Verbyla AP, Cullis BR, Kenward MG, Welham SJ (1999) The analysis of designed experiments and longitudinal data by using smoothing splines. J R Stat Soc Ser C-Applied Stat 48:269–300. doi: 10.1111/1467-9876.00154

概要

平滑樣條和其他非參數(shù)平滑方法被廣泛接受用于探索性數(shù)據(jù)分析。這些方法已用于回歸，重復(fù)測量或縱向數(shù)據(jù)分析，以及廣義線性模型。然而，一個主要的缺點是缺乏正式的推理框架。沒有被充分利用的例外是三次平滑樣條。三次平滑樣條允許混合模型公式，其將該非參數(shù)更穩(wěn)定地平滑在參數(shù)設(shè)置中。本文提出的公式提供了在模型中包括三次平滑樣條用于設(shè)計實驗和縱向數(shù)據(jù)分析的機制。因此，非線性曲線可以包括隨機效應(yīng)和隨機系數(shù)，這導(dǎo)致在線性混合模型框架內(nèi)非常靈活和信息性建模。也可以適應(yīng)差異異質(zhì)性。在縱向數(shù)據(jù)的情況下使用三次平滑樣條的優(yōu)點是特別明顯的，因為對于隨機系數(shù)模型隱含地實現(xiàn)協(xié)方差建模。幾個例子被認(rèn)為是說明的想法。
關(guān)鍵詞：方差分析;最佳線性無偏預(yù)測;立方平滑樣條;縱向數(shù)據(jù);混合模型;隨機系數(shù)模型;重復(fù)措施;殘差最大似然。
1簡介

在許多情況下，作為定量變量（例如時間）的函數(shù)的響應(yīng)變量的關(guān)系是重要的。在缺乏可能為關(guān)系提供機械模型的實質(zhì)性知識的情況下，將需要建立經(jīng)驗?zāi)Ｐ?。其他變量或因素的存在可能在關(guān)系中引入一些系統(tǒng)的變化。例如，如果該關(guān)系可以通過簡單的線性回歸近似，截距和斜率可以在組或受試者之間變化。這些系數(shù)可以是固定的或取決于上下文作為隨機的。這個想法在設(shè)計實驗中的更復(fù)雜的設(shè)置的擴展是立即的，并且使用正交多項式將效應(yīng)分解成一個自由度對比度在方差分析中是眾所周知的。然而，如果該關(guān)系是非線性的并且不能由多項式近似，則出現(xiàn)困難。
需要建模的一個重要領(lǐng)域是重復(fù)測量或縱向數(shù)據(jù)的分析。通常治療的影響是關(guān)于反應(yīng)和定量變量，時間之間的關(guān)系。這方面有大量文獻(xiàn)，不會嘗試在這里提供全面的綜述。方法范圍從使用方差分析，其中進(jìn)行分裂圖分析，子圖“處理”為時間（參見例如Diggle等人，1994，第6.4節(jié)），使用方差分析對多項式對比度的分析（Wishart，1938，Rowell＆Walters，1976）和多變量方法（Cole＆Grizzle，1966，Grizzle＆Allen，1969）。最近，已經(jīng)采用了平均響應(yīng)概況和基礎(chǔ)協(xié)方差結(jié)構(gòu)的聯(lián)合建模（Diggle，1988，Cullis＆McGilchrist，1990，Verbyla＆Cullis，1992，Diggle等人，1994），平均通常使用線性模型。已經(jīng)嘗試為協(xié)方差結(jié)構(gòu)尋找靈活的低階參數(shù)化（Kenward，1987）。
從業(yè)者在縱向數(shù)據(jù)的常規(guī)分析中未采用聯(lián)合建模方法。一個主要問題是，該方法需要用于平均響應(yīng)曲線和協(xié)方差結(jié)構(gòu)的合理的模型，這可能是非常困難的。 As Diggle et al。 （1994），p。 102，關(guān)于將在2.1節(jié)中介紹的實驗，