橢圓_beta_2.5.png

Abstract

萬有引力定律被普遍認為與兩個物體之間的距離平方的反比有關，從1687年牛頓的總結到如今，平方反比定律經過無數次的檢驗，依然保持著高度的準確性。本文將以星體運動為背景粗略探討平方反比律。

宇宙中每個質點都以一種力吸引其他各個質點。這種力與各質點的質量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比。
Every particle in the universe attracts every other particle with a force that is directly proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them.
<center> ——艾薩克·牛頓，《自然哲學的數學原理》</center>

Background

太陽系是被太陽的引力系結在一起的系統，包括軌道直接或間接繞行它的天體。軌道環繞太陽的天體被分為三類：行星、矮行星、和太陽系小天體。太陽系中的各星體在萬有引力的作用下，形成各自形狀，運行軌道相對穩定的狀態。

平方反比律，即萬有引力定律：
$$F = G \frac{m_1m_2}{r^2}$$
$G = (6.67408 \pm 0.00031)\times 10^{-11}m3/(kg\cdot s^2)$

在兩個物體之間的距離遠大于物體的幾何尺寸時，物體可以近似看作質點，這個公式才是適用的。

當我們讓$$F = G \frac{m_1m_2}{r^{\beta}}$$
中的 $\beta$ 不等于$2$時，有趣的事發生了。

Fist Things First: Draw A Planetary Orbit

Pure Code

在物體運動軌跡呈周期性時，不應使用歐拉法直接計算運動軌跡，而是采用Euler-Cromer method 進行 Numerical Computation。

<center>Pseudocode for Planet Orbit Calc</center>

• $F_{G,x}=-\frac{GM_SM_E}{r^{{\beta}}cos\theta=-\frac{GM_SM_Ex}{r}{\beta+1}}$

• At each time step $i$ calculate the position$(x,y)$ and velocity $(v_x,v_y)$ for time step $i+1$.

• Calc the distance $r_i$ from the sun:$r_i=(x^2_i+y2_x)^{1/2}$

• Compute $v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{4\pi x_i}{r^{\beta+1}i}\Delta t$ and $v{y,i+1}=v_{y,i}-\frac{4\pi y_i}{r^{\beta+1}_i}\Delta t$
• The Euler-Cromer step:$x_{i+1}=x_i+v_{x,i+1}\Delta t$, $y_{i+1}=y_i+v_{y,i+1}\Delta t$
  Repeat...

注意，在太陽系中由于星體本身質量巨大，距離遠，軌道周期長，使用國際單位制顯然不合適，于是我們使用天文單位：

可以由計算得到：當$v_{x,0}=0,v_{y,0}=2\pi(AU/yr)$時，行星運動軌跡是一個標準圓。實際中八大行星的運動軌跡都不是標準的圓，水星(Mercury)的離心率甚至達到了0.206左右。地球的離心率約為0.017。還是挺圓的。

那么我們可以通過改變初速度$v_0$的方式使行星運動軌跡接近真實情況。

Who Changes the $\beta$ ?

平方反比律.png

• 不同$\beta$值下，橢圓行星軌跡的變化，注意$\beta=3$時，可憐的行星被巨大的萬有引力拉向了太陽，在質點模型下這個小可憐在被拉向中心后會被筆直地甩開，呈幾乎勻速直線運動遠離中心。

上圖使用$\Delta t = 0.001 (yr),Total time=2,2,1,3,0.263(approximate)(yr)$繪制多周期軌跡。從子圖1中看一看出即使$\beta=2$，軌跡在遠離近日點/遠日點處抖動也十分嚴重。于是我們進一步作死縮小時間步長。

[]

• 于是將$\Delta t$ 縮小至$ 0.001 (yr)$，卻帶來了計算量暴增的問題。為此引入numba庫對運算函數進行編譯和硬件優化，以減少運算時間：

from numba import jit
# Exercise 4.9
#使用@jit讓函數在運行前被編譯，有利于加速運算，
@jit
def cruisingx(beta,total_time,initvy):
    initx = 1
    inity = 0
    ...
@jit
def cruisingy(beta,total_time,initvy):
...

