因為一些原因， 這次的作業晚了一天寫。 很抱歉。

11. Container With Most Water

題目意思很簡單： 給出a_1, a_2, ..., a_n總共n個非負整數，求出一對a_i、a_j(i < j)， 滿足min(a_i, a_j)*(j - i)是最大的。

解決思路

我們可以記S_ij = min(a_i, a_j)*(j - i)。
可以證明：當a_i < a_j時， 一定有S_ij > S_ik ( i < k < j)。 證明如下：
因為a_i < a_j， 所以有S_ij = a_i * (j -i)
如果a_k <= a_i， 顯然有S_ij > S_ik，
而若a_k > a_i，S_ik = a_i * (k - i) < a_i * (j - i)。證畢

類似地可以證得到: 當a_i > a_j時， 一定有S_ij > S_kj ( i < k < j)。
且當a_i = a_j時，可以歸入到前面兩種情況的任意一種中去。

有了上述結論，我們就可以得到一個解決的方法：
① 令i = 1， j = n
② 從a_i， a_j較小的那一邊開始迭代。
若a_i <= a_j，則令k從(i+1)開始遞增，直到找到S_kj > S_ij時， 令i = k，然后重復②，或k > j時，跳到③
若a_i > a_j， 則令k從(j-1)開始遞減，知道找到S_ik > S_ij時，令j = k， 然后重復②， 或k < i時， 跳到③
③程序運行結束， 答案就是S_ij。

時間復雜度為O(n)

以下為源代碼:
(源代碼中的實現與上述描述的實現不完全一致， 但整體上思路是相同的）

class Solution:
    def maxArea(self, height):
        """
        :type height: List[int]
        :rtype: int
        """
        i = 0
        j = len(height) - 1
        S = 0
        while (i < j):
            T = min(height[i], height[j]) * (j - i)
            if (T > S):
                S = T
            if (height[i] == height[j]):
                i += 1
                j -= 1
            elif (height[i] < height[j]):
                i += 1
            else:
                j -= 1
        return S

120. Triangle

題目概述：給定一個數字三角形， 找到一條從頂至底的最短路徑，每一步可以從一行已到下一行正下方的相鄰兩個元素之一。例如， 給定下面的數字三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

最短的從頂至底的路徑長度為11（2+3+5+1=11）。

解決思路

動態規劃例題。記F[i, j]是走到第i行第j個元素時最短的路徑長度。轉移方程為：
F[i, j] = min(F[i - 1, j - 1], F[i - 1, j]) + a[i, j]
邊界條件為F[0, 0] = a[0, 0]
注意判斷數組越界條件。
答案是min(F[n, i]) (1 <= i <= n) （假設三角形有n層）
時間復雜度為O(n^2)， n為三角形層數
以下為源代碼：
(源代碼中使用了滾動數組)

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle):
        """
        :type triangle: List[List[int]]
        :rtype: int
        """
        f = [triangle[0][0]]
        g = []
        for i in range(1, len(triangle)):
            g.append(f[0] + triangle[i][0])
            for j in range(1, i):
                g.append(min(f[j - 1], f[j]) + triangle[i][j])
            g.append(f[len(f) - 1] + triangle[i][i])
            f = g
            g = []
        return min(f)

153. Find Minimum in Rotated Sorted Array

題目概述：給定某個遞增序列旋轉后的結果， 求出這個遞增序列中最小數。（假定這個序列沒有相同的兩個元素）。（什么是旋轉？ 大概意思就是指選定任意一位關鍵位i(pivot)， 把序列中i~n個元素放到序列的前n-i+1位， 把序列中0~(i-1)個元素放到序列的后i位中）

解決思路

若關鍵位i不為0（即沒有旋轉），則旋轉后的序列一定滿足以下條件:
存在一個j(≠0)， 滿足a[j] < a[j + 1] < ... < a[n] < a[0] < a[1] < ... < a[j - 1]
我們的目標就是要找到這個j，答案就是a[j]。
有了這個條件，可以考慮使用二分法來解決這個問題：
① 初始化二分區間邊界left = 0, right = n
② 取二分區間的中值mid = (left + right)/2。
若a[mid] > a[right]，目標值在二分區間的右半部分(不包括mid)，更新left = mid + 1。
若a[mid] < a[right]，目標值在二分區間的左半部分(包括mid)，更新right = mid。
時間復雜度為O(logn)
源代碼:

class Solution:
    def findMin(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        left = 0
        right = len(nums) - 1
        while (right > left):
            mid = int((left + right) / 2) 
            if nums[mid] > nums[right]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        return nums[right]