優化算法中梯度下降算法的編程實現

簡介

梯度下降算法是運籌學的基礎數學方法，用來求解運籌學所構造的數學問題。

本文在Linux平臺下，采用C++語言編寫梯度下降算法的實現程序。

程序的基本思路是以虛基類構建計算流程，以繼承類定義代價函數(Cost Function)的形式，代價函數由用戶自定義，繼承關系由C++的多態特性輔助。

優化算法通過三個部分實現，殘差塊(Residual Block)構造、代價函數(Cost Function)構造和優化計算(Optimization)。由于優化計算的框架是固定的，只有具體到殘差塊函數、代價函數等是不同的，因此將優化計算整體拆分為計算框架和具體內容兩個部分，其中的計算框架部分由程序構造，具體內容由用戶自定義。為了達成這一思路，程序以虛基類構建計算流程，以繼承類定義殘差塊、代價函數等的形式，代價函數由用戶自定義，繼承關系由C++的多態特性輔助。

程序包含三個虛基類，殘差塊類(ResidualBlockFunction)、代價函數類(CostFunction)和優化算法管理類(OptimizationManager)，殘差塊類負責定義殘差塊的數學結構，為最基礎的類；代價函數類負責構造代價函數的數學結構，該結構通過殘差塊構造，并且負責代價函數的導數求解，導數使用數值微分的方法進行求解；優化算法管理類統籌整個優化計算的實現過程。

虛基類名稱以"User"開頭，繼承類名稱以描述自身目標的詞匯而非"User"開頭。

程序結構

殘差塊類

殘差塊類包含兩個部分，虛基類和繼承類。虛基類名為"UserResidualBlockFunction"，繼承類名為"PolyResidualBlockFunction"。

代價函數類

代價函數類包含兩個部分，虛基類"UserCostFunction"和繼承類"SteepestCostFunction"。

代價函數類由優化算法管理類調用，負責為優化算法管理類提供代價函數的函數值、一階導數值（也稱為梯度、Jacobi）、二階導數（即黑森矩陣，Hessian Matrix）等，因此其核心功能是計算代價函數值、計算代價函數的導數值。同時，代價函數類負責管理殘差塊，由此，代價函數類的核心功能還包括殘差塊的添加。

一個典型的代價函數類的虛基類如下，核心功能所指的函數包括了添加計算代價函數值bool CostFunction，計算代價函數的一階導數值bool DerivativesFunction，殘差塊函數void AddResidualBlock。而其它函數是用于輔助核心功能的，包括計算代價函數對某一參數的一階偏導數值的函數bool GetOneDerivative，設定迭代步長void SetStepLength。

在虛基類的這些函數中，有一部分是純虛函數(Pure Virtual Function)，它們的定義交由繼承類完成，并且繼承類必須定義，否則程序無法完成編譯。這些函數都是與用戶的選擇掛鉤的，包括添加殘差塊函數和計算代價函數值的函數。殘差塊和代價函數必須由用戶自行定義，雖然在大量研究文獻中，殘差塊都定義為觀測數值與理論數值之差，代價函數都定義為殘差塊的平方和，但這不代表殘差塊和代價函數沒有其它定義方式，因此，這兩個函數的定義交由繼承類完成。

class UserCostFunction
{
    public:
        UserCostFunction(string name, int SizeObservations, int SizeVariables, int SizeResiduals);
        ~UserCostFunction();

    public:
        // pure virtual
        virtual void AddResidualBlock(vector<double> observations) = 0;
        virtual bool CostFunction(vector<double> variables, vector<double> &CostFunctionValues)=0;

    public:
        // virtual
        virtual bool GetOneDerivative(int VarialbleID, vector<double> variables, double &theDerivativeValue);

    public:                                                                                                                                                                                                      
        bool DerivativesFunction(vector<double> variables, vector<double> &theDerivatives);
        void SetStepLength(double delta);

    public:
        virtual void Show() = 0;

    protected:
        vector<UserResidualBlockFunction*> ResidualBlockFunctions_;
        int SizeObservations_;
        int SizeVariables_;
        int SizeResiduals_;

        // for derivative calculation
        double delta_;

    private:
        string name_;
};

<center>虛基類"UserCostFunction"的頭文件部分</center>

class SteepestCostFunction : virtual public UserCostFunction
{
    public:
        SteepestCostFunction(string name, int SizeObservations, int SizeVariables, int SizeResiduals);                                                                                                           
        ~SteepestCostFunction();
            
    public:
        void Show();

    public:
        virtual void AddResidualBlock(vector<double> observations);
        virtual bool CostFunction(vector<double> variables, vector<double> &CostFunctionValues);

    public:
        virtual bool GetOneDerivative(int VarialbleID, vector<double> variables, double &theDerivativeValue);

    private:
        string name_;
};

<center>繼承類"SteepestCostFunction"的頭文件部分</center>

代價函數值的計算框架

本文設定代價函數為 $F(A)$ ，殘差塊為 $f_i(A)$ ，參量以矩陣形式表達，這里假設參量數量為3，則參量為 $A[a_0,a_1,a_2]^T$ ，觀測數據為 $x_i$ 和 $y_i$ ，假設其理論數學關系符合三階多項式， $y_i=a_0+a_1x_i+a_2x_i^2$ 。雖然代價函數 $F(A)$ 的形式可以根據用戶實際使用而不同，但殘差塊的平方和形式仍然在大量文獻中被采用，如下。
$F(A) = \sum_{i=1}^{m} {(f_i(A))^2}$
殘差塊 $f_i(A)$ 也面臨相同的情況，雖然可以根據用戶使用情況而不同，但觀測值與理論值之差的形式依然是廣泛使用的形式，如下。
$f_i(A) = y_i-(a_0+a_1x_i+a_2x_i^2)$
采用上述形式，則代價函數可以表示如下。
$F(A)= (y_0-(a_0+a_1x_0+a_2x_0^2))^2 \\ +(y_1-(a_0+a_1x_1+a_2x_1^2))^2 \\+\cdots \\+ (y_m-(a_0+a_1x_m+a_2x_m^2))^2$
代價函數值的計算由函數bool CostFunction完成，由于該函數是核心功能，其名稱必須固定，因此該函數作為虛基類"UserCostFunction"的純虛函數進行聲明，在繼承類"PolyResidualBlockFunction"中進行定義。