上一篇文章講解了下基于斐波那契數列的矩陣快速冪，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)，轉移矩陣比較簡單。這里介紹一個比較復雜的，遞推公式為非線性的例子，著重講一下求解轉移矩陣和應用轉移矩陣的過程

準備問題

講算法肯定要有相應的OJ，這里附上一道題，HDU5950

簡單講解下題意。F(n) = F(n-1) + 2F(n-2) + n⁴，且F(1) = a , F(2) = b，求F(n)%2147493647，其中a、b、n是待輸入的參數

我們把解決這類題目的過程分解為如下步驟：
1. 把非線性遞推式轉化為線性遞推式（線性遞推式可忽略第一步）
2. 根據線性遞推式得到F(n)和F(n+1)的矩陣序列
3. 根據F(n)和F(n+1)的矩陣序列得到中間的轉移矩陣
4. 根據轉移矩陣編寫代碼

分步拆解問題

首先把非線性遞推式轉換為線性遞推式
∵ (n+1)⁴ = n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + n⁰
∵ F(n+1) = F(n) + 2F(n-1) + (n+1)⁴
∴ F(n+1) = F(n) + 2F(n-1) + n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + n⁰

然后我們看下下面的狀態轉移矩陣

圖有誤，等號左邊兩個矩陣位置換一下

圖(1)左邊的矩陣表示F(n)項的矩陣，右邊的矩陣表示F(n+1)項的矩陣。而中間的A矩陣就是需要求的轉移矩陣。圖(1)左邊的矩陣怎么得到？我們看剛才得到的遞歸式

F(n+1) = F(n) + 2F(n-1) + n⁴ + 4n³ + 6n² + 4n + n⁰

我們把F(n)放在矩陣頂部，表示第n項的值，然后剩下的元素F(n-1)、 n⁴、n³、n²、n、 n⁰ ，去掉系數后與F(n)一起構成一個矩陣。同理，F(n+1)的矩陣也是F(n+1)在頂部，表示第n+1項的值，然后剩下的元素F(n)、 (n+1)⁴、(n+1)³、(n+1)²、(n+1)、 (n+1)⁰ 去掉系數后與F(n+1)構成一個矩陣。

好，我們現在得到了F(n)和F(n+1)的矩陣，那怎么求轉移過去的矩陣A呢？首先，A是一個7×7的矩陣，且根據矩陣相乘規則，可以得到矩陣A，如下圖（如果對矩陣相乘不熟悉的可以先看一下矩陣相乘哈）

圖有誤，等號左邊兩個矩陣位置換一下

好了，到現在為止，得到了圖(2)的轉移矩陣后，我們解決了前三步，還剩最后一步。怎么把這個轉移矩陣應用到代碼里面呢？

題中給出了F(1) = a，F(2) = b
所以F(3) = 2a + b + 3⁴ = 2a + b + 2⁴ + 4×2³ + 6×2² + 4×2¹ + 2⁰

圖(3)

為了表述方便。圖(3)乘號左邊的我們稱為轉移矩陣A，乘號右邊的四個矩陣分別為B2、B3、B4、B5……

且我們可以得到的信息有
B2 × A = B3、B3 × A = B4、B4 × A = B5 ……
B2 × A² = B4、B2 × A³ = B5、B2 × A⁴ = B6 ……
然后我們驚奇的發現：B2 × A^n-2 = Bn（fn）

B2的數據都是已知的，所以現在我們需要得到的只是A^n-2的數據，在 上一篇文章中，我們需要得到的是Aⁿ的矩陣，代碼問題就解決了吧。

再炒一下上一篇文章的冷飯，本來是根據B2->B3->B4->B5->……->Bn逐步遞推得到Bn。現在我們轉化為矩陣后，需要求的是A^(n-2)的數據，比如要求A^16，那我就可以直接通過快速冪A^1->A^2->A^4->A^8->A^16來得到了，復雜度由O(n)轉化成了O(logn)

完整代碼

#include <iostream>
using namespace std;
const long long int N = 2147493647;   //注意要用 long long int
void Matrix(long long int (&a)[7][7],long long int b[7][7]){ //還是一樣的函數
    long long int tmp[7][7] = {0};
    for(int i = 0; i < 7; ++i)
        for(int j = 0; j < 7; ++j)
            for(int k = 0; k < 7; ++k)
                tmp[i][j] = (tmp[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % N;
    for(int i = 0; i < 7; ++i)
        for(int j = 0; j < 7; ++j)
            a[i][j] = tmp[i][j];
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    long long int sum,T,a,b,n;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>a>>b;
        if(n==1){
            cout<<a<<endl;
            continue;
        }
        //為了方便讀者理解，直接這么定義矩陣了
        long long int temp[7][7] = {1, 2, 1, 4, 6, 4, 1,
                                    1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
                                    0, 0, 1, 4, 6, 4, 1,
                                    0, 0, 0, 1, 3, 3, 1,
                                    0, 0, 0, 0, 1, 2, 1,
                                    0, 0, 0, 0, 0, 1, 1,
                                    0, 0, 0, 0, 0, 0, 1};
        //temp表示的是A^n，cot表示的是最后的結果
        long long int cot[7][7] = {1, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
                                   0, 1, 0, 0, 0, 0, 0,
                                   0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,
                                   0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
                                   0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
                                   0, 0, 0, 0, 0, 1, 0,
                                   0, 0, 0, 0, 0, 0, 1};
        n -= 2;
        while(n){   //還是這5行核心代碼
            if(n & 1) Matrix(cot,temp);
            Matrix(temp,temp);
            n /= 2;
        }
        sum = 0;  //在得到A^(n-2)之后，還需要將B2*A^(n-2)得到Bn，而sum表示的是Bn的最頂部的元素值
        sum = (sum + b*cot[0][0])%N;
        sum = (sum + a*cot[0][1])%N;
        sum = (sum + 16*cot[0][2])%N;
        sum = (sum + 8*cot[0][3])%N;
        sum = (sum + 4*cot[0][4])%N;
        sum = (sum + 2*cot[0][5])%N;
        sum = (sum + cot[0][6])%N;
        cout<<sum<<endl;

    }
    return 0;
}

較上篇文章，代碼部分并沒有多少變化，這篇文章著重講了怎么根據遞推公式求得轉移方程并應用的過程。接下來可能會擴展一些矩陣快速冪的用法，比如不同的路徑數量，行動方案等