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從剛體的廣義運動到正交變換，我們對轉(zhuǎn)動變換的認識也逐漸從對剛體的研究推廣到了一般的矢量。

$\mathrm{\mathbf{I.}}$ 對時變化率與瞬時角速度

$\mathbf{\bullet}$ 當一個物體隨時間運動時，它的位矢通常也會改變，并且從之前的文章我們已經(jīng)了解到，矢量的變化是與它所處參考系息息相關的。

對于一個廣義矢量 $\mathbf{G}$ ，在局部參考系下經(jīng)過時間 $dt$ 后的變化很顯然與在全局參考系下經(jīng)過相同時間的變化不同。

通常，位于這兩個不同參考系下的觀測者測量的變化具有如下關系：

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_b + (d\mathbf{G})_r\\$

即，矢量在全局參考系的變化量（用下角標 $s$ 表示）等于矢量在局部參考系的變化量（用下角標 $b$ 表示）加上矢量因為轉(zhuǎn)動造成的變化量（用下角標 $r$ 表示）。

$\bullet$ 對于一個處于相對局部參考系靜止的參考系中的觀測者而言， $(d\mathbf{G})_b = 0$

所以

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_r\\$

若矢量與物體一起繞轉(zhuǎn)軸逆時針旋轉(zhuǎn)（主動變換），

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_r = d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{G}\\$

所以在一般情況下，對于任意矢量，有

$(d\mathbf{G})_{s} = (d\mathbf{G})_b + d\mathbf{\Omega} \times \mathbf{G}\\$

經(jīng)過時間 $dt$ 的變化率

$\left(\frac{d\mathbf{G}} {dt}\right)_s = \left(\frac{d\mathbf{G}} {dt}\right)_b + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{G}\\$

其中 $\boldsymbol{\omega}\; dt \equiv d\mathbf{\Omega}$ ， $\boldsymbol{\omega}$ 是瞬時角速度，它平行于物體從時間 $t$ 到 $dt$ 瞬時微小轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)軸。

$\bullet$ 因為矢量 $\mathbf{G}$ 具有一般性，可將其從上述等式中去除，表示為算符方程的形式

$\boxed{\left(\fraceg1dsl7 {dt}\right)_s = \left(\fracrvsyqsg {dt}\right)_b + \boldsymbol{\omega} \times} \\$

我們得到了一個矢量的對時變化率在全局慣性系 $s$ 與旋轉(zhuǎn)參考系 $b$ （局部參考系）之間的變換法則。

$\mathrm{\mathbf{I\!I.}}$ 用歐拉角表示角速度矢量

$\bullet$ 廣義微小旋轉(zhuǎn)下的瞬時角速度可以分解為三個矢量： $\begin{cases}\omega_{\phi} = \dot{\phi}\\\omega_{\theta} = \dot{\theta}\\\omega_{\psi} = \dot{\psi}\end{cases}$

$\boldsymbol{\omega}_{\psi}$ 沿局部參考系 $z^{\prime}$ 軸的方向，使用正交變換矩陣，可以得到三者沿對應軸的分量。

已知

$\rm{R}(\phi,\theta,\psi) = \begin{bmatrix}\cos\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\sin\psi & \cos\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\sin\psi & \sin\psi\sin\theta\\-\sin\psi\cos\phi - \cos\theta\sin\phi\cos\psi & -\sin\psi\sin\phi + \cos\theta\cos\phi\cos\psi & \cos\psi\sin\theta\\\sin\theta\sin\phi & -\sin\theta\cos\phi & \cos\theta \end{bmatrix}\\$

根據(jù) $x$ -順規(guī)，在局部坐標系下：

（1）矢量 $\boldsymbol{\omega}_{\phi}$ 沿全局參考系 $z$ -軸方向

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\phi}^{\prime} &= \rm{R}\boldsymbol{\omega}_{\phi}\\\begin{pmatrix}\omega_{\phi x^{\prime}}\\\omega_{\phi y^{\prime}}\\\omega_{\phi z^{\prime}}\end{pmatrix}&= \rm{R}\begin{pmatrix}0\\0\\\dot{\phi}\end{pmatrix} \end{align*}\\$

$\begin{align*} \omega_{\phi x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi\\\omega_{\phi y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi\\\omega_{\phi z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta\end{align*}\\$

（2） $\boldsymbol{\omega}_{\theta}$ 沿交點線方向

$\mathbf{x}^{\prime} = \begin{bmatrix}\cos\psi & \sin\psi & 0\\-\sin\psi & \cos\psi& 0\\ 0&0&1\end{bmatrix}\\$

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime} \boldsymbol{\omega}_{\theta}\\\boldsymbol{\omega}_{\theta}^{\prime} &= \rm{x}^{\prime}\begin{pmatrix}\dot{\theta} \\ 0\\0\end{pmatrix} \end{align*}\\$

$\begin{align*}\omega_{\theta x^{\prime}} &= \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{\theta y^{\prime}} &= -\dot{\theta}\sin\psi\\\omega _{\theta z^{\prime}} &= 0\end{align*}\\$

（3） $\boldsymbol{\omega}_{\psi}$ 沿局部參考系 $z^{\prime}$ 軸方向，不需要再次進行正交變換

$\begin{align*}\omega_{\psi x^{\prime}} &= 0\\\omega_{\psi y^{\prime}} &= 0\\\omega_{\psi z^{\prime}} &= \dot{\psi}\end{align*}\\$

$\boxed{\boldsymbol{\omega}_{\psi} = \dot{\psi}\mathbf{k}^{\prime}}\\$

于是

$\begin{align*}\boldsymbol{\omega} &= \boldsymbol{\omega}_{\phi} + \boldsymbol{\omega}_{\theta} + \boldsymbol{\omega}_{\psi}\\&= (\dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi)\mathbf{i}^{\prime} + (\dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi)\mathbf{j}^{\prime} + (\dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi})\mathbf{k}^{\prime}\end{align*}\\$

$\begin{align*}\omega_{x^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\sin\psi + \dot{\theta}\cos\psi\\\omega_{y^{\prime}} &= \dot{\phi}\sin\theta\cos\psi - \dot{\theta}\sin\psi\\\omega_{z^{\prime}} &= \dot{\phi}\cos\theta + \dot{\psi}\end{align*}\\$