二叉樹是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中非常重要的一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它是樹的一種，但是每個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)不能多余兩個(gè)，可以是0，1，2個(gè)子節(jié)點(diǎn)，0個(gè)子節(jié)點(diǎn)代表沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)。常見的二叉樹結(jié)構(gòu)如下圖所示：
每個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)不多于2個(gè)，其中3，4，5沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)，2有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)，0，1都有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。
基礎(chǔ)概念
根節(jié)點(diǎn)：樹的其實(shí)節(jié)點(diǎn)，沒(méi)有父節(jié)點(diǎn)。
葉子節(jié)點(diǎn)：沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)叫做葉子節(jié)點(diǎn)。
節(jié)點(diǎn)深度：從根節(jié)點(diǎn)到該節(jié)點(diǎn)的距離叫做深度，如上圖：節(jié)點(diǎn)3的深度是2，節(jié)點(diǎn)1的深度是1。
節(jié)點(diǎn)高度：該節(jié)點(diǎn)到距離最長(zhǎng)的葉子節(jié)點(diǎn)的距離。
二叉查找樹
二叉樹最重要的一個(gè)應(yīng)用是在查詢方面的應(yīng)用，很多的索引結(jié)構(gòu)都是二叉查找樹，還有向HashMap里也使用到了紅黑樹，紅黑樹也是二叉查找樹的一種。二叉查找樹的一個(gè)重要性質(zhì)，就是任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，它的左子樹中的節(jié)點(diǎn)都小于該節(jié)點(diǎn)，它的右子樹中的節(jié)點(diǎn)都大于該節(jié)點(diǎn)。最開始我們的例圖它不是一棵二叉查找樹，它不符合我們剛才說(shuō)的性質(zhì)。我們?cè)倏纯聪旅娴睦龍D：
這是一棵二叉查找樹，它的任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)的子節(jié)點(diǎn)都小于該節(jié)點(diǎn)，右子樹的節(jié)點(diǎn)都大于該節(jié)點(diǎn)。這樣我們?cè)诓檎覕?shù)據(jù)的時(shí)候，就可以從根節(jié)點(diǎn)開始查找，如果查找的值小于該節(jié)點(diǎn)，就去左子樹中查找，如果大于該節(jié)點(diǎn)，就去右子樹中查找，如果等于，那就不用說(shuō)了，直接返回就可以了。這種可以大大提升我們的查找效率，它的時(shí)間復(fù)雜度是O(logN)。
手?jǐn)]二叉查找樹
首先我們要抽象出節(jié)點(diǎn)類，每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以有左子節(jié)點(diǎn)，和右子節(jié)點(diǎn)，當(dāng)然節(jié)點(diǎn)要存儲(chǔ)一個(gè)值，這個(gè)值的類型我們不做限制，可以是數(shù)字型，也可以是字符串，還可以是自己定義的類，但是這里要加一個(gè)前提條件，就是這個(gè)值是可比較的，因?yàn)閮蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)比較后才能確定位置，所以節(jié)點(diǎn)值的類型要實(shí)現(xiàn)Comparable接口。好了，滿足上面的條件，我們就可以抽象出二叉樹節(jié)點(diǎn)的類了，如下：
public class BinaryNode<T extends Comparable<T>> {
//節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)
@Setter@Getter
private T element;
//左子節(jié)點(diǎn)
@Setter@Getter
private BinaryNode<T> left;
//右子節(jié)點(diǎn)
@Setter@Getter
private BinaryNode<T> right;
//構(gòu)造函數(shù)
public BinaryNode(T element) {
this(element,null,null);
}
//構(gòu)造函數(shù)
public BinaryNode(T element, BinaryNode<T> left, BinaryNode<T> right) {
if (element == null) {
throw new RuntimeException("二叉樹節(jié)點(diǎn)元素不能為空");
}
this.element = element;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
