因為一些原因, 這次的作業晚了一天寫。 很抱歉。
11. Container With Most Water
題目意思很簡單: 給出a_1, a_2, ..., a_n總共n個非負整數,求出一對a_i、a_j(i < j), 滿足min(a_i, a_j)*(j - i)是最大的。
解決思路
我們可以記S_ij = min(a_i, a_j)*(j - i)。
可以證明:當a_i < a_j時, 一定有S_ij > S_ik ( i < k < j)。 證明如下:
因為a_i < a_j, 所以有S_ij = a_i * (j -i)
如果a_k <= a_i, 顯然有S_ij > S_ik,
而若a_k > a_i,S_ik = a_i * (k - i) < a_i * (j - i)。證畢
類似地可以證得到: 當a_i > a_j時, 一定有S_ij > S_kj ( i < k < j)。
且當a_i = a_j時,可以歸入到前面兩種情況的任意一種中去。
有了上述結論,我們就可以得到一個解決的方法:
① 令i = 1, j = n
② 從a_i, a_j較小的那一邊開始迭代。
若a_i <= a_j,則令k從(i+1)開始遞增,直到找到S_kj > S_ij時, 令i = k,然后重復②,或k > j時,跳到③
若a_i > a_j, 則令k從(j-1)開始遞減,知道找到S_ik > S_ij時,令j = k, 然后重復②, 或k < i時, 跳到③
③程序運行結束, 答案就是S_ij。
時間復雜度為O(n)
以下為源代碼:
(源代碼中的實現與上述描述的實現不完全一致, 但整體上思路是相同的)
class Solution:
def maxArea(self, height):
"""
:type height: List[int]
:rtype: int
"""
i = 0
j = len(height) - 1
S = 0
while (i < j):
T = min(height[i], height[j]) * (j - i)
if (T > S):
S = T
if (height[i] == height[j]):
i += 1
j -= 1
elif (height[i] < height[j]):
i += 1
else:
j -= 1
return S
120. Triangle
題目概述:給定一個數字三角形, 找到一條從頂至底的最短路徑,每一步可以從一行已到下一行正下方的相鄰兩個元素之一。例如, 給定下面的數字三角形:
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
最短的從頂至底的路徑長度為11(2+3+5+1=11)。
解決思路
動態規劃例題。記F[i, j]是走到第i行第j個元素時最短的路徑長度。轉移方程為:
F[i, j] = min(F[i - 1, j - 1], F[i - 1, j]) + a[i, j]
邊界條件為F[0, 0] = a[0, 0]
注意判斷數組越界條件。
答案是min(F[n, i]) (1 <= i <= n) (假設三角形有n層)
時間復雜度為O(n^2), n為三角形層數
以下為源代碼:
(源代碼中使用了滾動數組)
class Solution:
def minimumTotal(self, triangle):
"""
:type triangle: List[List[int]]
:rtype: int
"""
f = [triangle[0][0]]
g = []
for i in range(1, len(triangle)):
g.append(f[0] + triangle[i][0])
for j in range(1, i):
g.append(min(f[j - 1], f[j]) + triangle[i][j])
g.append(f[len(f) - 1] + triangle[i][i])
f = g
g = []
return min(f)
153. Find Minimum in Rotated Sorted Array
題目概述:給定某個遞增序列旋轉后的結果, 求出這個遞增序列中最小數。(假定這個序列沒有相同的兩個元素)。(什么是旋轉? 大概意思就是指選定任意一位關鍵位i(pivot), 把序列中i~n個元素放到序列的前n-i+1位, 把序列中0~(i-1)個元素放到序列的后i位中)
解決思路
若關鍵位i不為0(即沒有旋轉),則旋轉后的序列一定滿足以下條件:
存在一個j(≠0), 滿足a[j] < a[j + 1] < ... < a[n] < a[0] < a[1] < ... < a[j - 1]
我們的目標就是要找到這個j,答案就是a[j]。
有了這個條件,可以考慮使用二分法來解決這個問題:
① 初始化二分區間邊界left = 0, right = n
② 取二分區間的中值mid = (left + right)/2。
若a[mid] > a[right],目標值在二分區間的右半部分(不包括mid),更新left = mid + 1。
若a[mid] < a[right],目標值在二分區間的左半部分(包括mid),更新right = mid。
時間復雜度為O(logn)
源代碼:
class Solution:
def findMin(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
left = 0
right = len(nums) - 1
while (right > left):
mid = int((left + right) / 2)
if nums[mid] > nums[right]:
left = mid + 1
else:
right = mid
return nums[right]