電場變了，磁通量變了，于是就產(chǎn)生了磁場。至于麥克斯韋方程組如何推導(dǎo)出電磁波，我后面再專門寫文章解釋，這里知道電磁波的產(chǎn)生跟位移電流的假說密切相關(guān)就行了。

15麥克斯韋方程組

? ? ? ? 至此，麥克斯韋方程組的四個(gè)方程：描述靜電的高斯電場定律、描述靜磁的高斯磁場定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的積分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣：

高斯電場定律說穿過閉合曲面的電通量正比于這個(gè)曲面包含的電荷量。

高斯磁場定律說穿過閉合曲面的磁通量恒等于0。

法拉第定律說穿過曲面的磁通量的變化率等于感生電場的環(huán)流。

安培-麥克斯韋定律說穿過曲面的電通量的變化率和曲面包含的電流等于感生磁場的環(huán)流。

? ? ? ? 我們看到，在這里從始至終都占據(jù)著核心地位的概念就是通量。

? ? ? ? 如果一個(gè)曲面是閉合的，那么通過它的通量就是曲面里面某種東西的量度。因?yàn)樽匀唤绱嬖讵?dú)立的電荷，所以高斯電場定律的右邊就是電荷量的大小，因?yàn)槲覀冞€沒有發(fā)現(xiàn)磁單極子，所以高斯磁場定律右邊就是0。

? ? ? ? 如果一個(gè)曲面不是閉合的，那么它就無法包住什么，就不能成為某種荷的量度。但是，一個(gè)曲面如果不是閉合的，它就有邊界，于是我們就可以看到這個(gè)非閉合曲面的通量變化會(huì)在它的邊界感生出某種旋渦狀的場，這種場可以用環(huán)流來描述。因而，我們就看到了：如果這個(gè)非閉合曲面的磁通量改變了，就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出電場，這就是法拉第定律；如果這個(gè)非閉合曲面的電通量改變了，就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出磁場，這就是安培-麥克斯韋定律的內(nèi)容。

? ? ? ? 所以，當(dāng)我們用閉合曲面和非閉合曲面的通量把這四個(gè)方程串起來的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組還是很有頭緒的，并不是那么雜亂無章。閉上眼睛，想象空間中到處飛來飛去的電場線、磁場線，它們有的從一個(gè)閉合曲面里飛出來，有的穿過一個(gè)閉合曲面，有的穿過一個(gè)普通的曲面然后在曲面的邊界又產(chǎn)生了新的電場線或者磁場線。它們就像漫天飛舞的音符，而麥克斯韋方程組就是它們的指揮官。

16結(jié)語

? ? ? 有很多朋友以為麥克斯韋方程組就是麥克斯韋寫的一組方程，其實(shí)不然。如我們所見，麥克斯韋方程組雖然有四個(gè)方程，但是其中有三個(gè)半（高斯電場定律、高斯磁場定律、法拉第定律、安培環(huán)路定理）是在麥克斯韋之前就已經(jīng)有了的，真正是麥克斯韋加進(jìn)去的只有安培-麥克斯韋定律里”電通量的變化產(chǎn)磁場”那一項(xiàng)。知道了這些，有些人可能就會(huì)覺得麥克斯韋好像沒那么偉大了。

? ? ? ? 其實(shí)不然，在麥克斯韋之前，電磁學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)有非常多的實(shí)驗(yàn)定律，但是這些定律哪些是根本，哪些是表象？如何從這一堆定律中選出最核心的幾個(gè)，然后建立一個(gè)完善自洽的模型解釋一切電磁學(xué)現(xiàn)象？這原本就是極為困難的事情。更不用說麥克斯韋在沒有任何實(shí)驗(yàn)證據(jù)的情況下，憑借自己天才的數(shù)學(xué)能力和物理直覺直接修改了安培環(huán)路定理，修正了幾個(gè)定律之間的矛盾，然后還從中發(fā)現(xiàn)了電磁波。所以，絲毫沒有必要因?yàn)辂溈怂鬼f沒有發(fā)現(xiàn)方程組的全部方程而覺得他不夠偉大。

? ? ? ? 最后，如題所示，我這篇文章講的只是麥克斯韋方程組的積分篇，方程都是用積分是形式寫的。因?yàn)榉e分篇主要是從通量，從宏觀的角度來描述電磁學(xué)，所以相對比較容易理解。有積分篇那就意味著還有麥克斯韋方程組的微分篇，微分篇的內(nèi)容我下一篇文章再講。我這篇文章主要參考了《電動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》（格里菲斯）和《麥克斯韋方程直觀》（Daniel Fleisch），大家想對麥克斯韋方程組做進(jìn)一步了解的可以看看這兩本書。

最美的方程，愿你能懂她的美~