中國剩余定理
這個定理之前沒見過，是在RSA算法原理（一）中提到的，想深入了解的可以去讀下。
故事背景
- 韓信點(diǎn)兵
秦朝末年，楚漢相爭。一次，韓信將1500名將士與楚王大將李鋒交戰(zhàn)。苦戰(zhàn)一場，楚軍不敵，敗退回營，漢軍也死傷四五百人，于是韓信整頓兵馬也返回大本營。當(dāng)行至一山坡，忽有后軍來報，說有楚軍騎兵追來。只見遠(yuǎn)方塵土飛揚(yáng)，殺聲震天。漢軍本來已十分疲憊，這時隊伍大嘩。韓信兵馬到坡頂，見來敵不足五百騎，便急速點(diǎn)兵迎敵。他命令士兵3人一排，結(jié)果多出2名；接著命令士兵5人一排，結(jié)果多出3名；他又命令士兵7人一排，結(jié)果又多出2名。韓信馬上向?qū)⑹總冃迹何臆娪?073名勇士，敵人不足五百，我們居高臨下，以眾擊寡，一定能打敗敵人。漢軍本來就信服自己的統(tǒng)帥，這一來更相信韓信是“神仙下凡”、“神機(jī)妙算”。于是士氣大振。一時間旌旗搖動，鼓聲喧天，漢軍步步進(jìn)逼，楚軍亂作一團(tuán)。交戰(zhàn)不久，楚軍大敗而逃。
題目就是：將軍點(diǎn)兵，三三數(shù)余2，五五數(shù)余3，七七數(shù)余2。問兵幾何？
- 孫子算經(jīng)
今有物，不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二，五五數(shù)之，剩三，七七數(shù)之，剩二，問物幾何？
答曰：二十三
術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得。
《孫子算經(jīng)》里給出了解決辦法
步驟一
除3余2 -> 取140
除5余3 -> 取63
除7余2 -> 取30
步驟二：
對上面取到的數(shù)求和
140 + 63 + 30 = 233
步驟三
用上面求出的結(jié)果減去210，就是結(jié)果
233 - 210 = 23
結(jié)果也就是23了
不過那140，63，30，還有210是怎么來的呢？這就涉及到中國剩余定理的算法原理了。
中國剩余定理原理
#題目：
設(shè)要求的數(shù)為x，每個除法的結(jié)果分別為k1，k2，k3，那么就有：
[1] x / 3 = k1 + 2
[2] x / 5 = k2 + 3
[3] x / 7 = k3 + 2
1.對步驟一中的式子1求解過程為：取式子2和式子3中除數(shù)（5和7）的最小公倍數(shù)LCM（35），
然后把這個LCM作為x帶入式子1。如果LCM不能適應(yīng)式子1，就對LCM再加上一個LCM，
然后帶入式子1中......直到滿足式子1為止。
按照這個求解過程，分別對3個式子求解，取到的結(jié)果為：35，63，30
2.把上面求到的結(jié)果求和
35 + 63 + 30 = 128
3.這里對3個式子的除數(shù)取最小公倍數(shù)
3，5，7的最小公倍數(shù)為105
然后用上面的結(jié)果減去這個最小公倍數(shù)，就是結(jié)果了
128 - 105 = 23
這里估計有人要問了：這個35也不是140，而且105也不等于210??？！ 這個不用糾結(jié)，這個跟古代數(shù)學(xué)的發(fā)展史有關(guān)嘛！ 當(dāng)然，這是我瞎說的，想要深挖的可以去研究下相關(guān)資料。
下面具體說代碼實(shí)現(xiàn)
首先創(chuàng)建個model類，類里面有除數(shù)和余數(shù)2個屬性，然后提供一個便利構(gòu)造器，方便使用
@interface CRTModel : NSObject
@property (assign, nonatomic) NSInteger divider;
@property (assign, nonatomic) NSInteger remain;
+(instancetype)modelWithDivider:(NSInteger)divider
remain:(NSInteger)remain;
@end
@implementation CRTModel
+(instancetype)modelWithDivider:(NSInteger)divider remain:(NSInteger)remain
{
CRTModel *model = [[self alloc] init];
model.divider = divider;
model.remain = remain;
return model;
}
@end
還需要用到2個函數(shù)，最大公約數(shù)GCD和最小公倍數(shù)LCM
-(NSInteger)gcdOf:(NSInteger)a and:(NSInteger)b
{
//這里使用歐幾里德算法
static const NSInteger(^GCDRecursionBlock)(NSInteger,NSInteger)
= ^(NSInteger ra, NSInteger rb){
if (!ra || !rb) return MAX(ra, rb);
return GCDRecursionBlock(rb,ra%rb);
};
return GCDRecursionBlock(a,b);
}
//最小公倍數(shù)
-(NSInteger)lcmOf:(NSInteger)a and:(NSInteger)b
{
return a * b / [self gcdOf:a and:b]; //最小公倍數(shù)等于兩數(shù)之積除以最大公約數(shù)
}
然后開始實(shí)現(xiàn)算法
0.先創(chuàng)建3個Model，把題目"抄"一遍
CRTModel *model1 = [CRTModel modelWithDivider:3 remain:2];
CRTModel *model2 = [CRTModel modelWithDivider:5 remain:3];
CRTModel *model3 = [CRTModel modelWithDivider:7 remain:2];
1.取到算法中步驟1的結(jié)果：
-(NSInteger)getSubMinNumberOfDivider1:(NSInteger)divider1
divider2:(NSInteger)divider2
andDivider3:(NSInteger)divider3
remainOf3:(NSInteger)remainOf3
{
NSInteger lcm = [self lcmOf:divider1 and:divider2];
NSInteger result = lcm;
while ((result % divider3) != remainOf3) {
result += lcm;
}
return result;
}
NSInteger a = [self getSubMinNumberOfDivider1:model1.divider divider2:model2.divider andDivider3:model3.divider remainOf3:model3.remain];
NSInteger b = [self getSubMinNumberOfDivider1:model2.divider divider2:model3.divider andDivider3:model1.divider remainOf3:model1.remain];
NSInteger c = [self getSubMinNumberOfDivider1:model3.divider divider2:model1.divider andDivider3:model2.divider remainOf3:model2.remain];
2.求和
NSInteger sum = a + b + c;
3.求全部除數(shù)的最小公倍數(shù)，然后求結(jié)果
//使用"更相減損術(shù)"
NSInteger lcmOfAll =
[self lcmOf:[self lcmOf:model1.divider and:model2.divider] and:model3.divider];
//求結(jié)果
NSInteger result = sum - lcmOfAll;
NSLog(@"計算結(jié)果為：%ld + %ld * k (k為自然數(shù))",result,lcmOfAll);
算法代碼已經(jīng)上傳GitHub:
https://github.com/Bluelich/MyBlogCode/tree/master/CRTAlgorithm
就這么多了。這是我昨晚回顧RSA加密時候看到的，剛好就學(xué)習(xí)下了，其實(shí)想再復(fù)習(xí)下歐拉函數(shù)什么的，都忘光了！ 有時間就搞?。?/p>
