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伽馬函數(shù)

伽馬函數(shù)可以通過歐拉（Euler）第二類積分定義：
$\Gamma(x) = \int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx$
其中參數(shù) $\alpha>0$

伽馬函數(shù)的性質：
$1.\Gamma(1)=1,\Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}\\ 2.\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)(可用分部積分法證得)\\ 當\alpha為自然數(shù)n時，有\(zhòng)Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n!$

伽馬分布

若隨機變量X的密度函數(shù)為
$f(z)=\left\{ \begin{array}{rcl}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x},x\geq0\\ 0 , x<0 \end{array}\right.$
則稱X服從伽馬分布，記作 $X\sim Ga(\alpha,\lambda)$ ,其中 $\alpha >0$ 為形狀參數(shù)， $\lambda >0$ 為尺度參數(shù)。

伽馬分布的數(shù)學期望和方差

$E(X) =\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int _0^\infty x^{\alpha}e^{-\lambda x}\\ =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\lambda}=\frac{\alpha}{\lambda}\\ E(X^2) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\int _0^\infty x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}\\ =\frac{\Gamma(\alpha+2)}{\Gamma(\alpha)}\frac{1}{\lambda^2}=\frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2}\\ Var(X) = E(X^2)-E(X)^2 = \frac{\alpha}{\lambda^2}$

伽馬分布的兩個特例

（1） $\alpha=1$ 時的伽馬分布就是指數(shù)分布，即
$Ga(1,\lambda)=Exp(\lambda)$
（2）稱 $\alpha=n/2,\lambda=1/2$ 時的伽馬分布是自由度為n的卡方分布，記為 $\chi^2(n)$ ,即
$Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})=\chi^2(n)$
密度函數(shù)為
$f(z)=\left\{ \begin{array}{rcl}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},x\geq0\\ 0 , x<0 \end{array}\right.$
這里的n是 $\chi^2$ 分布的唯一參數(shù)，稱為自由度，它可以是正實數(shù)，但更多的是取正整數(shù)， $\chi^2$ 分布是統(tǒng)計學中的一個重要分布。