數(shù)學的空間
數(shù)學中的空間概念是要有研究工作的對象和遵循的規(guī)則。其中，包含元素和結構。
如線性結構中，定義加法和數(shù)乘；拓撲結構中，要有距離、范數(shù)、開集三要素。
距離
范數(shù)是具有“長度”概念的函數(shù)。
距離、范數(shù)可以指向量的距離，我們可以定義以下幾種向量的距離：
- d1(x,y)=sqrt((x1-y1)^2 + ... + (xn-yn)^2)
- d2(x,y) = max{|x1-y1|, ..., |xn-yn|}
- d3(x,y) = |x1-y1|+ ...+ |xn-yn|
距離、范數(shù)也可以指曲線的距離，即函數(shù)f(x)到函數(shù)g(x)的距離：
- d1(f,g) = ∫ (f(x)-g(x))^2 dx
- d2(f,g) = max |f(x)-g(x)|
- d3(f,g) = ∫ (f(x)-g(x))^k dx
以上x都定義在[a,b]之間
接下來我們要去定義距離的抽象概念。
我們要知道，如果一個對象不是具體的，是抽象的，是泛指的，那么我們就抓最重要的屬性來描述這個對象，而舍棄其他的屬性。
距離的定義：
設X是非空集合，任給一對這一集合的元素x、y，都給定一個實數(shù)，d(x,y)與它們對應，并且滿足：
(1) 非負性：d(x,y)≥0 ; d(x,y)=0, then x=y
(2) 對稱性：d(x,y)=d(y,x)
(3) 三角不等式：d(x,y) ≤ d(x,z)+d(z,y)
則稱d(x,y)是兩點之間的距離。
tips:
為什么曲線距離中可以用maximum來定義距離，而不能用minimum來定義距離。
因為如果兩條曲線相交時，對|f(x)-g(x)|取最小，就等于0，那么按照距離的定義，那么f(x)=g(x)，這顯然違背了距離的定義。所以并不是隨意的度量方式都可以作為一種距離的定義的。
范數(shù)
范數(shù)的定義：
設||x||是R^n的范數(shù)，若滿足：
(1)||x|| ≥ 0, for all x∈R^n; ||x||=0 is equal to x=0
(2)||αx||=|α|·||x||, for all α∈R, x∈R^n
(3)||x+y|| ≤ ||x||+||y||, for all x,y ∈R^n
這里范數(shù)可以簡單看成到零點的距離，并且多了第(2)條
tips：
由范數(shù)可以定義距離：d(x,y)=||x-y||
但是由距離不一定可以定義范數(shù)，例如：||x||=d(0,x)，但||αx||=d(0,αx)≠|α|·||x||
之所以有這樣的區(qū)別，我們可以簡單理解成，范數(shù)是帶有限制條件的距離，是更加具體的距離，而距離比范數(shù)要少一些東西。
除了距離，我們還需要線性結構。
在線性空間中，向量定義了加法和數(shù)乘運算，它們還滿足加法交換律、加法結合律、負元、零元；數(shù)乘的交換律、單位一、數(shù)乘與加法交換律。
賦予范數(shù)或距離的集合分別稱為：賦范空間和度量空間；若在其上再加上線性結構稱為線性賦范空間和線性度量空間。
內(nèi)積空間
復返空間有向量的模長，即范數(shù)。但是還缺乏一個很重要的概念——兩個向量的夾角，為克服這一缺陷，我們引入內(nèi)積。
內(nèi)積的定義：
設(x,y)∈R，且滿足：
(1)對稱性
(2)對第一變元的線性性
(3)正定性，大于等于零
則稱(x,y)為內(nèi)積。
- 內(nèi)積可導出范數(shù)，
||x||^2 = (x,x)，但是范數(shù)不能表示內(nèi)積，因為內(nèi)積比范數(shù)又多了東西。 - 在線性空間上定義內(nèi)積，其空間稱為內(nèi)積空間。
- 內(nèi)積可在空間中簡歷歐幾里得集合學，例如交角、垂直和投影等，故習慣上稱為歐幾里得空間。
- 1904年-1910年希爾伯特引入無窮實數(shù)組并定義內(nèi)積，其空間稱為內(nèi)積空間，再加上完備性，稱為希爾伯特空間（無窮維，而歐幾里得空間是n維）。
- 1922年巴拿赫提出賦范空間，其完備性的賦范空間稱為巴拿赫空間。
這里提到的完備性可以理解為，在該空間中的極限運算中，它取極限不能跑出去。比如在有理數(shù)集中不行，必須到實數(shù)集中求極限得到的結果依然在實數(shù)集中。
拓撲空間
歐幾里得幾何學需要內(nèi)積，但連續(xù)的概念不需要內(nèi)積，甚至不需要距離。
仔細考察連續(xù)的概念，其實他需要的是開集，即用開集可以定義連續(xù)。
原來的連續(xù)定義：
for all ε>0, exist δ>0, (|x-x_0|<δ) => (|f(x)-f(x_0)|<ε)
現(xiàn)在不在需要距離之后，我們來定義連續(xù)的概念：
記 x_0∈D belong to R,
x_0的鄰域定義為O(x_0,δ)={x; |x-x_0|<δ}
f(x_0)的鄰域定義為O(f(x_0),ε)={y; |y-f(x_0)|<ε}
那么可定義連續(xù)為
for all ε>0,exist δ>0, f(O(x_0,δ) ∩ D) belong to O(f(x_0),ε)
即把x_0的鄰域用f函數(shù)映射之后還在f(x_0)的鄰域里就稱為連續(xù)。
拓撲的定義：
設X是任一集合τ belong to 2^X，若滿足：
(1)τ內(nèi)任意個集合的并仍屬于τ
(2)τ內(nèi)有限個集合的交仍屬于τ
(3) X和空集屬于τ
則稱τ是X上的一個拓撲。
其中元素是X，規(guī)則是τ，稱(X,τ)為拓撲空間；
總結
范數(shù)可以定義“強化”了的距離
內(nèi)積是較距離和范數(shù)又更多的內(nèi)涵
拓撲是“弱化”了的距離
有了拓撲就有了拓撲空間，有了距離就有了度量空間，有了范數(shù)就有了賦范空間，有了內(nèi)積就有了內(nèi)積空間（已有線性結構）。
如果將上述空間再加上線性結構就成為拓撲線性空間，線性度量空間，線性賦范空間，內(nèi)積空間。
如果對于線性賦范空間又加上完備性，那就是巴拿赫空間；內(nèi)積空間再加上完備性，那就是希爾伯特空間。
（完備性就是玩極限游戲不能玩出去~~）
數(shù)學中，函數(shù)空間是從集合X到集合Y的給定種類的函數(shù)的集合。它叫做空間是因為在很多應用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。
研究無窮維內(nèi)積空間或者無窮維線性賦范空間中映射的數(shù)學分支叫泛函分析，又分為線性泛函分析和非線性泛函分析。
研究拓撲空間的數(shù)學分支叫拓撲學，又分為點集拓撲、代數(shù)拓撲和微分拓撲。
參考資料
上海交通大學公開課：數(shù)學之旅
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