我們定義二叉樹節(jié)點(diǎn)的類為BinaryNode，我們注意一下后面的泛型，它要實(shí)現(xiàn)Comparable接口。然后我們定義節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)element，左子節(jié)點(diǎn)left，和右子節(jié)點(diǎn)right，并且使用@Setter@Getter注解實(shí)現(xiàn)其set和get方法。接下來(lái)就是定義兩個(gè)構(gòu)造方法，一個(gè)是只傳入節(jié)點(diǎn)元素的，另一個(gè)是傳入節(jié)點(diǎn)元素和左右子樹的。節(jié)點(diǎn)的元素是不能為空的，如果是空則拋出異常。
然后，我們?cè)俣x二叉查找樹類，類中包括一些二叉查找樹的基本操作方法，這些基本的操作方法我們后面講，先看定義的基本元素，如下：
public class BinarySearchTree<T extends Comparable<T>> {
//根節(jié)點(diǎn)
private BinaryNode<T> root;
public BinarySearchTree() {
this.root = null;
}
//將樹變?yōu)榭諛? public void makeEmpty() {
this.root = null;
}
//判斷樹是否為空
public boolean isEmpty() {
return this.root == null;
}
}
類的名字定義為：BinarySearchTree，同樣我們注意一下這里的泛型，它和BinaryNode的泛型是一樣的，因?yàn)檫@個(gè)類型我們傳遞給BinaryNode。類中定義了樹的根節(jié)點(diǎn)root，以及構(gòu)造方法，構(gòu)造方法只是定義了一棵空樹，根節(jié)點(diǎn)為空。然后是兩個(gè)比較基礎(chǔ)的樹的操作方法makeEmpty和isEmpty，將樹變?yōu)榭諛浜团袛鄻涫欠駷榭铡?/p>
- 現(xiàn)在我們要編寫一些樹的操作方法了，首先我們要編寫的就是
contains方法，它會(huì)判斷樹中是否包含某個(gè)元素，比如上面例圖中，我們判斷樹中是否包含3這個(gè)元素。具體實(shí)現(xiàn)如下：
/**
* 二叉樹是否包含某個(gè)元素
*
* @param element 檢查的元素
* @return true or false
*/
public boolean contains(T element) {
return contains(root, element);
}
/**
* 二叉樹是否包含某個(gè)元素
*
* @param tree 整棵樹或左右子樹
* @param element 檢查的元素
* @return true or false
*/
private boolean contains(BinaryNode<T> tree, T element) {
if (tree == null) {
return false;
}
int compareResult = element.compareTo(tree.getElement());
if (compareResult > 0) {
return contains(tree.getRight(), element);
}
if (compareResult < 0) {
return contains(tree.getLeft(), element);
}
return true;
}
這里我們定義了兩個(gè)contains方法，第一個(gè)contains方法調(diào)用第二個(gè)contains方法，第二個(gè)contains方法是私有的，外部不能訪問(wèn)。在調(diào)用第二個(gè)contains方法時(shí)，我們將root傳進(jìn)去，也就是整棵樹傳入去查找。在第二個(gè)contains方法中，我們先判斷樹是否為空，如果為空，肯定不會(huì)包含我們要查找的元素，則直接返回false。然后我們用查找的元素和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的元素作比較，這里我們使用compareTo方法，它是Comparable接口中定義好的方法，這也是我們定義泛型時(shí)要實(shí)現(xiàn)Comparable接口的原因了。比較結(jié)果大于0，說(shuō)明查找的值大于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值，我們遞歸調(diào)用contains方法，將右子樹和查找的值傳入；比較結(jié)果小于0，說(shuō)明查找的值小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值，我們同樣遞歸調(diào)用contains方法，將左子樹和查找的值傳入進(jìn)行查找。最后如果比較結(jié)果等于0，說(shuō)明查找的值和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值是一樣的，我們返回true就可以了。
contains方法算是一個(gè)開胃小菜，其中用到了遞歸，這也讓我們對(duì)二叉樹的編寫方法有了一個(gè)初步的了解。
- 接下來(lái)我們要編寫的是
findMin和findMax方法，分別是找出樹中最小值和最大值的方法。由于我們的樹是一棵二叉查找樹，左子樹的值要小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，右子樹的值大于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，所以，最左側(cè)節(jié)點(diǎn)的值就是最小值，最右側(cè)的值則是最大值。我們用代碼實(shí)現(xiàn)一下，
/**
* 找出二叉樹的最小元素
*
* @return
*/
