備份自：http://blog.rainy.im/2015/08/21/lcg-random-number-generator/
SICP中1.2.6素數(shù)檢驗一節(jié)中采用概率算法，通過隨機抽樣的方法利用費馬小定理測試來檢驗給出的整數(shù)是否為素數(shù)。這里需要用到隨機數(shù)生成的方法(random n)，即：隨機返回0到n之間的任意整數(shù)，而我用的Calysto Scheme Kernel恰好沒有相應的隨機數(shù)生成方法的實現(xiàn)。之前有遇到Matlab進行隨機模擬的時候，由于沒有設定seed，導致運行了很久的程序一直在周期性地重復固定的“隨機數(shù)”，剛好借此機會研究一下隨機數(shù)生成的原理及方法。
計算機生成隨機數(shù)的方法一般是采用數(shù)學法，即根據(jù)某一（遞推）公式產(chǎn)生一個周期性足夠大的數(shù)列，滿足一定的均勻分布的特性，其優(yōu)點在于可以迅速產(chǎn)生大量偽隨機數(shù)，缺點是所產(chǎn)生的并非真正的隨機數(shù)，只是近似隨機。不同的公式能夠產(chǎn)生性質(zhì)不同的偽隨機數(shù)（列），一種簡單常用的方法稱為線性同余發(fā)生器（Linear Congruence Generator, LCG），其公式如下：
$$
\begin{cases}
X_0 = SEED, & \text{設定初始值}\\X_n = (A * X_{n-1} + B) (Mod M)\\ R_n = X_n/M
\end{cases}
$$
顯然LCG方法產(chǎn)生的隨機數(shù)列周期小于$M$，同時在保證周期盡量大的情況下，還需要適時地重設初始值，一般以系統(tǒng)時間作為“種子”設定初始值。Scheme的實現(xiàn)如下，假設將常量設定為 $A = 3, B = 0, M = 5$：
;; random.scm
(define SEED 1)
(define (seed i) (set! SEED i))
(define A 3)
(define B 0)
(define M 5)
(define (LCG)
(begin
(seed (remainder (+ (* A SEED) B) M))
SEED))
(define (random n)
(round (* (/ (LCG) (- M 1)) n) ))
將初始值設定為系統(tǒng)時間后，檢驗10次$[0, 100]$隨機數(shù)產(chǎn)生結(jié)果：
;; test your random
(define (test-rands n)
(if (= n 0)
(display "Done!")
(begin
(display (random 100))
(newline)
(test-rands (- n 1)))))
(seed (round (current-time)))
(test-rands 10)
;; 75
;; 100
;; 50
;; 25
;; 75
;; 100
;; 50
;; 25
;; 75
;; 100
;; Done!
可以發(fā)現(xiàn)，在$A = 3, B = 0, M = 5$的條件下，LCG產(chǎn)生的隨機數(shù)列周期僅為4，若要得到最大周期，需要滿足：
- $B, M$互質(zhì)；
- $M$的所有質(zhì)因數(shù)都能整除$A-1$；
- 若$M$是4的倍數(shù)，$A-1$也是；
- $A,B,X_0$都比$M$小；
- $A,B$是正整數(shù)。
