題目描述：
尋找一個數組的最長遞增子序列的長度
例如：arr=[2,1,6,4,5,2,7,4]
那么：函數返回4，因為（1,4,5,7）或者（2,4,5,7）為最長遞增子序列，長度為4。
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題目擴展 俄國沙皇問題
方法一：O(n^2)
算法流程：
- 使用一個數組h[],其中h[i]表示原數組以arr[i]結尾的最長遞增子序列的長度。
- 從i=0到i=n-1過程重復進行n次，求得h=[1,1,2,1,3,2,4,3]。求h[i]的時候，需要考察那些比i小的j,如果arr[i]>arr[j],那么h[i]至少應為h[j]+1，這樣對前邊的遍歷之后即可知道h[i]。
- h的各個元素求得之后，遍歷一遍求最大即可。
算法原理：
原數組的最長遞增子序列必然是以原數組的某一個位置作為結尾，所以如果我們求得以數組的每一位置結尾的最長遞增子序列，那么這些“最長”中的最大值即為所求。而求每一位置的最大的時候就由前邊的那些位置上的元素和最長子序列長度來決定。由于一共求n次，每次都需要遍歷前面的，所以復雜度為O(n^2)。
算法代碼：
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if(nums==null||nums.length==0)
return 0;
int[] h=new int[nums.length];
for(int i=0;i<nums.length;i++){
int max=0;
for(int j=0;j<i;j++){
if(nums[i]>nums[j]){
max=Math.max(h[j],max);
}
}
h[i]=max+1;
}
int max=0;
for(int i=0;i<h.length;i++){
if(h[i]>max)
max=h[i];
}
return max;
}
方法二：O(nlog(n))
算法流程：
- 使用一個數組h,首先令h[0]=arr[0]。記已經賦值了的h前部分為有序區，我們只考察有序區。
- 往后遍歷，對于arr[i],在h的有序區中尋找第一個大于arr[i]的位置。如果找到，就把那個位置的值更新為arr[i]，否則h的有序區長度增一，并且新增位置的值就為arr[i]。使用二分查找位置
- 上述過程中，從位置0到，arr[i]的更新位置的元素個數就是以arr[i]結尾的最長遞增子序列的長度。從二分查找出的位置就可以知道這個長度。使用一個全局變量來max存儲更新最長遞增子序列的長度。
算法原理：
h[i]表示遍歷到當前時刻為止，長度為i+1的最長遞增子序列的最小末尾。這樣其實我們每次所做的工作就是要么增加了最長遞增子序列的長度，要么就是長度不變，但是更新了每個長度對應的最小末尾，而這有利于之后擴展長度，因為你更小嘛，我后半的元素更容易比你大。這樣其實最后的h的有效區長度即為所求，但是為了不再去遍歷，中途使用一個max來記錄當前位置時的最長遞增子序列，更新max即可。做了n次,每次二分查找位置log(n),所以復雜度為n(logn)。
算法代碼：
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
if(nums==null||nums.length==0)
return 0;
int[] h=new int[nums.length];
h[0]=nums[0];
int max=0;//最長子序列最右邊的位置
for(int i=1;i<nums.length;i++){
if(nums[i]>h[max]){
h[++max]=nums[i];
continue;
}
else{
int pos=findFirstBigger(h,0,max,nums[i]);
h[pos]=nums[i];
}
}
return max+1;
}
public int findFirstBigger(int[] h,int left,int right,int target){
if(left==right)
return left;
int mid=(left+right)/2;
if(h[mid]<target)
return findFirstBigger(h,mid+1,right,target);
else
return findFirstBigger(h,left,mid,target);
}