public T findMin() {
if (isEmpty()) throw new RuntimeException("二叉樹為空");
return findMin(root);
}
private T findMin(BinaryNode<T> tree) {
if (tree.getLeft() != null) {
return findMin(tree.getLeft());
}
return tree.getElement();
}
/**
* 找出二叉樹的最大元素
*
* @return
*/
public T findMax() {
if (isEmpty()) throw new RuntimeException("二叉樹為空");
return findMax(root);
}
private T findMax(BinaryNode<T> tree) {
while (tree.getRight() != null) {
tree = tree.getRight();
}
return tree.getElement();
}
我們先來(lái)看findMin方法，先判斷樹是否為空，空樹沒(méi)有最小值，也沒(méi)有最大值，所以我們這里拋出異常。然后我們將整棵樹傳入第二個(gè)findMin方法，在第二個(gè)findMin方法中，我們一直去尋找左子節(jié)點(diǎn)，如果左子節(jié)點(diǎn)不為空，我們就遞歸的再去尋找，直到節(jié)點(diǎn)的左子節(jié)點(diǎn)為空，那么當(dāng)前節(jié)點(diǎn)就是整棵樹的最左節(jié)點(diǎn)，那么它的值就是最小的，我們返回就可以了。
我們?cè)賮?lái)看findMax方法，和findMin方法一樣，先判斷樹是否為空，為空則拋出異常。我們要重點(diǎn)看的是第二個(gè)findMax方法，這個(gè)方法中，我們沒(méi)有使用遞歸去尋找最右側(cè)的節(jié)點(diǎn)，而是使用了一個(gè)while循環(huán)，去找到最右側(cè)的節(jié)點(diǎn)。這里我們使用了兩種不同的方法實(shí)現(xiàn)了findMin和findMax，一個(gè)使用了遞歸，另一個(gè)使用了while循環(huán)，其實(shí)這兩種方式也是互通的，能用遞歸的方法也可以用while循環(huán)去實(shí)現(xiàn)，反之亦然。
- 接下來(lái)我們?cè)賮?lái)看一下二叉查找樹的一個(gè)非常重要的方法，那就是
insert插入方法了。當(dāng)我們向二叉查找樹中添加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，要和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)做比較，如果小于當(dāng)前節(jié)點(diǎn)值，則在左側(cè)插入，如果大于則在右側(cè)插入，這里我們不討論等于的情況。具體代碼如下：
/**
* 插入元素
*
* @param element
*/
public void insert(T element) {
if (root == null) {
root = new BinaryNode<>(element);
return;
}
insert(root, element);
}
private void insert(BinaryNode<T> tree, T element) {
int compareResult = element.compareTo(tree.getElement());
if (compareResult > 0) {
if (tree.getRight() == null) {
tree.setRight(new BinaryNode<>(element));
} else {
insert(tree.getRight(), element);
}
}
if (compareResult < 0) {
if (tree.getLeft() == null) {
tree.setLeft(new BinaryNode<>(element));
} else {
insert(tree.getLeft(), element);
}
}
}
在插入節(jié)點(diǎn)的過(guò)程中，我們先判斷根節(jié)點(diǎn)是否為空，如果為空，說(shuō)明是一棵空樹，我們直接將插入元素給到根節(jié)點(diǎn)就可以了。如果根節(jié)點(diǎn)不為空，我們進(jìn)入到第二個(gè)insert方法，在第二個(gè)insert方法中，我們先將插入的值和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)做比較，比較結(jié)果如果大于0，說(shuō)明插入的值比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)大，所以我們要在右側(cè)插入，如果當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的右子節(jié)點(diǎn)為空，我們直接插入就可以了；如果右子節(jié)點(diǎn)不為空，還要和右子節(jié)點(diǎn)作比較，這里我們用遞歸的方法實(shí)現(xiàn)，邏輯比較清晰。同理，如果比較結(jié)果小于0，我們對(duì)左側(cè)節(jié)點(diǎn)做操作就可以了，這里不再贅述。
- 上面我們做了節(jié)點(diǎn)的插入，最后再來(lái)看看節(jié)點(diǎn)的刪除
remove。要?jiǎng)h除一個(gè)節(jié)點(diǎn)，首先我們要找到這個(gè)節(jié)點(diǎn)，找到這個(gè)節(jié)點(diǎn)后，要分情況對(duì)這個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行處理，如下：