total_time = 100
no @jit: @6.209s taken for {drawpic},
using @jit: @0.975s taken for {drawpic}

total_time = 500
no @jit: @30.116s taken for {drawpic}
using @jit: @2.812ss taken for {drawpic}

• 重新繪制的圖像。

局部比較.gif

• 在$\beta=2$時，即使時間長達100年，積累誤差也不會太大。

different $\beta$ for circular orbit

將$\beta$取不同值時的行星運動軌跡畫出，在軌跡穩定的前提下，將時間盡可能取長，上限1000年（時間再長的話在屏幕上畫出圖像的時間會遠遠超過計算軌跡的時間...）。

穩定性.png

• 第一行為$\beta < 3$時的軌道，為了不使圖中軌道過于稠密，我將前四個圖軌道中的點按隔數千個取值一次的方式畫出軌跡圖。

可見在$\beta < 3$時，圓軌道都在相當一段時間內是穩定的。$\beta > 3$以后，軌跡會在段時間內被吸向中心。接下來會發生什么我就不得而知了。

beta3_finer.gif

• 如果中心只是個質點，那么這可憐的星球不但會被拉向中心，還在某一刻速度達到逃逸速度，掙脫引力，逃離中心，飛出太陽系，飛向宇宙深處......

扯遠了。時間縮短至20年，并且將運動軌跡局部放大，（當然，$\beta > 3$時我們只取軌道逃逸前的最長時間）

在$\beta > 3$時，星球們會被牛頓萬有引力如何玩弄：

beta3.001_finer.png

• $\beta = 3.001,total time = 50(yr)$，僅僅半生時間，這顆星球便已躁動不安。

beta3.01_fine.png

• $\beta = 3.01,total time = 50(yr)$，這不是，小時候經常看到廣告的大大卷么
• 可以想象，行星先向心運動，再離心運動，在某一刻萬有引力再也拉不住這顆脫韁的行星，這顆星

我們還注意到，在第一幅圖中，在$\beta = 3.0$時，軌道軌跡線同時向內向外延展了，那么是在什么時候做向心運動，又是在什么時候做離心運動呢？

beta3_0-250.png

beta3_250-500.png

• 上圖為前250年，下圖為后250年的軌跡采樣。我們可知，大致在200年前后，行星運動模式由向心變為離心。

beta3_500年.gif

different $\beta$ for elliptical orbit

按照上面的格式，我們依然取同樣的$\beta$值，但是降低初速度，使軌道變為橢圓。易證，遠日點的速度小于$2\pi (AU/yr)$，近日點速度大于$2\pi (AU/yr)$。

穩定性橢圓.png

• 很明顯，橢圓軌道在$\beta$取值變化時具有更低的穩定性。

第一行第三幅圖，同樣的時間，同樣的$\beta$值，橢圓軌道中的行星已經走遠...
$\beta=3$時亦然，圓軌道情況想還能保持近似圓形的圖案。

以上大致能說明，在$\beta \neq 2$時，橢圓軌道的穩定性是遠不如圓軌道的。

原因分析：橢圓軌道每個點速度不同。在近日點/遠日點動能達到極大/極小，而動能的不一致容易導致軌道穩定性崩塌。

將時間不同程度縮短以使所有軌跡都呈現：

穩定性橢圓1.png

穩定性橢圓局部.png

Different initial velocity for the same $\beta$

由上面討論可知，同樣的$\beta$值，圓軌道穩定性大于橢圓軌道，現猜測同樣初始位置，初速度越小的橢圓軌道越不穩定。

橢圓_beta_2.1.png

橢圓_beta_2.5.png

• 由上圖知。

1.4附近.png

beta_2.4.png

將同一$\beta$值下的圓和橢圓軌道繪制在一張圖內：

橢圓雙子2.1.gif

橢圓雙子2.5.gif

Conclusion

經過以上討論，才進一步認識到平方反比律，其中平方二字的重要性，幾乎是這個世界存在之合理性的最重要解釋。感謝這個有序的世界。

Acknowledgements!

• Compiling Python code with @jit
• 彭辰銘和邱偉與我討論了圓軌道在$\beta=3.0$時軌道的運動趨勢。
• 課本？