刪除節(jié)點(diǎn)沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)：我們直接將該節(jié)點(diǎn)刪除，也就是將節(jié)點(diǎn)置為null；
刪除節(jié)點(diǎn)只有左子節(jié)點(diǎn)或右子節(jié)點(diǎn)：這種只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的情況，我們直接將要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)改為它的唯一的子節(jié)點(diǎn)就可以了。這里等于是用子節(jié)點(diǎn)覆蓋掉當(dāng)前節(jié)點(diǎn)；
刪除節(jié)點(diǎn)有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)：這種是最復(fù)雜的情況，要解決這個(gè)問(wèn)題，我們還是要利用二叉查找樹的特性，就是當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的左子樹的值都比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)小，右子樹的值都比當(dāng)前節(jié)點(diǎn)大。那么我們把當(dāng)前節(jié)點(diǎn)刪除后，用哪個(gè)節(jié)點(diǎn)代替當(dāng)前節(jié)點(diǎn)呢？這里我們可以在左子樹中找到最大的值，或者從右子樹中找到最小的值，代替當(dāng)前要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)。這樣替換后，還是可以保證左子樹的值比當(dāng)前值小，右子樹的值比當(dāng)前值大。然后我們?cè)侔烟鎿Q的值，也就是左子樹中的最大值，或者右子樹中的最小值，在左或右子樹中刪掉就可以了。這一段邏輯比較繞，小伙伴們可以多讀幾遍，理解一下。具體實(shí)現(xiàn)如下：
/**
* 刪除元素
* @param element
*/
public void remove(T element) {
remove(root, element);
}
private void remove(BinaryNode<T> tree, T element) {
if (tree == null) {
return;
}
int compareResult = element.compareTo(tree.getElement());
if (compareResult > 0) {
remove(tree.getRight(), element);
return;
}
if (compareResult < 0) {
remove(tree.getLeft(), element);
return;
}
if (tree.getLeft() != null && tree.getRight() != null) {
tree.setElement(findMin(tree.getRight()));
remove(tree.getRight(), tree.getElement());
} else {
tree = tree.getLeft() != null ? tree.getLeft() : tree.getRight();
}
}
第一個(gè)remove方法不說(shuō)了，我們重點(diǎn)看第二個(gè)。方法進(jìn)來(lái)后，節(jié)點(diǎn)是否為空，為空則說(shuō)明是空樹，或者要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)沒(méi)有找到，那么直接返回就可以了。然后再用刪除的元素和當(dāng)前節(jié)點(diǎn)作比較，如果大于0，我們用遞歸方法在右子樹中繼續(xù)執(zhí)行刪除方法。同理如果小于0，用左子樹遞歸。再下面就是等于0的情況，也就是找到了要?jiǎng)h除的節(jié)點(diǎn)。我們先處理最復(fù)雜的情況，就是刪除節(jié)點(diǎn)左右子節(jié)點(diǎn)都存在的情況，我們使用上面的邏輯，使用右子樹中最小的節(jié)點(diǎn)覆蓋當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，然后再在右子樹中，將這個(gè)值刪掉，我們也是遞歸的調(diào)用了remove方法。當(dāng)然這里也可以使用左子樹中的最大值，小伙伴們自己實(shí)現(xiàn)吧。最后就是處理沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)和只有一個(gè)子節(jié)點(diǎn)的情況，這兩種情況在代碼中可以合并，如果左子節(jié)點(diǎn)不為空，就用左子節(jié)點(diǎn)覆蓋掉當(dāng)前節(jié)點(diǎn)，否則使用右子節(jié)點(diǎn)覆蓋。如果右子節(jié)點(diǎn)也為空，也就是沒(méi)有子節(jié)點(diǎn)，那么當(dāng)前節(jié)點(diǎn)也就變?yōu)榭樟恕?/p>
問(wèn)題
到這里，二叉查找樹的基本的操作方法就編寫完了。這里引申一個(gè)問(wèn)題，如果我們順序的向一棵樹中插入1，2，3，4，5，這個(gè)樹會(huì)是什么形狀？這個(gè)也不難想象，如下：
這和鏈表沒(méi)有什么區(qū)別了呀，查找的性能和鏈表一樣了，并沒(méi)有提升。這就引出了下一篇的內(nèi)容：平衡二叉樹，小伙伴們，敬請(qǐng)期待~~
